दान्त्झिग, जॉर्ज बी. (Dantzig, George B.)

दान्त्झिग, जॉर्ज बी. : (८ नोव्हेंबर १९१४ – १३ मे २००५) जॉर्ज बी. दान्त्झिग यांचा जन्म अमेरिकेच्या ओरेगॉन राज्यातील पोर्टलँड येथे झाला. त्यांचे वडील तोबिआस दान्त्झिग हे प्रसिद्ध गणितज्ञ होते. त्यांनी मॅरीलँड विद्यापीठातून गणित व भौतिकशास्त्रात पदवी मिळवली तर पुढे मिशिगन विद्यापीठातून गणितात पदव्युत्तर पदवी घेतली. नंतर दुसऱ्या महायुद्धाच्या दरम्यान ते  अमेरिकेच्या वायुसेनेच्या लढाई विश्लेषण विभागाचे प्रमुख म्हणून कार्यरत होते. दान्त्झिग यांनी बर्कले येथील कॅलिफोर्निया विद्यापीठातून सांख्यिकीमधील दोन अनुत्तरीत प्रश्नांची उकल करून पीएच्.डी. पदवी प्राप्त केली. त्यांचे मार्गदर्शक होते जर्झी नेमन. त्यानंतर ते परत वायुसेनेत गणिती सल्लागार म्हणून रुजू झाले आणि अमेरिकेच्या लष्कराला सल्ला देणाऱ्या रॅन्ड कॉर्पोरेशन या संस्थेत त्यांनी काम केले. मात्र नंतर बर्कले येथील कॅलिफोर्निया विद्यापीठात सहा वर्षे आणि नंतर तेथपासून शेवटपर्यंत स्टॅनफोर्ड विद्यापीठात ते प्रवर्तन संशोधन आणि संगणक विज्ञान या विषयाचे प्राध्यापक राहिले.

वायुसेनेत काम करत असताना मर्यादित संसाधनांचे वाटप कसे करावे जेणेकरून इष्टतम उद्दिष्ट (optimal objective) गाठता येईल या प्रश्नासाठी दान्त्झिग यांनी एक गणिती प्रारूप तयार केले. त्यात सर्व फले (functions) रेषीय स्वरुपाची मानली होती म्हणून त्या प्रारूपाला रेषीय प्रायोजन (linear programming) असे नाव त्यांनी दिले. ते प्रारूप सामान्यपणे असे मांडता येईल :

Maximise Z = p₁x₁ + p₂x₂ + … + p_nx_n

Subject to     a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a_1nx_n≤ b_{1         (१)}

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a_2nx_n≤ b_{2         (२)}

…………………………………………………………………     .…

a_m1x₁ + a_m2x₂ + … + a_mnx_n≤b_{m       (म)}

x₁, x₂, …, x_n≥ 0.

येथे x₁, x₂, …, x_n≥ 0 या चलांचे असे मूल्य प्राप्त करायचे आहे की दिलेल्या (१) ते (म) असमानता  (inequalities) म्हणजेच एकूण म रेषीय मर्यादा (linear constraints) पाळून Z चे कमाल मूल्य मिळेल.

दान्त्झिग यांनी त्यासाठी जी पद्धत विकसित केली त्यात प्रथम त्या पदावल्या व त्यांच्या मर्यादा वापरून चलांच्या शक्य किंमतींचा संच म्हणजे शक्य संच (feasible set) काढला जातो. म्हणजे इष्टतम उद्दिष्टफल देणाऱ्या चलांचे मूल्य त्या संचात असणार. परंतु असे असंख्य सदस्य असू शकतील. मात्र दान्त्झिग यांनी येथे कळीचे प्रमेय सिद्ध केले की इष्टतम किंमत या मर्यादा असमानता जेथे एकमेकाला छेद देतात केवळ त्या कोन किंवा चरम बिंदू वरच (extreme points) असणार. तरी त्याच्याकडे लवकरात लवकर कसे पोचता येईल ह्याची रीत त्यांनी विकसित केली. या सर्व मर्यादा असमानता एकत्रपणे बघितल्यास त्या भूमितीमधील सिम्प्लेक्स ही आकृती तयार करतात, म्हणून त्यांनी त्यांच्या पद्धतीला सिम्प्लेक्स पद्धत (Simplex Method) असे नाव दिले. तरी या पद्धतीत एका चरम बिंदूपासून सुरुवात केली जाते आणि उद्दिष्टफल इष्टतम नसल्यास दुसऱ्या कुठल्या चरम बिंदूकडे जायचे याचे मार्गदर्शन मिळते. नंतर त्या चरम बिंदूवर जाऊन हीच प्रक्रिया केली जाते आणि अशाप्रकारे काही वेळा केल्यानंतर उद्दिष्टफलाचे इष्टतम मूल्य देणाऱ्या चरम बिंदूवर जाऊन ही पद्धत थांबते. सदर सिम्प्लेक्स पद्धत एकाच प्रकारची आवर्तने घेत घेत पुढे जात असल्यामुळे संगणकाचा वापर तिच्यासाठी चपखल ठरतो.

सिम्प्लेक्स पद्धतीबाबत त्यांचे हे काम १९४७ साली पूर्ण झाले आणि लष्करी समस्यांसाठी वापरू जाऊ लागले. नंतर ते गोपनीय न ठेवता सार्वजनिक केले गेले. त्याची उपयोगिता थोड्याच काळात, कृषी, उद्योग, परिवहन, दळणवळण अशा असंख्य क्षेत्रात दिसून आली कारण सर्व ठिकाणी मर्यादित संसाधनांचा इष्टतम वापर करणे ही कळीची समस्या असते. तरी दान्त्झिग यांची रेषीय प्रायोजन या गणिती शाखेचे जनक म्हणून ख्याती झाली. विसाव्या शतकातील गणितामधील पहिल्या दहा उपलब्धींमध्ये सिम्प्लेक्स पद्धतीचा समावेश केला गेला आहे यावरून त्याची सखोलता आणि उपयुक्तता अधोरेखित होते.

यापुढे जाऊन दान्त्झिग यांनी असेही दाखवले की प्रत्येक रेषीय प्रायोजन प्रारूपाला जुळे किंवा अनोन्य (Dual) रेषीय प्रायोजन प्रारूप असते. त्यांनी असे सिद्ध केले की त्या दोघांचे इष्टतम मूल्य सारखेच असते आणि त्यापैकी एक सोडवला, की दुसर्‍याचे उत्तरही मिळते. याला रेषीय प्रायोजन याची अनोन्यता उपपत्ती (Duality Theory) असे म्हटले जाते. अर्थशास्त्रात आणि प्रत्यक्षात निर्णय घेण्यात तिची लक्षणीय मदत मिळते. उदाहरणार्थ, वरील प्रारुपाशी निगडीत अनोन्य प्रारूप पुढीलप्रमाणे आहे :

Minimise W = b₁y₁ + b₂y₂ + … + b_my_m

Subject to     a₁₁y₁ + a₂₁y₂ + … + a_m1y_m≥ p₁

a₁₂y₁ + a₂₂y₂ + … + a_m2y_m≥ p₂

…………………………………………………………………

a_1ny₁ + a_2ny₂ + … + a_mny_m≥p_n

y₁, y₂, …,y_m≥ 0.

याशिवाय दान्त्झिग यांनी रेषीय प्रायोजनाचा विस्तार अनेक अंगानी केला. त्यातील एक म्हणजे रेषीय प्रायोजन प्रारूपाचे उत्तर पूर्णांकात मिळेल यासाठी इंटीजर प्रोग्रॅमिंगचा विकास. तसेच महाकाय रेषीय प्रायोजन प्रारूपाकरता विघटन तत्त्व (decomposition principle) यावर आधारित पद्धत वापरणे. अरेषीय प्रायोजन (nonlinear programming) जसे की quadratic programming याची सुरुवातही त्यांनी केली. रेषीय प्रायोजन आणि द्यूत सिद्धांत (Game Theory) यांच्यातील गणिती संबंधावरही त्यांनी प्रकाश टाकला. दान्त्झिग यांचे आणखी एक महत्त्वाचे योगदान म्हणजे प्रसंभाव्य प्रायोजन (stochastic programming) ची पायाभरणी म्हणजे अनिश्चित वातावरणात रेषीय प्रायोजन प्रारूप सोडवणे. त्यामुळे रेषीय प्रायोजनाचे उपयोजन विशेषकरून वित्तीय क्षेत्रात अधिक व्यापक झाले.

दान्त्झिग यांचे ३०० हून अधिक शोधलेख प्रसिद्ध झाले. त्यांच्या नावावर १३ पुस्तके आहेत. त्यातील Linear Programming and Extensions हे सर्वात गाजलेले पुस्तक असून या विषयाच्या अभ्यासासाठी अनिवार्य मानले जाते. त्याशिवाय १९७३ साली सुबक आणि उत्साहवर्धक वातावरण असलेले शहर कसे असावे याची मांडणी करणारे एक वेगळे पुस्तक Compact City: A Plan for a Liveable Urban Environment, त्यांनी थॉमस एल. साटी (Thomas L. Saaty) यांच्यासोबत प्रसिद्ध केले. त्यांच्या मार्गदर्शनाखाली ५२ विद्यार्थ्यांना पीएच्.डी. पदवी मिळाली.

दान्त्झिग यांना गणित आणि प्रवर्तन संशोधनाच्या अनेक अकॅडमीचे सदस्य म्हणून निवडले होते. ते इन्स्टिट्यूट ऑफ मॅनेजमेंट सायन्स तसेच मॅथेमॅटिकल प्रोग्रॅमिंगचे काही काळ अध्यक्ष होते. त्यांना मिळालेल्या विविध सन्मानात पहिले जॉन फॉन न्यूमन थिअरी पारितोषिक, अमेरिकेचे नॅशनल मेडल ऑफ सायन्स, हार्वे पारितोषिक आणि इंग्लंडच्या ऑपरेशनल रिसर्च सोसायटीचे रौप्य पदक हे आहेत. १९८२ पासून मॅथेमॅटिकल प्रोग्रॅमिंग सोसायटी दर तीन वर्षांनी गणिती प्रायोजनात उल्लेखनीय योगदान करणाऱ्या एक किंवा दोन व्यक्तींना त्यांच्या नावाने पारितोषिक देते. त्याशिवाय प्रवर्तन संशोधन किंवा व्यवस्थापनशास्त्र यातील उपयोजनासाठी उत्कृष्ट पीएच्.डी. प्रबंधाला द जॉर्ज बी. दान्त्झिग डेझर्टेशन अवार्ड दिले जाते. ते इन्स्टिट्यूट फॉरऑपरेशन्स रिसर्च अँड द मॅनेजमेंट सायन्सेसचे फेलो म्हणून निवडले गेले. त्यांना आठ विद्यापीठाकडून मानद पदवी दिली गेली.

रेषीय प्रायोजन याचा पाया रचून प्रवर्तन संशोधन विषयाला फार पुढे नेण्याचे श्रेय दान्त्झिग यांना जाते.

 संदर्भ : 

• Cottle, Richard W. (2005). “George B. Dantzig: a legendary life in mathematical programming”. Mathematical Programming. 105 (1): 1–8.
• doi:10.1007/s10107-005-0674-4.
• Gass, Saul I. (2011). “George B. Dantzig”. Profiles in Operations Research. International Series in Operations Research & Management Science. 147. pp. 217–240. doi:1007/978-1-4419-6281-2_13.
• https://www.informs.org/Explore/History-of-O.R.-Excellence/Biographical-Profiles/Dantzig-George-B
• https://news.stanford.edu/news/2005/may25/dantzigobit-052505.html

समीक्षक : विवेक पाटकर