बर्ट्राँड, जोजफ : ( ११ मार्च, १८२२ – ३ एप्रिल, १९०० ) 
जोजफ बर्ट्राँड यांचा जन्म पॅरिसचा. वयाच्या नवव्या वर्षापासून त्यांचा प्रतिपाळ काका व सुप्रसिद्ध गणिती, जे.जे. डुहमेल यांनी केला. कमीत कमी वयात पदव्या मिळण्याचे फ्रेंच विद्यापीठातील सर्व विक्रम बर्ट्राँडनी मोडले होते. इकोल तंत्रनिकेतनातील व्याख्यानांना उपस्थित राहण्याची परवानगी त्यांना वयाच्या फक्त अकराव्या वर्षी तर गणितशास्त्रातील डॉक्टोरेट अवघ्या सोळाव्या वर्षी मिळाली. तोपर्यंत त्यांच्याकडे दोन पदव्याही होत्या. त्यांच्या प्रबंधाचा विषय होता ‘Mathematical Theory of Electricity’. वयाच्या पंचविसाव्या वर्षीच त्यांची निवड विद्वानांसाठी मौलिक असलेल्या उच्च दर्जाच्या, कॉलेज द फ्रान्समध्ये, गणित-भौतिकीचे अंतरिम प्राध्यापक म्हणून झाली. पहिली बारा वर्षे बर्ट्राँड इकोल तंत्रनिकेतनात विश्लेषण विषयाचे अध्यापक होते आणि नंतरची ३९ वर्षे ते त्याच विषयाचे पीठासीन प्राध्यापक राहिले.
बर्ट्राँड यांनी, n आणि 2n – 2 यांच्यामधील प्रत्येक n > 3 साठी निदान एक तरी मूळसंख्या असतेच, अशी अटकळ मांडली. ही अटकळ चेबिशेव यांनी सिद्ध करून दाखवली. आज ही अटकळ बर्ट्राँड आधारक (Bertrand’s postulate) म्हणून ओळखली जाते.
वास्तव संख्यांच्या (real numbers) निर्मितीला योगदान देणाऱ्यांपैकी बर्ट्रांड हे एक होत. बर्ट्रांडनी वास्तव संख्यांची व्याख्या त्यांच्या अंकगणितावरील Trait ́e d’arithm ́etique पुस्तकातून मांडली. त्यानुसार वास्तव संख्यांतील, एखाद्या अपरिमेय (irrational) संख्येची व्याख्या, त्या संख्येहून लहान आणि मोठ्या अशा सर्व परीमेय (rational) संख्या तपशीलवार मांडून करता येते. हीच ‘विभाजन’ कल्पना वापरून डेडेकिंड, या जर्मन गणितीने, वास्तव संख्यांची अधिक रीतसर आणि तर्ककठोर व्याख्या केली. त्याला डेडेकिंड कट म्हणतात.
गॉस यांच्या त्रुटी सिद्धांत (theory of errors) आणि लघुतम वर्ग पद्धती (method of least squares) यांचे फ्रेंच भाषेत प्रथम भाषांतर बर्ट्राँडनी केले आणि त्यावर पुढे काम केले.
ते फ्रेंच ॲकॅडमी ऑफ सायन्सेसचे सदस्य आणि नंतर त्यांची विदेशी सदस्य म्हणून रॉयल स्विडिश ॲकॅडमी ऑफ सायन्सेवर निवड झाली. ते फ्रेंच ॲकॅडमी ऑफ सायन्सेसचे स्थायी सचिव म्हणून कार्यरत होते. या कार्यकालात त्यांनी Academic Eulogies चे दोन खंड निर्माण केले. यांतील सुंदर व विनोदी शैलीमुळे, ते अकॅडमी फ्रान्साइजमध्ये निवडले गेले.
बर्ट्राँड स्पर्धा प्रतिमानातून’ त्यांनी ए. ए. कूर्नॉट (A. A. Cournot) यांचा निष्कर्ष दिशाभूल करणारा असल्याचे सांगून, त्यांचे काम नव्याने केले. यात बर्ट्राँडनी डावपेची चले म्हणून वस्तूंच्या प्रमाणाऐवजी (quantities) किंमती (prices) वापरल्या. यातून त्यांनी असे दाखवले की, समतोल किंमत म्हणजे निव्वळ स्पर्धात्मक मूल्य. अर्थशास्त्र आणि वाणिज्य क्षेत्रातील हे प्रतिमान, बर्ट्रान्ड विरोधाभासावर आधारलेले आहे.
Calculus des probabilités या बर्ट्राँड यांच्या गाजलेल्या उत्तम संदर्भग्रंथांत त्यांचा आणखी एक प्रसिद्ध विरोधाभास आहे. बर्ट्रांड यांच्या मते, यादृच्छिक चल निर्माण करणारी यंत्रणा किंवा पद्धत स्पष्टपणे परिभाषित केली नाही, तर संभाव्यतेची सुस्पष्ट व्याख्या होऊ शकत नाही. याच्या पुष्ट्यर्थ त्यानी दिलेल्या उदाहरणातून, संभाव्यतेबद्दलचा विरोधाभास उघड होतो. समजा, वर्तुळात एक समभुज त्रिकोण काढून त्या वर्तुळाची एक जीवा जर यादृच्छिकपणे निवडली, तर ती त्रिकोणाच्या बाजूहून मोठी असण्याची संभाव्यता किती ? असा प्रश्न आहे. उत्तरादाखल बर्ट्रांडनी वापरलेल्या तीन पद्धती सर्वार्थाने वैध असूनही, उत्तरे भिन्न देतात. पहिल्या यादृच्छिक अंत्यबिंदू (random endpoints) पद्धतीने उत्तर १/३ येते. दुसऱ्या, यादृच्छिक त्रिज्या (random radius) पद्धतीने, उत्तर १/२ येते. तर तिसऱ्या, यादृच्छिक मध्यबिंदू (random midpoint) पद्धतीने, उत्तर १/४ येते.
Thermodynamique या बर्ट्राँड यांच्या पुस्तकातून प्रथमच असे निदर्शनास आणले गेले की, उष्मागतिक उष्णता क्षयमान आणि तापमान यांची व्याख्या फक्त व्युत्क्रमी प्रक्रियांच्या (reversible processes) संदर्भातच करता येते. या पुस्तकाचे हस्तलिखित घराला लागलेल्या आगीत नष्ट झाल्यावर त्यांनी ते पुन्हा लिहिले होते. Traité de calcul différentiel et de calcul integral याचा तिसरा खंड आणि इतरही जी हस्तलिखिते आगीने गिळंकृत केली होती, ती बर्ट्राँडनी पुन्हा लिहिली नाहीत.
बर्ट्राँडनी मांडलेले मतपत्र प्रमेय (Ballot Theorem) मतांची संभाव्यता काढण्यासाठी उपयुक्त ठरते. समजा, एका निवडणुकीत ‘म’ लोकांनी ‘अ’ उमेदवाराला आणि ‘न’ लोकांनी ‘ब’ उमेदवाराला मते दिलीत. जर क धन पूर्णांकासाठी म > (क×न) असेल, तर पहिल्या मतापासून अ उमेदवाराला, ब उमेदवाराच्या मतांच्या क पटीने नेहमीच अधिक मते मिळण्याची संभाव्यता [(म – न) भागिले (म + न)] सूत्राने मिळते.
संभाव्यतेत बर्ट्राँड यांना रस असण्याचे विशेष कारण, तोफा डागण्यात अचूकता मिळवून देण्याचा त्यांना लागलेला ध्यास. संभाव्यतेत अपेक्षा पद्धती (Method of Expectation) बर्ट्राँड यांनीच लोकप्रिय केली. यात एखाद्या घटनेच्या संभाव्यतेचे परिगणन करण्याऐवजी त्याच्या द्योतक फलाचे (indicator function) परिगणन केले जाते.
बर्ट्राँड यांनी संभाव्यतेवर आधारित तीन चमत्कारिक पेट्यांची (Bertrand’s Strange Three Boxes) समस्या मांडली. यानुसार, प्रत्येकी दोन खण असलेल्या तीन पेटया आहेत, ‘अ’ पेटीतील प्रत्येक खणात एक सोन्याचे नाणे, ‘ब’ पेटीतील प्रत्येक खणात एक चांदीचे नाणे आणि ‘क’ पेटीतील एका खणात एक सोन्याचे तर दुसऱ्यात एक चांदीचे नाणे आहे. या संदर्भातील बर्ट्राँड यांचे प्रश्न असे : तीनांतून यादृच्छिकपणे निवडलेली एक पेटी ‘क’ असण्याची संभाव्यता किती ? तीनांतून यादृच्छिकपणे निवडलेली एक पेटी आणि यादृच्छिकपणे निवडलेल्या तिच्या खणातून जर सोन्याचे नाणे निघाले, तर ती पेटी ‘क’ असण्याची संभाव्यता किती ?
गणिताच्या पाठ्यपुस्तकांसह बर्ट्राँडनी, अलेम्बर्ट आणि पास्कल या गणितींवर चरित्रात्मक पुस्तके आणि इतरांवर निबंधही लिहिले. Journal des Savants चे ते ३५ वर्षे संपादक असताना त्यांनी विज्ञानाच्या इतिहासावर अनेक लोकप्रिय लेख लिहिले. बर्ट्राँड-वक्र, बर्ट्राँड-श्रेणी अशा कित्येक संज्ञा त्यांच्या नावावर आहेत. ते रॉयल सोसायटीचे अधिछात्र निवडले गेले होते.
राजकीय अस्थैर्यातून गणितशास्त्राची धुरा बर्ट्राँडनी अर्धशतक समर्थपणे वाहिली, अनेक गणितज्ञांना प्रभावीपणे प्रोत्साहन दिले आणि संभाव्यताशास्रातील फ्रेंच योगदानाची दखल जगाला घ्यायला लावली.
संदर्भ :
- Bru Bernard and Jongmans Francois, (2001) Joseph Bertrand. In Statisticians of the Centuries (Eds. C. Heyde and E. Seneta). Springer-Verlag, NY. 185-188.
- http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Bertrand.html
समीक्षक : विवेक पाटकर