पदावलीयुक्त विशिष्ट स्वरूपाची समीकरणे डायोफँटसची समीकरणे म्हणून ओळखली जातात. इजिप्तमधील अलेक्झांड्रिया प्रांतात तिसऱ्या शतकात डायोफँटस हे गणिती होऊन गेले. ह्या समीकरणांवरील त्यांनी केलेल्या कामातून सदर समीकरणांशी त्यांचे नाव संबद्ध झाले आहे. अशा समीकरणांची उकल पूर्णांकात असणे आवश्यक असते. डायोफँटस समीकरणात एकापेक्षा अधिक चलपदे असतात. 2x + 3y = 5 हे अशा स्वरूपाचे समीकरण आहे. अशा समीकरणाची उकल, x = 1, y = 1 किंवा x = 4, y = -1, किंवा x = -2, y = 3 अशा अनेक संख्यायुग्मांनी होऊ शकते.
वस्तुत: केवळ 2x + 3y = 5 विचारात घेता x साठी कोणतीही (वास्तव) किंमत घेऊन y ची एखादी यथायोग्य (वास्तव) किंमत विचारात घेता येऊ शकते, ज्यायोगे ह्या समीकरणाचे समाधान होऊ शकते. मात्र, ‘डायोफँटस यांच्या समीकरणाच्या उकली पूर्णांकातच असणे आवश्यक असते’ ही अट विचारात घेता, दिलेल्या विशिष्ट समीकरणासाठी उकल अस्तित्वात असेलच असं नाही. उदाहरणार्थ, 5x + 10y = 101 या समीकरणाचे समाधान पूर्णांकांत करता येत नाही.
डायोफँटस यांच्या समीकरणांचाच एक वैशिष्ट्यपूर्ण प्रकार म्हणजे पेलची समीकरणे होय. जॉन पेल हे इंग्लिश गणिती सतराव्या शतकात होऊन गेले, ज्यांचे नाव ह्या समीकरणांना दिले गेले आहे. पेल-समीकरणांचे सामान्य स्वरूप Nx2 + 1 = y2 असे असते. ह्यात N ची किंमत माहीत असते, मात्र x आणि y हे अज्ञात असतात, ज्यांच्या किंमती पूर्णांकातच शोधावयाच्या असतात. जरी ह्या समीकरणांना पेलची समीकरणे म्हणत असले तरीही, ती पेल यांनी सोडवली नव्हती. ऑयलरना पाठवलेल्या एका पत्रात पेलनी अशा समीकरणांचा उल्लेख केला होता आणि ऑयलर यांनी चुकून त्या समीकरणांना पेल ह्यांचे नाव दिले आणि तेच नाव सर्वत्र झाले. पेल ह्यांच्या एक सहस्र वर्षे आधी जन्मलेले भारतीय गणिती ब्रह्मगुप्त ह्यांनी ती सोडवली होती. ब्रह्मगुप्तांनंतर भास्कराचार्य आणि नारायण पंडित ह्या विद्वानांनीही ती अभ्यासलीही होती व सोडवलीही होती. ज्या समीकरणांशी डायोफँटस ह्यांचे नाव संबद्ध झालेले आहे, तीही भारतीयांनी स्वतंत्रपणे सोडवली होतीच. त्यांना कुट्टक असे नाव आपल्याकडे दिले गेलेले होते. पेल-समीकरणांना आपल्याकडे वर्गप्रकृती असे म्हणत.
डायोफँटस समीकरणांप्रमाणेच वर्गप्रकृतीलाही उकल असेलच असे नाही. मात्र, दिलेल्या वर्गप्रकृतीला जर एखादी उकल असेल, तर एकापेक्षा जास्त उकलीही असू शकतात हा अंदाज होताच. त्यामुळे असा एक प्रश्न उभा राहतो की, अशी एखादी पद्धत असेल का जिच्यायोगे अशा अनेक उकली शोधून काढता येतील ? ब्रह्मगुप्त, भास्कराचार्य यांनी अशा पद्धती दिलेल्या आहेत. ब्रह्मगुप्त आणि भास्कराचार्य ह्यांच्या पद्धतीत मूलभूत फरक आहे तो असा, की ब्रह्मगुप्तांच्या पद्धतीत अशा एखाद्या वर्गप्रकृतीचे मुळात एखादे उत्तर माहीत असावे लागते. आणि त्या माहीत असलेल्या उत्तरावरून इतर अनेक उत्तरे काढता येतात. असे उत्तर माहीत नसेल तर परिक्षण आणि त्रुटी पद्धतीने (Trial and Error) एखादे उत्तर काढून तयार ठेवावे लागते. ‘ब्रह्मस्फुटसिद्धांत’ ह्या आपल्या ग्रंथात ब्रह्मगुप्त म्हणतात…
मूलं द्विधेष्टवर्गाद् गुणक-गुणादिष्टयुत-विहीनाच्च।
आद्यवधो गुणकगुण: सहान्त्यघातेन कृतमन्त्यम्॥
ह्याचा अर्थ असा की, जर a1, b1 आणि a2, b2 ह्या किंमती दिलेल्या वर्गप्रकृतीचे समाधान करू शकत असतील तर a1b2 ± a2b1 आणि b1b2 ± Na1a2 ह्या देखील त्याच वर्गप्रकृतीचे समाधान करू शकतात. ह्याचाच अर्थ असा की चाचणी पद्धतीने काही मूलभूत उत्तरं काढणे शक्य झाले तर त्यांचा उपयोग करून अजून काही उत्तरं मिळतात. पुन्हा त्या सर्वांचा उपयोग करून अजूनही मिळू शकतील.
उदाहरणार्थ, ब्रह्मगुप्तांनी सोडविलेल्या 8x2 + 1 = y2 या समीकरणा थोडी खटपट करता, x = 1 आणि y = 3 ही ह्या वर्गप्रकृतीची उत्तरे आहेत हे लक्षात येते. आता हीच उत्तरं दोनदा विचारात घेऊ. म्हणजे, a1 = 1, b1 = 3 आणि a2 = 1, b2 = 3. प्रस्तुत समीकरणात Nची किंमत आहे 8. आता ब्रह्मगुप्तांचा सिद्धांत वापरून x = 6 आणि y = 17 ह्या अधिकच्या किमती मिळतात. आणि त्या वापरून x = 35 आणि y = 99 ह्या अधिकच्या किमती मिळतात. अर्थातच ह्या मिळालेल्या उत्तरांतून अजूनही उत्तरं शोधता येतील.
वर पाहिल्याप्रमाणे पेल-समीकरणांचे सामान्य स्वरूप Nx2 + 1 = y2 असे असते. अर्थातच Nच्या कोणत्याही किंमतीसाठी x = 0; y = 1 आणि ह्या सदर समीकरणाच्या उकली आहेतच; तथापि, ब्रह्मगुप्तांच्या सिद्धांताचा उपयोग करून, a1 = 0, b1 = 1 आणि पुन्हा a2 = 0, b2 = 1 ह्या किंमती विचारात घेतल्या तर a1b2 ± a2b1 आणि b1b2 ± Na1a2 ह्यांच्या योगे नवीन उकली मिळू शकत नाहीत. त्यामुळे जे मूलभूत उत्तर काढायचे ते x = 0 आणि y = 1 ह्यापेक्षा वेगळे असेल तर त्याच्या योगे आणि ब्रह्मगुप्तांच्या सिद्धांतावरून जास्तीची उत्तरे काढता येतात.
अर्थात ब्रह्मगुप्तांच्या ह्या पद्धतीतील त्रुटी अशी की समीकरणाची निदान एकतरी उकल माहीत असावी लागते किंवा चाचणी पद्धतीने आकडेमोड करून एखादे मूलभूत उत्तर तयार ठेवावे लागते. त्यांच्या नंतर जवळपास सहाशे वर्षांनी जन्मलेल्या भास्कराचार्यांनी हा दोष दूर केला. त्यांच्या चक्रवाल पद्धतीत ‘परिक्षण आणि त्रुटी’ मार्गाची आवश्यकताच राहत नाही.
संदर्भ :
- आपटे मोहन, प्राचीन भारतीय गणित (भाग १), राजहंस प्रकाशन, पुणे, २०१२.
- फडके ना. ह., लीलावती पुनर्दर्शन, वरदा बुक्स, पुणे, १९९३.
- Acharyavara Ram Swarup Sharma, et al (Ed.), Brahmagupta’s Brahma-sphut-siddhanta, Indian Institute of Astronomical and Sanskrit Research, New Delhi – 5, 1966.
- https://en.wikipedia.org/wiki/Pell%27s_equation
- https://en.wikipedia.org/wiki/Diophantus
समीक्षक : शरद साने