याकोबी, सी. जी. जे. : (१० डिसेंबर, १८०४ – १८ फेब्रुवारी १८५१) जर्मनी (तेव्हाच्या प्रुशिया) मधील पोट्सडॅम येथे जन्मलेल्या याकोबींचे प्राथमिक शिक्षण घरीच झाले. त्यांनतर पाच वर्षे तेथील एका नामांकित संस्थेत पुढील शिक्षण घेतल्यानंतर त्यांनी बर्लिन विद्यापीठात प्रवेश घेतला. इनो दिक्सन यांच्या मार्गदर्शनाखाली, त्यांनी आंशिक अपूर्णांक विघटन (partial fraction decomposition) या विषयातील Disquisitiones Analyticae de Fractionibus Simplicibus या प्रबंधावर डॉक्टरेट मिळवली. त्यानंतर दोन वर्षे बर्लिन विद्यापीठात अध्यापन करून ते कोनिंग्जबर्ग विद्यापिठात प्राध्यापक म्हणून रुजू झाले आणि तेथेच कार्यरत राहिले. त्यांच्या मार्गदर्शनाखाली चार विद्यार्थ्यांना डॉक्टरेट मिळाली.
याकोबी यांनी विवृत्ति फलांसंदर्भात, Fundamenta Nova Theoriae Functionum Ellipticarum (New Foundations of the theory of Elliptic Functions) हा शोधनिबंध लिहिला. त्यांनी वर्तुळाधारित त्रिकोणमितीचे सार्वत्रिकीकरण करून प्रामुख्याने विवृत्ति फलाधारित अशी त्रिकोणमितीय फले विकसित केली. तसेच चार थीटा फलांवर आधारित असा विवृत्ति फलांचा सिद्धांतही सूत्रबद्ध केला. थीटा फलांच्या भागितांवरून त्यांनी sn(z), cn(z) आणि dn(z) ही तीन विवृत्ति फले शोधून काढली जी याकोबी फले म्हणून ओळखली जातात. त्यांनी हेही सिद्ध केले की ज्याप्रमाणे विवृत्ति संकलकांच्या व्यस्तांवरून विवृत्ति फले काढता येतात, त्याचप्रमाणे अतिविवृत्ति (hyperelliptic) संकलकांच्या व्यस्तांवरून अतिविवृत्ति फले काढता येतील. याचा उपयोग करून याकोबी यांनी अनेक चलांची व्यामिश्र फले असलेला, आबेली फलांविषयीचा सिद्धांतही शोधून काढला.
विवृत्ति फलांचा वापर अंकशास्त्रात करणारे ते पहिले गणिती होते. फर्मा यांचा टू-स्क्वेअर सिद्धांत, लाग्रांजे यांचा फोर-स्क्वेअर सिद्धांत तसेच सहा आणि आठ स्क्वेअर विषयक समरूप सिद्धांतही त्यांनी अशा प्रकारे सिद्ध केले. अठराव्या शतकातील जर्मन गणितज्ञ सी. एफ. गाऊस यांच्याप्रमाणे याकोबी यांनीही अंकशास्त्रातील वर्गात्मक व्युत्क्रमतेसाठी (quadratic reciprocity) एक नवीन सिद्धता दिली आणि एका नव्या चिन्हाचा वापर केला, जे पुढे त्यांच्या नावाने ओळखले जाऊ लागले. त्यांनी उच्चतर व्युत्क्रमतेसंदर्भात (higher reciprocity) तसेच संतनित अपूर्णांकांविषयीही (continued fractions) सखोल संशोधन केले आणि विशेष प्रकारच्या बेरजा शोधून काढल्या ज्या याकोबी बेरजा (Jacobi sums) म्हणून ओळखल्या जातात.
विवृत्ति फलांसह इतर आवर्तनी फलांच्या वर्गीकरणासंबंधी याकोबी यांनी सिद्ध केलेला एक मूलभूत निष्कर्ष असा आहे: जर एकल मूल्य असणारे (एखादे) एकरूप फल बहुल आवर्तनी असेल तर त्या फलाला दोनपेक्षा जास्त आवर्तने असू शकत नाहीत आणि त्या आवर्तनांचे गुणोत्तर, ही वास्तव संख्या असू शकत नाही. फलीय समीकरणे आणि त्रयींच्या गुणाकाराचे सूत्र (जे पुढे त्यांच्या नावाने ओळखले जाऊ लागले), यांसह थीटा फलांचे इतरही अनेक गुणधर्म त्यांनी शोधून काढले.
वरील गुणधर्म आणि त्यांनी संशोधित केलेली याकोबी विवृत्ति फले केवळ गणितातच नव्हे तर भौतिकशास्त्रातील आणि खगोलशास्त्रातीलही विविध उपयोजनांत महत्त्वपूर्ण ठरली. या फलांमुळे, लंबक तसेच इतर काही भौतिक वस्तूंच्या गतिसंबंधीच्या समीकरणांचे संकलन (integration) करणे सुलभ झाले.
विवृत्ति फलांप्रमाणे निर्धारकांच्या सिद्धांतातही याकोबी यांचे मूलभूत योगदान आहे. त्यांचा शोधनिबंध, De Formatione et Proprietatibus Determinantium (‘Concerning the Structure and Properties of Determinants’ हा अतिशय महत्त्वपूर्ण ठरला. ‘न’ स्वचलांमधील, दिलेल्या ‘न’ फलांच्या विकलक सहगुणकांचा वापर करून त्यांनी (त्या फलांचा) ‘नxन’ (कोटिकेचा) फलनिर्धारक (functional determinant) शोधून काढला. हा फलनिर्धारक नंतर त्यांच्या नावाने ओळखला जाऊ लागला आणि इतर उपयोजनांबरोबरच, अनेक विश्लेषणात्मक तपासण्यांमध्ये देखील तो महत्त्वपूर्ण ठरला.
त्यांनी आपल्या या शोधनिबंधाद्वारे, फल-निर्धारकांसंबंधीच्या इतर अनेक सिद्धांतांबरोबरच असे सिद्ध केले की कोणत्याही ‘न’ चलांमधील ‘न’ फले जर एकमेकांशी संबंधित असतील तर त्यांच्या संबंधित नxन फलनिर्धारकाची किंमत अविकारकरीत्या शून्य असते, परंतु जर ही फले एकमेकांशी संबंधित नसतील तर ती किंमत अविकारकरीत्या शून्य होऊ शकत नाही.
या संदर्भात फ्रेंच गणिती लेजेंद्र यांनी आंशिक विकलकांकरता सुचवलेले डेल्टा ( हे संकेतचिन्ह (नोटेशन) याकोबी यांनी पुनरुज्जीवित केले आणि त्यानंतर ते प्रमाणित मानले जाऊ लागले.
याकोबी यांनी विकलक समीकरणे (differential equations) आणि यांत्रिकी (mechanics) या विषयांतही मूलभूत संशोधन केले. त्यांचे आंशिक विकलक समीकरणांतील महत्त्वपूर्ण गणितीय संशोधन, गतिशास्त्रातील विकलक समीकरणांतही उपयुक्त ठरले. पुंजवादी यांत्रिकीच्या (क्वांटम मेकॅनिक्स) सादरीकरणात देखील हॅमिल्टन-याकोबी समीकरण महत्त्वाची भूमिका बजावत आहे.
सदिश क्षेत्रे (vector fields), ली (Lie) सिद्धांत, हॅमिल्टोनी यांत्रिकी, परिकर्मी बैजिकी (operator algebra) आणि इतरही अनेक शाखांमध्ये याकोबी यांच्या नावाने विविध सिद्धांत, संकेतचिन्हे आणि अविकारके (identities) समाविष्ट आहेत.
याकोबी यांनी स्वतंत्रपणे तसेच इतर सहगणितींसोबत अनेक शोधनिबंध आणि पाच पुस्तके लिहिली. त्यांचे बरेचसे अप्रकाशित साहित्य, संग्रहित करून त्यांच्या मृत्यूनंतर क्रेल्स जर्नल (‘Crelle’s Journal’) व Opscula mathematica जर्नलमधून आणि बर्लिन अकादमीद्वारे प्रसिद्ध केले गेले.
१८३६ मध्ये दि रॉयल स्वीडिश ॲकेडमी ऑफ सायन्सेस या संस्थेचे विदेशी सभासद म्हणून त्यांची निवड करण्यात येऊन त्यांच्या कार्याचा गौरव केला गेला. चंद्रावरील एका विवरालाही याकोबी यांचे नाव दिले गेले आहे.
गाऊस यांच्या खालोखाल गणिती प्रतिभा असलेल्या याकोबी यांना दुर्दैवाने केवळ ४७ वर्षाचे आयुष्य लाभले आणि १८५१ मध्ये देवीच्या रोगाने त्यांचा बळी घेतला.
संदर्भ :
- https://www.britannica.com/biography/Carl-Jacobi
- https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Jacobi/
समीक्षक : विवेक पाटकर