जोहन दु वित (Johan de Witt)

वित, जोहन दु : (२४ सप्टेंबर १६२५ – २० ऑगस्ट १६७२) जोहन दु वित यांचे शालेय शिक्षण हॉलंडमधील डोरड्रॅक्टच्या बीकमॅन शाळेत झाले. त्यानंतर कायद्याचा अभ्यास करण्यासाठी त्यांनी हॉलंडच्या लायडन विद्यापीठामध्ये प्रवेश घेतला. येथे त्यांचे गणित आणि कायद्यातील उल्लेखनीय कौशल्य दिसून आले. त्यांनी युनिव्हर्सिटी ऑफ एंजेर्समधून कायद्यातील डॉक्टोरेट मिळवली आणि हेग येथे वकिली केली.

त्यांनी गणितावर एक अत्यंत महत्त्वाचे पुस्तक, Elementa Curvarum Linearum लिहिले. त्याचे प्रकाशन मात्र Descartes‘ Géometrie या पाठ्यपुस्तकाचा भाग म्हणून झाले. वित यांच्या पुस्तकातून सरळ रेषा आणि शंकु यांचे पद्धतशीर भौमितीय विश्लेषण करण्याचा पहिला प्रयत्न जगापुढे आला.

वित हॉलंड सरकारमध्ये डोरड्रॅक्टचे पेन्शुनरी (Pensionary) निवडले गेले. तीनच वर्षांनी, ते हॉलंडचे पंतप्रधान (ग्रँड पेन्शुनरी) बनले. त्यांच्याकडे हॉलंडचे संरक्षण खाते आणि विदेशी सचिवपदही आले. वितना हॉलंडसाठी स्वतःचे गणिती ज्ञान वापरण्याची संधी त्यामुळे आपसूक मिळाली. त्यांच्या The Worth of Life Annuities Compared to Redemption Bonds या पुस्तकांतून त्यांनी आर्थिक आणि अर्थसंकल्पीय समस्यांसाठी संभाव्यता सिद्धांत वापरला.

मध्ययुगीन कालापासून आजीव वार्षिकी (life annuity) हा राज्याला दरवर्षी ठराविक उत्पन्न मिळविण्याचा विश्वसनीय मार्ग मानला जात होता. उदाहरणार्थ, एखाद्या विधवेने राज्याला दिलेल्या ‘एकगठ्ठा रकमे’वर मोबदला म्हणून राज्य तिच्या मृत्युपर्यंत तिला नियमितपणे एक रक्कम देई (आजीव वार्षिकी). नियमित सरकारी कर्जरोख्यांसारखी विमोचन बंधपत्रेही (redemption bonds) तेव्हा वापरात होती. वित यांनी दाखवून दिले की, समान मुद्दल असताना ४% व्याज देणारे बंधपत्र आणि ६% व्याजाची आजीव वार्षिकी यांतून राज्याला मिळणारा लाभ समान असेल. परंतु त्यावेळेस आजीव वार्षिकीवर प्रत्यक्षांत ७% व्याज दिले जाई. या पार्श्वभूमीवर वित यांचे विमोचन बंधपत्र आणि आजीव वार्षिकीची तुलना महत्त्वाची ठरली.

वित यांनी आजीव वार्षिकीची अचूक किंमत ठरविण्यासाठी, एका महत्त्वाच्या गणिती सूत्राची निर्मिती केली. हॉलंड आणि कांही युरोपीय देशांत, स्थानिक आणि राज्य पातळ्यांवर अर्थसहाय्यासाठी जेव्हा आजीव वार्षिकींची विक्री केली जाई तेव्हा त्याचा दर सरसकट एकच असे. त्यात वार्षिकीधारकाचे वय दुर्लक्षित रहात असे. खरे तर वार्षिकीधारकाच्या अपेक्षित आयुर्मर्यादेवर (life expectancy) आजीव वार्षिकीचा दर अवलंबून असणे व्यवहार्य होते. योहानस हयुडेच्या पाहणीनुसार त्या काळात एकूण वार्षिकीधारकांच्या नियोजित वारसदारांपैकी (Nominees) ऐंशी टक्के, २०हून कमी वयाचे, तर यांपैकी निम्मे १०हून कमी वयाचे होते. या पार्श्वभूमीवर आजीव वार्षिकीचा दर धारकांच्या वयाशी जोडणे आवश्यक होते.

सन १६७१मध्ये वितना एका बाजूने अँग्लो-डच युद्धाने खालावलेली परिस्थिती सावरण्यासाठी, तर दुसऱ्या बाजूने फ्रान्सबरोबर येऊ घातलेल्या युध्दासाठी अर्थसहाय्य गरजेचे होते. वितनी अधिक आजीव वार्षिकी विकण्याचा प्रस्ताव मांडला. परंतु, तोपर्यंत आजीव वार्षिकीची किंमत ठरविण्यासाठी कोणतेही सूत्र उपलब्ध नव्हते. या पार्श्वभूमीवर चक्रवाढ व्याज आणि मृत्यूची संभाव्यता यांचा अंतर्भाव असलेले सूत्र वितनी वार्षिकीचे मूल्य निर्धारित करण्यासाठी तयार केले.

समजा at ही सर्वसामान्य निश्चित वार्षिकी (certain annuity) असेल तर तिची विक्री-किंमत मिळविण्याचे सूत्र आहे –

यात i हा व्याजदर असून, t ही आयुर्मर्यादा आहे.

क्रिस्तियन हायजन्स आणि त्यांचे बंधू लुडविग यांनी दिलेल्या पुढील सूत्राने, एखाद्या व्यक्तीची अपेक्षित उर्वरित वर्षे मिळतात-

                                      ज्यात, T हे यादृच्छिक चल आयुष्याची उर्वरित वर्षे दाखविते,  हे उत्तराधिकारी नसण्याचे सर्वांत कमी वय, (lω=0) असून lx ही ‘x वयाला जिवंत असणाऱ्यांची संख्या आहे.

dx = lx – lx+1; यात dx ही x आणि x+1 या वयांदरम्यान मृत झालेल्यांची संख्या आहे. व्यक्ती t वर्षे जिवंत राहण्याची (कमी नाही की अधिक नाही) संभाव्यता  आहे. याचा अर्थ यादृच्छिक चल aT च्या किंमती a1, a2, a3,…. असतील तर त्यांच्या संभाव्यता d(x+t )/lx अनुक्रमे d(x+2 )/lx, d(x+3 )/lx ,……याप्रमाणे असतील. याचाच अर्थ वार्षिकीधारकाला तेव्हाच उर्वरित निश्चित वार्षिकी (annuity certain) a1 मिळेल जेव्हा तो फक्त एकच वर्ष जगेल, त्याहून अधिक नाही (ज्याची संभाव्यता  ). त्यामुळे आजीव वार्षिकी काढण्यासाठी वितचे सूत्र असे होते –                                                         

ह्या सूत्रानुसार आजीव वार्षिकीचे मूल्य म्हणजेच ‘निश्चित वार्षिकी’ या यादृछिक चलाचे सध्याचे अपेक्षित मूल्य होय. आधुनिक काळात आजीव वार्षिकीच्या सध्याच्या मूल्याविषयी बोलले जाते, पण वितचे सूत्र निर्विवादपणे अपेक्षित सध्याच्या मूल्याबद्दल बोलते.

शेवटच्या सूत्राच्या आधारे aT या यादृच्छिक चलासाठी अधिक घातांकी परिबलांचे (moments) तसेच aT ची आणखी गुणवैशिष्ट्ये विचारात घेऊन आजीव वार्षिकीचे प्रगणन करता येऊ शकते.

वितनी सूत्र शोधले तरी ते वापरण्यासाठी मृत्युच्या अचूक संभाव्यता उपलब्ध नव्हत्या. यावर तोडगा म्हणून तीन ते त्रेप्पन वयांच्या व्यक्तींसाठी वितनी मृत्युदर सारखाच असल्याचे आणि नंतरच्या ५३-६३, ६३-७३, आणि ७३-८० या वयोगटांत तो उत्तरोत्तर कमी होत असल्याचे गृहीत धरले. तीन वयाच्या धारकाच्या, ४% वार्षिक व्याजदर असलेल्या, आजीव वार्षिकीचे वितनी सूत्रानुसार काढलेले तत्कालीन मूल्य १६ फ्लोरिन्स (florins, त्याकाळचे भारतीय रुपये १०.६६) होते. मात्र हॉलंडमध्ये हीच वार्षिकी त्याकाळी १४ फ्लोरिन्सला (त्याकाळचे भारतीय रुपये ९.३३) विकली जात होती. १६७२पासून हॉलंडमध्ये आजीव वार्षिकी, वित यांच्या सूत्रानुसार नसली तरी धारकाच्या वयाच्या व्यस्त प्रमाणातील मूल्याला विकली जाऊ लागली.

फ्रान्सने १६७२मध्ये हॉलंड काबीज केल्यावर वितनी पंतप्रधानपद सोडले. त्यानंतर ऑरेंजसिटीच्या राजपुत्राच्या समर्थकांनी दुर्दैवाने त्यांची नृशंस हत्या केली. हेग येथील वित यांच्या हत्यास्थानी, १९१६मध्ये त्यांचा भव्य पुतळा उभारण्यात आला, ज्यावर त्यांचे राजकीय, नौदल, राज्यवित्त आणि गणितातील योगदान कोरण्यात आले. त्यांच्या आयुष्यावर आधारित ‘The Admiral’ हा इंग्रजी चित्रपट (मूळ डच चित्रपट :  Michiel de Ruyter) २०१५ साली प्रदर्शित केला गेला.

संदर्भ :

समीक्षक : विवेक पाटकर

Tags: , , ,