क्रस्कल, जे. बी. : (२९ जानेवारी, १९२८ ते १९ सप्टेंबर, २०१०) न्यूयॉर्कमधील एका सधन ज्यू कुटुंबात जे.बी. क्रस्कल यांचा जन्म झाला. गणित घेऊन त्यांनी बीएस व नंतर एमएस, शिकागो विद्यापीठातून पूर्ण केले. गणितातील पीएच्.डी. त्यांनी प्रिन्स्टन विद्यापीठातून मिळवली. त्यांचे मार्गदर्शक होते रॉजर लिन्डन आणि आल्बर्ट डब्ल्यू. टकर. डॉक्टरेटसाठीचा विषय मात्र त्यांना पॉल एर्डोश यांनी सुचविला होता. त्यांच्या प्रबंधाचे शीर्षक होते, ‘The Theory of Well-Partially-Ordered Sets.’
एमएस झाल्यावर क्रस्कल लगेचच वॉशिंग्टन विद्यापीठात सुरू असलेल्या अमेरिकेन नौदलाच्या रसद पुरवठ्यासंबंधीच्या (logistics) संशोधन प्रकल्पात सहभागी झाले. त्यानंतर त्यांनी प्रिन्स्टन विद्यापीठातील वैश्लेषिक (Analytics) संशोधन प्रकल्पावर काम केले. पुढील तीन वर्षे त्यांनी काही विद्यापीठांत अध्यापन केले. मात्र १९५९पासून त्यांनी न्यू जर्सीस्थित बेल प्रयोगशाळेत संशोधन सुरू केले आणि निवृत्तीपर्यंत आणि नंतरही ते तेथेच कार्यरत होते.
त्यांनी चयनशास्त्र (Combinatorics), अंशतः सुक्रमित संच (Well-Partially-Ordered Sets), बहुमितीय श्रेणीयन (Multidimensional Scaling) आणि त्याचे खास करून भाषाशास्त्र, मनोमितिक उपयोजन आणि क्रमिका तुलना; यात काम केले. बेल प्रयोगशाळेत असताना त्यांनी TAT-8 या ॲटलाण्टिक पार करणाऱ्या पहिल्यावहिल्या तंतुप्रकाशिकी प्रणालीवर संशोधन केले.
जाळे विश्लेषणात (Network Analysis) त्यांनी विकसित केलेली आणि त्यांच्या नावाने प्रसिद्ध असलेली ‘क्रस्कल रीत’ (अल्गोरिदम) ही एक किमान विस्तारित वृक्ष शोधण्यासाठीची (minimal spanning tree एमएसटी) पद्धत आहे. यासाठी क्रस्कल रीत आधाशी धोरण (greedy strategy) वापरते. प्रत्येक गाठबिंदू (node) हा एक वृक्ष मानून तो इतर प्रत्येक गाठबिंदूला जोडला जाऊ पाहतो, पण तेव्हाच जोडला जातो जेव्हा होऊ घातलेली जोडणी इतर सर्व शक्य जोडण्यांपेक्षा कमी अंतराची, पर्यायाने कमी खर्चाची असेल. संगणकशास्त्रामध्ये क्रस्कल रीत, भारित-आलेखाचा (weighted graph) किमान विस्तार शोधण्यासाठी वापरतात. किमान विस्तारित वृक्षांची उपयुक्तता दूरसंचार जाळ्याच्या मितव्ययी निर्मितीत आणि दूरसंचारामार्फत होणाऱ्या संवादाचे शुल्क निश्चित करण्यात मोलाची आहे.
आर. जे. ऑमन यांच्यासह क्रस्कल यांनी प्रसिद्ध केलेला लेख, ‘The Coefficients in an Allocation Problem’, अनेक क्षेत्रांत खूप उपयुक्त ठरला आहे. व्यवस्थापनशास्त्रात वाटप किंवा सोपवणी (assignment) समस्या असते ती अशी की, एखाद्या यंत्रणेत काही रिक्त जागांइतकेच सुटे भाग असतील तर रिक्त जागा आणि भाग, यांच्यात सुयोग्य मेळ कसा घालावा? या समस्येतील कळीचा मुद्दा म्हणजे, प्रत्येक सोपवणीचे मूल्य (सहगुणांक) शोधणे. या समस्येची उपयुक्तता सेवायोजनांत माणसे निवडणे, उड्डाणासाठी विमान निवडणे यापासून ते नौदलाच्या सर्वपरीक्षण कार्यक्रम तयार करणे, येथवर विस्तारलेली आहे.
चयनशास्त्राला क्रस्कल परिचित आहेत ते क्रस्कल-वृक्ष प्रमेयामुळे (Kruskal’s tree theorem). हे प्रमेय केवळ विनारचनात्मकतेनेच (non-constructivism) सिद्ध करता येत असल्याने, व्युत्क्रम गणितात (reverse mathematics) ते एक लक्षणीय उदाहरण ठरते. ‘क्रस्कल वृक्ष प्रमेय’ म्हणजेच क्रस्कल यांनी वाझोनी अटकळीसाठी (Vazsonyi’s Conjecture) सादर केलेली सिद्धता होय.
क्रस्कल-कॅटोना प्रमेय हे संख्याशास्त्रातील प्रभावी प्रमेय असून ते एखाद्या अँटीचेनमध्ये (antichain) असू शकणाऱ्या भिन्न आकारांतील अनेक संचांचे अचूक आणि परिष्कृत लक्षणचित्रण करते. त्यामुळे क्रस्कल-कॅटोना प्रमेयाला ‘चरम संच उपपत्ती’चा (extremal set theory) शिरोमणी मानतात. क्रस्कल-कॅटोना प्रमेयाचे उपयोग अतिशय व्यापक आहेत. चरम आलेख उपपत्ती, विविक्त (discrete) भूमिती आणि बीजगणित, इत्यादी क्षेत्रांत याचा वापर होतो.
बहुमितीय श्रेणीयन (multidimensional scaling – एमडीएस) निर्मिती, हे क्रस्कल यांचे संख्याशास्त्रामधील, सर्वांत उल्लेखनीय काम आहे. बहुमिती श्रेणीयन म्हणजे वस्तूंच्या संचांमधील अंतरांचे किंवा वैविध्यांचे केलेले दृश्य सादरीकरण. ज्या वस्तूंत अधिक साधर्म्य असते (किंवा कमी अंतर असते) त्या अधिक वैविध्य असलेल्या (किंवा अधिक अंतर असलेल्या) वस्तूंपेक्षा आलेखावर जवळपास असतात. म्हणून असमानतेचे स्पष्टीकरण अंतरांतून देण्याबरोबरच, एमडीएस उच्च-मितीच्या आधारसामग्रीची मिती कमी करण्याचे तंत्र म्हणून वापरता येते. सारण्यांमध्ये जर थोडीफार संबंधात्मक आधारसामग्री असेल तर एमडीएस तंत्रज्ञानाद्वारे कोणत्याही सारणीचे विश्लेषण शक्य होते. संबंधात्मक आधारसामग्रीत सहसंबंध, अंतरे, अनेक पदनिश्चयन श्रेणी किंवा सादृश्यता (similarities) समाविष्ट आहेत. या संदर्भात, क्रस्कल आणि विश यांनी लिहिलेले ‘Multidimensional Scaling’ हे महत्त्वाचे पुस्तक प्रकाशित झाले.
क्रस्कल यांनी आपल्या कामाचे उपयोजन शब्दसांख्यिकीत (Lexicostatistics) ही केले. इसिडोर डाइन आणि पॉल ब्लॅक या भाषाशास्त्रज्ञांसह त्यांनी इंडो-युरोपियन भाषांचा एक प्रयोगनिष्ठ अभ्यास केला. यावर आधरित एक संशोधन पुस्तिका ‘An Indo-European Classification, a Lexicostatistical Experiment’ प्रकाशित करण्यात आली.
संख्याशास्त्रासह अनेक विषयांतील, क्रस्कल यांच्या भरीव योगदानांमुळे त्यांना अनेक संस्थांमध्ये मानाची पदे मिळाली. क्लासिफिकेशन सोसायटी ऑफ नॉर्थ अमेरिका याचे ते अध्यक्ष होते. सायकोमेट्रिक सोसायटीचेही ते अध्यक्ष होते. अमेरिकन स्टॅटिस्टिकल असोसिएशनने आणि अमेरिकन असोसिएशन फॉर दी ॲडव्हान्समेंट ऑफ सायन्सने त्यांना मानद सदस्यत्व दिले.
‘दी जोसेफ बी. क्रस्कल पेपर्स (१९२६-२००३)’ या प्रकाशित खंडामध्ये क्रस्कल यांच्या गणितातील तसेच संख्याशास्त्रातील कारकीर्दीचा आढावा तपशिलात मांडला आहे.
संदर्भ :
- https://en.wikipedia.org/wiki/Joseph_Kruskal
- http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Kruskal_Joseph.html
समीक्षक : विवेक पाटकर