बोस-आइन्स्टाइन सांख्यिकी (Bose-Einstein statistic)

पुंज सांख्यिकीमध्ये सरूप (समसमान, identical) बोसॉनांच्या (Boson) संहतींच्या विविध पुंज स्थितींमध्ये वंटन (distribution) करणाऱ्या सांख्यिकीला बोस-आइन्स्टाइन सांख्यिकी असे म्हणतात. (परिवलनसंख्या ०, १, २ अशी असणाऱ्या कणांना बोसॉन असे म्हणतात.) सरूप बोसॉनांच्या संहतीचे तरंगफल सममित (symmetric) असते त्यामुळे सरूप बोसॉनांच्या संहतींच्या वंटनासाठी वेगळी सांख्यिकीची जरूर असते. बोस-आइन्स्टाइन सांख्यिकीचे पुंज स्थिगतिशास्त्रामध्ये महत्त्वाचे स्थान आहे.

इतिहास : कृष्णिका प्रारणाविषयी (black body radiation) अभ्यास करतांना सत्येंद्रनाथ बोस यांना असे आढळून आले की, फोटॉनांच्या वंटनासाठी वेगळी सांख्यिकी वापरून आलेले निकाल प्रयोगांमध्ये आढळलेल्या वंटनाबरहुकूम, म्हणजेच प्लांकच्या कृष्णिका प्रारणाच्या वंटनासारखे असतात. त्यांनी या विषयी शोध निबंध लिहून तो ॲल्बर्ट आइन्स्टाइन (Albert Einstein) यांच्याकडे ज्ञानपत्रिकेत (journal) प्रसिद्ध करण्यासाठी पाठवला. आइन्स्टाइन यांनी तो जर्मनमध्ये भाषांतरीत करून Zeitschrift fur phisik या ज्ञानपत्रिकेत प्रसिद्ध केला. त्याच बरोबर आइन्स्टाइन यांनी या विषयी स्वतःचा प्रबंधसुद्धा प्रकाशित केला. हे दोन्ही प्रबंध १९२४ साली प्रसिद्ध झाले. बोस यांचे संशोधन केवळ फोटॉनांपुरते (photon) मर्यादित होते. परंतु आइन्स्टाइन यांनी इतर बोसॉनांना (Boson) सुद्धा बोस यांच्या संशोधनात मिळणारे निकाल लागू केले. त्यामुळे या नवीन सांख्यिकीचे बोस-आइन्स्टाइन सांख्यिकी असे नामकरण करण्यात आले.

दोन कण दोन पुंज स्थितीत ठेवल्यास साधारण सांख्यिकीनुसार चार वेगवेगळ्या स्थित्या मिळतील. त्या म्हणजे पहिल्या स्थितीत दोन कण, दुसऱ्या स्थितीत दोन कण, पहिल्या स्थितीत पहिला कण व दुसऱ्या स्थितीत दुसरा कण आणि पहिल्या स्थितीत दुसरा कण आणि दुसऱ्या स्थितीत पहिला कण. परंतु सरूप बोसॉनांच्या बाबतीत वरील शेवटच्या दोन स्थित्या भिन्न गणल्या जात नाहीत कारण दोन्ही बोसॉन सरूप असल्याने त्या सारख्याच आहेत. म्हणजे बोसॉनांच्या बाबतीत केवळ तीनच स्थित्या मिळतात. या फरकामुळेच बोस-आइन्स्टाइन सांख्यिकी वापरल्यास वेगळे वंटन मिळते.

वरीलप्रमाणे बोस- आइन्स्टाइन सांख्यिकीचा उगम कृष्णिका प्रारण अथवा प्लांकचा नियम समजण्यासाठी झाला. परंतु तिचा वापर सर्व सरूप बोसॉनांच्या वंटनामध्येही होतो. याचे एक उदाहरण म्हणजे बोस-आइन्स्टाइन संघनित (condensate). असे संघनित अतिशय कमी तापमानात बोसॉनांच्या संहत्यांमधे तयार होते. अणूंवरील प्रयोगांत १९९५ मध्ये आढळून आले होते. तसेच लेसर (Laser) हे बोस- आइन्स्टाइन सांख्यिकीचे उदाहरण आहे.

बोस-आइन्स्टाइन वंटन (Bose- Einstein Distribution) : बोस-आइन्स्टाइन वंटन समसमान बोसॉनांचे तरंगफल(Wavefuntion) सममित असते या वस्तुस्थितीवर आधारित आहे. हे तथ्य वापरून अनेक सममित बोसॉनांचे वंटन परिगणित केल्यास असे आढळते की त्यांचे वितरणफल (distribution function)

f(E_i)=\frac{g_i}{(exp^{\beta(E_i-\mu)}-1)}=g_i n(E_i)

असे असते. येथे \beta = \frac{1}{kT}, T हे निरपेक्ष मापनश्रेणीतील तापमान (temperature in absolute scale), k हा बोल्टस्मान स्थिरांक,  \mu हे रासायनिक विभव (chemical potential; म्हणजेच संहतीमधून एक कण वेगळा करण्यास लागणारी ऊर्जा) आणि g_i हा E_i ऊर्जा असलेल्या स्थितीचा अपजनन गुणक (degeneracy factor) आहे. n(E_i)  ला बोस-आइन्स्टाइन वंटन असे म्हणतात आणि त्याद्वारे संहतीमधील कणाची ऊर्जा E_i इतकी असण्याची शक्यता दर्शवते. बोस-आइन्स्टाइन वंटनाविषयी खालील टिप्पण्या करता येईल.

१. जेंव्हा β(E_i - \mu) एकापेक्षा बरेच अधिक असते तेंव्हा बोस-आइन्स्टाइन वंटनाच्या पदावलीतील 1 दुर्लक्षित करता येतो आणि बोस-आइन्स्टाइन वंटन जवळजवळ exp^{(-\beta(E_i-\mu)} इतके असते. म्हणजेच  बोस-आइन्स्टाइन वंटन मॅक्सवेल-बोल्टस्मान वंटनासारखेच असते [मॅक्सवेल-बोल्टस्मान सांख्यिकी]. म्हणजे पुंज परिणाम शून्यवत होतात असे मानता येते. असे बऱ्याच उच्च तापमानात होते.

२. जेंव्हा तापमान शून्यवत असते किंवा β(E_i - \mu) एकापेक्षा बरेच लहान असते तेंव्हा  बोस-आइन्स्टाइन वंटन सु.

n(E_i)~\frac{1}{\beta(E_i-\mu)}=\frac{kT}{E_i-\mu}

इतके होते. म्हणजे सरूप बोसॉनांच्या संहतीतले कण रासानिक विभवाजवळील (\mu) ऊर्जा स्थितीत (energy level) असण्याची शक्यता बरीच जास्त असते. विशेषतः तापमान खूपच कमी असते तेंव्हा जवळजवळ सर्व कण या ऊर्जा स्थितीत जमा होतात. या बोसाॅनांच्या स्थितीस बोस-आइन्स्टाइन संघनित असे म्हणतात.

३. बोसॉनांच्या वितरणफलामधून आपल्याला असे कळते की, एकाच ऊर्जास्थितीत अनेक बोसॉन असण्याची शक्यता अधिक असते. परंतु लक्षात घ्यायची गोष्ट म्हणजे संहतीतील कणांमध्ये कोणतीही आंतरक्रिया नसतानासुद्धा असे होते. म्हणजे हे केवळ पुंज स्थितिगतिशास्त्रामुळे होते. बऱ्याच वेळा या प्रक्रियेस बोस आकर्षण असे म्हणतात. परंतु या आकर्षणासाठी संहतीतील कणांमध्ये कोणतीही आंतरक्रिया असण्याची आवश्यकता नसते.

४. जेंव्हा दोन कणांमधील सरासरी अंतर त्यांच्या औष्णिक द ब्रॉग्ली तरंगलांबीहून (de Broglie wave) बरेच कमी असते तेंव्हा पुंज परिणाम कार्यशील होतात आणि बोस-आइन्स्टाइन वंटन मॅक्सवेल-बोल्टस्मान वंटनाहून बरेच भिन्न असते. याउलट सरासरी अंतर तरंगलांबीहून बरेच अधिक असल्यास या दोन वंटनांमधील फरक कमी होतो. औष्णिक तरंगलांबी (\lambda^{th}) तापमानाच्या वर्गमूळाच्या व्यस्त प्रमाणात असते. (\lambda^{th}=\frac{h}{(3mkT)^{1/2}}) येथे h, m आणि k हे प्लांकचा स्थिरांक, कणांचे वस्तुमान आणि बोल्टस्मानचा स्थिरांक आहे. त्यामुळे अतिउच्च तापमानात औष्णिक तरंगलांबी लहान असते आणि त्यामुळे बोस-आइन्स्टाइन आणि मॅक्सवेल-बोल्टस्मान वंटने एकमेकांसारखी दिसतात.

५. बोस-आइन्स्टाइन वितरणफलामध्ये रासायनिक विभव शून्य मानले आणि अपजनन गुणक दोन मानला तर मिळणारे वितरणफल म्हणजेच प्लांकच्या कृष्णिका प्रारणाच्या वंटन होय.

उपयोग : भौतिकीत बोस-आइन्स्टाइन सांख्यिकीचा वापर अतिशीत तापमानात होतो. त्याचा प्रमुख परिणाम म्हणजे मोठ्या आकारमानाच्या पुंज संहती तयार होतात. उदा., अतिशीत तापमानात द्रवीय हीलियम-४ चे संघनित तयार होते आणि त्याचे गुणधर्म सर्वसाधारण द्रवीय पदार्थांपेक्षा बरेच भिन्न असतात [द्रवीय हीलियम-४ संघनित]. लेसर सुद्धा बोस-आइन्स्टाइन संघनितच आहे.

भौतिकीतील वापराव्यतिरिक्त बोस-आइन्स्टाइन सांख्यिकीचा वापर संज्ञान सिद्धांत (information theory) आणि आंतरजालाच्या (world wide web) संदर्भातही होतो. उदा., आंतरजालातील उद्धरणांच्या जालात (citation networks), जरी ही संतुलित (in equilibrium) नसली तरी,  बोस-आइन्स्टाइन सांख्यिकीचा इथे वापर करता येतो आणि अशा जालांचे बोस-आइन्स्टाइन संघनित होऊ शकते असे आढळून आले आहे.

कळीचे शब्द : #बोसॉन #बोस-आइन्स्टाइन #संघनित #द्रवीय #हीलियम #लेसर

संदर्भ :

समीक्षक : हेमचंद्र प्रधान

Tags: