फलनाची सीमा (Limit of a function)

कलन या गणितीय शाखेमध्ये फलनाची सीमा ही अतिशय महत्त्वाची संकल्पना असून यावर संततता, विकलन, संकलन इत्यादी महत्त्वाच्या संकल्पना आधारलेल्या आहेत. साधारणपणे, सीमा म्हणजे एखाद्या राशीचे मूल्य वाढवत नेले असता त्या राशीच्या फलानाने गाठलेले टोकाचे मूल्य होय. खालील उदाहरणाद्वारे ही संकल्पना अशी स्पष्ट करता येईल.

$f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R},$ $f(x)= x^2$ हे फलन घ्या. या फलनाची किंमत $x = 2$ या बिंदूपाशी $4$ ही आहे, म्हणजेच $f(2)=4.$ जेव्हा $x$ हा $2$ पेक्षा कमी/जास्त परंतु $2$ च्या जवळ (जसे की $x = 1.8$ किंवा $x = 2.1$ इत्यादी ) असेल तेव्हा $f(x)$ ची किंमत ही $4$ च्या ( कमी / जास्त ) जवळ जाते. जसजसे $x$ ची किंमत वाढवत $2$ च्या जवळ येते तसतसे $f(x)$ ची किंमत ही $4$ च्या जवळ जाते. म्हणजेच $f(x)$ ची डाव्या बाजूने सीमा (left limit) ही $4$ आहे. याच प्रमाणे, समजा $x$ ची किंमत कमी करत (उजव्या बाजूने) $2$ च्या जवळ आणली असता $f(x)$ ची किंमत ही $4$ च्याच जवळ जाते. म्हणून $f(x)$ ची उजव्या बाजूने सीमा (right limit) सुध्दा $4$ आहे. अशा प्रकारे $x = 2$ या बिंदूपाशी $f(x)= x^2$ ची सीमा डाव्या व तसेच उजव्या बाजूने सारखीच येते याची नोंद घ्या. अशा परीस्थितीत $f$ ह्या फलनाची $x=2$ या बिंदूपाशी सीमा अस्तित्वात असून ती $4$ आहे व हे गणितीय भाषेत $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2} f(x) = 4$ असे दर्शविले जाते. याचप्रमाणे $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1} f(x) = 1$ व $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} f(x) = 0$ येईल.

याप्रमाणे $g(x)= 2x+1,$ $x \in \mathbb{R}$ ह्या फलनासाठी $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2} g(x) = 5$ व $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -2} f(x) =-3.$

सीमा ही संकल्पना सतराव्या शतकाच्या सुमारास न्यूटन व लायप्निट्स यांनी उपयोगात आणली. त्यानंतर तब्बल दीडशे वर्षांनंतर फ्रेंच गणिती कोशी व जर्मन गणिती वाईस्त्रास यांनी ह्या संकल्पनेची तर्क कठोर गणितीय व्याख्या मांडली. ती खालीलप्रमाणे देता येईल.

सीमा (limit) : समजा $f$ हे वास्तवमुल्यांकित फलन (real-valued function) व $\ell$ ही एक वास्तव संख्या आहे. दिलेल्या कोणत्याही लहानात लहान $\epsilon > 0$ या वास्तव संख्येसाठी, $\delta > 0$ ही वास्तव संख्या अशी आहे की जेव्हा $x$ व $a$ मधील अंतराचे केवल (absolute) मूल्य $\delta$ पेक्षा काटेकोरपणे कमी असेल ( चिन्हामध्ये $0 < |x-a|< \delta$ ) तेंव्हा $f(x)$ व $\ell$ मधील अंतराचे केवल मूल्य $\epsilon$ पेक्षा काटेकोरपणे कमी (चिन्हामध्ये $| f(x)- \ell |< \epsilon$ ) असल्यास $\ell$ ला $f$ ह्या फलनाची, $x$ हे $a$ च्या जवळ जात असतानाची (tends to) सीमा आहे असे म्हणतात. चिन्हामध्ये ही सीमा खालीलप्रमाणे दर्शविली जाते.