आर्किमिडीज यांची प्रमेये (Archimedes’ theorems)

आर्किमिडीज हे प्रसिद्ध ग्रीक गणिती व संशोधक होते. सिसिलीमधील सेरक्यूज येथे सुमारे इ.स.पू. 287 मध्ये त्यांचा जन्म झाला. त्यांनी पदार्थविज्ञान, अभियांत्रिकी आणि खगोलशास्त्र अशा अनेक विषयांत योगदान दिले. ह्याचसह गणिताच्या विविध शाखा-उपशाखांवरील त्यांचे काम बहुमूल्य अशा स्वरूपाचे मानले जाते. गणिताची एक शाखा असलेल्या एकप्रतलीय भूमिती ह्या प्रकारात त्यांची पंधरा प्रमेये विशेष प्रसिद्ध आहेत. ती आकृत्यांसह येथे दिलेली आहेत.

1. कोणत्याही त्रिज्यांची दोन वर्तुळे जर एकमेकांना (आतून किंवा बाहेरून) $A$ बिंदूत स्पर्श करत असतील आणि जर $BD$ व $EF$ हे त्या वर्तुळांचे व्यास एकमेकांना समांतर असतील तर $A, D, F$ (तसेच $A, B, E$ ) हे बिंदू एका सरळ रेषेत असतात (आकृती 1).

2. $AB$ व्यास असलेल्या कोणत्याही अर्धवर्तुळास $B$ ह्या बिंदूतून व अर्धवर्तुळावरील अन्य कोणत्याही $D$ बिंदूतून काढलेल्या स्पर्शिका $T$ ह्या बिंदूत एकमेकींना छेदतात. जर $DE$ हा $AB$ वर टाकलेला लंब असेल आणि जर $AT$ व $DE$ ह्या $F$ बिंदूत एकमेकींना छेदत असतील, तर $DF = FE$ . (आकृती 2)

3. $AB$ हा पाया असलेल्या वर्तुळ पाकळीवर $P$ हा कोणताही एक बिंदू आहे. $PN$ हा $AB$ स लंब आहे. $D$ हा $AB$ वर असा बिंदू आहे की $AN = ND$ . कंस $PQ$ ची लांबी ही कंस $PA$ च्या लांबीइतकी असेल तर $BQ$ रेषाखंडाची लांबी $BD$ रेषाखंडाइतकी असते (आकृती 3).

4. $AB$ हा समजा एका अर्धवर्तुळाचा व्यास असून $N$ हा $AB$ वरील कोणताही एक बिंदू आहे. $PN$ हा $AB$ स लंब असून $P$ हा अर्धवर्तुळावरील बिंदू आहे. समजा $AN$ आणि $BN$ असे व्यास घेऊन मूळ अर्धवर्तुळात दोन छोटी अर्धवर्तुळं काढली तर ह्या तीनही अर्धवर्तुळांच्या परिघांमध्ये सीमित झालेल्या आकृतीचे क्षेत्रफळ (ठळक केलेला भाग) हे $PN$ व्यास असलेल्या वर्तुळाच्या क्षेत्रफळाइतके असते (आकृती 4).

5. $AB$ हा एका अर्धवर्तुळाचा व्यास असून त्यावर C हा कोणताही एक बिंदू घेतला आहे. $AC$ आणि $CB$ हे व्यास मानून मूळच्या अर्धवर्तुळात दोन छोटी अर्धवर्तुळे काढली आहेत. $CD$ हा $AB$ स लंब आहे. आता जर $CD$ ला प्रत्येक बाजूने स्पर्श करणारी दोन वर्तुळे काढली,ज्यातील प्रत्येक वर्तुळ आधीच्या (तीन) अर्धवर्तुळांपैकी दोन अर्धवर्तुळांना स्पर्श करत असेल, तर ह्या दोन्ही (नवीन) वर्तुळांचे क्षेत्रफळ सारखे असते (आकृती 5).

6. $AB$ व्यास असलेलं अर्धवर्तुळ काढलेले आहे. $AB$ वर $C$ हा बिंदू असा घेतलेला आहे की $AC = \frac{3}{2} \times CB$ . $AC$ आणि $CB$ व्यास मानून मूळ अर्धवर्तुळात दोन अर्धवर्तुळे काढली आहेत (आकृती 6). समजा ह्या तीनही अर्धवर्तुळांना स्पर्श करणारं वर्तुळ काढलं, ज्याचा व्यास $GH$ आहे, तर $GH = \frac{6}{19} \times AB$ . (ह्या प्रमेयात $AC = \frac{3}{2} \times CB$ ह्या जागी इतर कोणतीही संख्या घेतली तरी प्रस्तुत प्रमेयाच्या सिद्धतेतून $GH$ आणि $AB$ ह्यांच्यातील गुणोत्तर काढता येते. आर्किमिडीज ह्यांनी इथे केवळ उदाहरणादाखल $\frac{3}{2}$ हे गुणोत्तर विचारात घेतलेले आहे.)

7. दिलेल्या कोणत्याही चौरसास परिलिखित केलेल्या वर्तुळाचे क्षेत्रफळ (ठळक वर्तुळ) हे त्याच चौरसात आंतरलिखित केलेल्या वर्तुळाच्या (तुटक वर्तुळ) क्षेत्रफळाच्या दुप्पट असते(आकृती 7).

8. $O$ केंद्र असलेल्या कोणत्याही वर्तुळात $AB$ ही कोणतीही जीवा आहे. ही $AB$ ( $B$ च्या बाजूने) $C$ पर्यंत अशी वाढवली, जेणेकरून $BC$ ची लांबी वर्तुळाच्या त्रिज्येइतकी असेल. आता $CO$ ही वर्तुळाला पहिल्यांदा $D$ ह्या बिंदूत आणि नंतर (पुढे वाढवून) $E$ ह्या बिंदूत छेदत असेल तर कंस $AE$ ची लांबी ही कंस $BD$ च्या लांबीच्या तिप्पट असते (आकृती 8).

9. दिलेल्या कोणत्याही वर्तुळात, एकमेकींस लंब असलेल्या, मात्र वर्तुळाच्या केंद्रातून न जाणाऱ्या, $AB$ आणि $CD$ अशा जीवा काढल्या तर कंस $AD$ ची लांबी + कंस $CB$ ची लांबी = कंस $AC$ ची लांबी + कंस $DB$ ची लांबी (आकृती 9).

(केंद्रातून जाणाऱ्या व एकमेकींस लंब असणाऱ्या जीवांच्या बाबतीत हे सूत्र पूर्णपणे सत्य आहे.)

10. $TA$ आणि $TB$ ह्या दिलेल्या वर्तुळाच्या दोन स्पर्शिका असून $TC$ ही त्या वर्तुळाची छेदिका आहे. $BD$ ही वर्तुळाची जीवा असून ती $TC$ ला समांतर आहे. $AD$ ही जीवा $TC$ ला $E$ बिंदूत छेदते. आता जर $E$ पासून $BD$ वर $EH$ हा लंब टाकला तर तो $BD$ ला ( $H$ बिंदूत) दुभागतो (आकृती 10).

11. दिलेल्या वर्तुळात एकमेकींस लंब असणाऱ्या मात्र केंद्रातून न जाणाऱ्या AB आणि CD ह्या जीवा काढल्या आणि जर त्या O बिंदूत (O हा अर्थातच वर्तुळाचा केंद्रबिंदू असू शकत नाही) एकमेकींस छेदत असतील तर $AO^2 + BO^2 + CO^2 + DO^2 =$ व्यास² (आकृती 11).

(ह्या प्रमेयातही, जर त्या जीवा केंद्रातून जात असतील तर $AO^2 + BO^2 + CO^2 + DO^2 =$ व्यास² हे सूत्र पूर्ण सत्य आहे. मात्र त्या जीवा केंद्रातून जात नसतील तरीही हे सूत्र सत्य आहे असे आर्किमिडीजना इथे सांगायचे आहे.)

12. AB हा एका अर्धवर्तुळाचा व्यास असून त्या अर्धवर्तुळाला $T$ ह्या कोणत्याही बाह्यबिंदूतून $TP$ आणि $TQ$ ह्या दोन स्पर्शिका काढलेल्या आहेत. $AQ$ आणि $BP$ ह्या जर एकमेकींना $R$ ह्या बिंदूत छेदत असतील तर $TR$ ही $AB$ ला लंब असते (आकृती 12).

13. दिलेल्या वर्तुळाचा $AB$ हा व्यास वर्तुळाच्या $CD$ ह्या जीवेस ( $CD$ ही व्यास नाही) $E$ ह्याबिंदूत छेदत असेल आणि जर $AM$ आणि $BN$ हे $CD$ वर टाकलेले लंब असतील तर $CN = DM$ .

14. $AB$ ह्या व्यासावर $ACB$ हे अर्धवर्तुळ काढलेले आहे. $AB$ वर $D$ आणि $E$ हे असे बिंदू घेतले आहेत ज्यामुळे $AD$ आणि $BE$ ह्यांची लांबी समान आहे. $AD$ आणि $BE$ हे व्यास मानून मूळ अर्धवर्तुळात दोन छोटी अर्धवर्तुळे काढली आहेत. आता $DE$ हा व्यास मानून मूळ अर्धवर्तुळाच्या बाहेर अजून एक अर्धवर्तुळ काढले आहे. जर, $O$ ह्या $AB$ च्या मध्यबिंदूतून $AB$ स काढलेला लंब ह्या दोन विरुद्ध दिशांना असणाऱ्या वर्तुळांना $C$ आणि $F$ ह्या बिंदूंत छेदतो, तर ह्या सर्व अर्धवर्तुळांच्या $(ACB, BE, EFD$ आणि $DA)$ परिघांमध्ये सीमित झालेल्या आकाराचे क्षेत्रफळ हे $CF$ हा व्यास असलेल्या वर्तुळाच्या क्षेत्रफळाइतके असते (आकृती 14).

15. दिलेल्या कोणत्याही वर्तुळाचा $AB$ हा व्यास असून त्या वर्तुळात आंतरलिखित झालेल्या सुसम पंचकोनाची $AC$ ही एक भुजा आहे. $D$ हा वर्तुळकंस $AC$ चा मध्यबिंदू आहे. $CD$ जोडून आणि पुढे वाढवून $BA$ स $E$ ह्या बिंदूत मिळते. $AC$ आणि $DB$ ह्या एकमेकींना $F$ ह्या बिंदूत छेदते. आता जर $FM$ हा $AB$ ला लंब असेल तर $EM$ ची लांबी वर्तुळाच्या त्रिज्येइतकी असते (आकृती 15).