कोहेन, पॉल (Cohen, Paul) : (२ एप्रिल १९३४ – २३ मार्च २००७) पोलंड येथून अमेरिकेत स्थलांतरीत झालेल्या ज्यू कुटुंबात कोहेन यांचा जन्म झाला. शालेय शिक्षण न्यूयॉर्क शहरात पूर्ण केल्यावर त्यांनी शिकागो विद्यापीठातून एमएस आणि अँटोनी झिगमंड ह्यांच्या मार्गदर्शनाखाली पीएच्.डी. ह्या पदव्या मिळवल्या. ‘थिअरी ऑफ युनिकनेस ऑफ ट्रिग्नॉमेट्रीकल सिरीज’ हे त्यांच्या प्रबंधाचे शीर्षक होते.
त्यांनी युनिव्हर्सिटी ऑफ रोचेस्टर, मॅसॅच्युसेट्स इन्स्टिट्यूट ऑफ टेक्नॉलॉजी आणि सहाध्यायी म्हणून इन्स्टिट्यूट ऑफ ॲड्व्हान्स्ड स्टडीज ॲट प्रिन्स्टन येथे काम केले. ह्या काळात त्यांनी विविध गणिती विषयांवर महत्त्वाचे संशोधन केले. उदाहरणार्थ, बैजिक गटाचे अवयव पाडण्यासंबधी (Factorization in Group Algebra) वॉल्टर रूडीन ह्यांनी उपस्थित केलेला एक कूटप्रश्न सोडवताना कोहेन यांनी सिद्ध केले की स्थानिक संहत गटावरील संकलनीय फल (integrable function over locally compact group) हे अशाच दोन फलांचे संवलन (Convolution) असते. त्याशिवाय संख्या सिद्धांतामधील लिटलवुड अटकळ सोडवण्यातही त्यांनी लक्षणीय यश प्राप्त केले.
मात्र, कोहेन यांना सर्वात अधिक प्रसिद्धी मिळाली ती संच सिद्धांतात दीर्घकाळ अनुत्तरीत असलेल्या पुढील प्रश्नाचे उत्तर शोधण्याबाबत. या प्रश्नाला ‘कंटिन्यूअम हायपोथिसिस’ (संततक परिकल्पना) या नावाने ओळखले जाते. जर्मन गणितज्ञ कॅण्टर यांनी १८७०च्या दशकाच्या शेवटी असे विधान मांडले की वास्तव संख्यांचा कुठलाही अनंत असा उपसंच घेतल्यास त्याची सर्व वास्तव संख्या असलेला संच किंवा सर्व पूर्णांक संख्या असलेल्या संचाशी एकास-एक (One to one) संगती लावता येऊ शकते. त्याबाबतीत सुप्रसिद्ध तर्कशास्त्रज्ञ कर्त गोदेल यांनी असे सिद्ध केले की हा हायपोथिसिस चुकीचा आहे असे सिद्ध करणे शक्य नाही. पण तो बरोबर आहे असेही सिद्ध करणे शक्य नाही, हे कोहेन यांनी मांडून गणित जगतात खळबळ माजवली. त्यासाठी त्यांनी फोर्सिंग नावाचे गणिती तर्कशास्त्रावर आधारित एक नवे तंत्र विकसित केले आणि ते वापरून सिद्ध केले की सदर ‘हायपोथिसिस ॲक्सिअम ऑफ चॉइस’ ह्या संच सिद्धांताच्या झर्मेलो-फ्रेनकल ॲक्सिअम्स (गृहीतके) वापरूनदेखील सिद्ध करता येत नाही. फोर्सिंग या तंत्राने संच सिद्धांताच्या गृहीतकांची असामान्य प्रारूपे तयार करून विधाने टप्प्याटप्प्यात सत्य स्थितीत आणता येतात, जी पुढील सर्व टप्प्यांत सत्यच राहातात. कोहेनचे फोर्सिंग हे तंत्र पुढे अनेक गणिती प्रश्न सोडवण्यासाठी वापरले गेले.
गोदेल आणि कोहेन यांच्या निष्कर्षांमुळे सिद्ध झाले की ‘कंटिन्यूअम हायपोथिसिस’ किंवा ‘ॲक्सिअम ऑफ चॉइस’ हे संच सिद्धांताच्या झर्मेलो-फ्रेनकल ॲक्झिअम्सपासून तार्किकदृष्ट्या स्वतंत्र आहेत. म्हणजेच ‘कंटिन्यूअम हायपोथिसिस’ बरोबर आहे की चूक, हे सिद्ध करणे शक्य नाही आणि त्याबद्दल पाहिजे तो निर्णय घेण्याची स्वतंत्रता आहे. या संदर्भात Set Theory and Continuum Hypothesis हे कोहेन यांचे पुस्तक गाजलेले आहे.
या संदर्भात लंडन विद्यापीठातील अँगस मॅकीन्टायर ह्यांनी नमूद केले आहे की गोदेल व कोहेन ह्यांच्या कार्यापेक्षा अधिक नाट्यमय असे गणित विषयाच्या इतिहासात काही घडलेले नाही. स्वतः गोदेल ह्यांनी पत्र लिहून कोहेन ह्यांना तुमचे ‘इन्डीपेन्डन्स ऑफ कंटिन्यूअम हायपोथिसिस’ वरील विवेचन आणि सिद्धता वाचताना आनंद मिळतो असे कळवले होते. ह्यातून कोहेन ह्यांच्या कार्याचे महत्त्व आणि दर्जा अधोरेखित होतो.
ह्या अतिशय सखोल कार्याबद्दल कोहेन ह्यांना गणितातील नोबेल पारितोषिक असे मानले जाणारे फील्ड्स मेडल प्रदान केले गेले. नमूद करण्यासारखी बाब म्हणजे गणिती तर्कशास्त्रातील कामासाठी २०१८ पर्यंत दिलेले हे एकमेव फील्ड्स मेडल आहे. त्याशिवाय, अमेरिकेचे नॅशनल मेडल ऑफ सायन्स त्यांना अमेरिकेच्या अध्यक्षांच्या हस्ते देण्यात आले.
त्यांनी गणिती विश्लेषण या विषयातदेखील महत्त्वपूर्ण योगदान दिले आहे. कोहेन यांना त्यांच्या ऑन अ कंजक्चर बाय लिटलवुड अँड आयडेमपोटेन्ट मेझर्स ह्या शोधलेखासाठी, गणिती विश्लेषणामधील उल्लेखनीय कामासाठी देण्यात येणारे बोशर पारितोषिक दिले गेले. तसेच एक गणिती प्रमेय, कोहेन-हेवीट फॅक्टरायझेशन थिअरम या नावाने संबोधले जाते.
कोहेन हे स्टॅन्फोर्ड विद्यापीठात गणिताचे प्राध्यापक आणि त्यानंतर तिथेच २००४ साली निवृत्तीपर्यंत Marjorie Mhoon Fair Professor in Quantitative Science या पदावर कार्यरत राहिले. त्यानंतरही ते तिथे त्यांच्या मृत्यूपर्यंत अध्यापन करत होते.
इंटरनॅशनल मॅथमेटिकल यूनियनतर्फे इंटरनॅशनल काँग्रेस ऑफ मॅथेमॅटिक्समध्ये, त्यांना स्टॉकहोम आणि मॉस्को येथे विशेष वक्ता म्हणून निमंत्रित करण्यात आले, जो एक मोठा सन्मान आहे.
कोहेन हे स्वीडिश, फ्रेंच, स्पॅनिश, जर्मन आणि यिडिश भाषा सफाईने बोलत.
संदर्भ :
- Pearce, Jeremy, “Paul J. Cohen, Mathematics Trailblazer, Dies at 72”. New York Times, 2 April 2007.
- http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Cohen.html
समीक्षक : विवेक पाटकर