बीजशोधनाचे प्रमेय : या प्रमेयाचे विधान पुढीलप्रमाणे आहे : समजा f हे एक संतत फलन (continuous function) वास्तव संख्यांच्या संचावर व्याख्यात आहे, f : R → R आणि a व b या अशा वास्तव संख्या आहेत की f(a) व f(b) यांच्यात चिन्हभेद आहे; म्हणजेच f(a) व f(b) ह्यातील एक धन आहे तर दुसरी ऋण आहे. अशा वेळेस a व b ह्या दोघांमध्ये किमान एक वास्तव संख्या (समजा h) अशी असलीच पाहिजे की, f(h) = 0. या h संख्येस f या फलनाचे ‘बीज’ (root) म्हणतात. त्यावरून, या प्रमेयास ‘बीजशोधनाचे प्रमेय’ असे म्हणता येईल. प्रमेयाचे विधान समजून घेण्यासाठी खालील आलेख क्र. 1 उपयोगास येईल.
आलेखातील लाल वक्ररेषा एका सलग फलनाचा आलेख आहे. आता x अक्षावरील a व b हे बिंदू असे आहेत की f(a) व f(b) ह्यांच्यात चिन्हभेद आहे. प्रस्तुत आलेखात f(a) ही संख्या ऋण व f(b) ही संख्या धन दिसत असली तरी प्रमेयात त्यांच्यात चिन्हभेद असणं इतकंच अपेक्षित आहे. म्हणजेच, f(a) जरी धन असली व f(b) ऋण असली तरी प्रस्तुत प्रमेय सत्यच असते. आलेखावरून, a व b ह्यांच्यामध्ये h हा असा बिंदू दिसतोय की त्या बिंदूपाशी f ह्या फलनाची किंमत 0 आहे. म्हणजे f ह्या फलनाचे h हे एक बीज a व b यांच्या दरम्यान मिळालेले आहे. परंतु अशा आलेखांवरून बीजशोधनाचे प्रमेय सिद्ध होत नाही. तेव्हा त्याची सिद्धता खालीलप्रमाणे देता येईल.
सिद्धता :
समजा, f(a) < 0 < f(b) … … … (1)
वरील विधानाऐवजी f(a) > 0 > f(b) असे गृहीत धरूनही हे प्रमेय सिद्ध करता येणे शक्य आहे. म्हणजेच (1) ह्या अधिकच्या मानीव विधानाने मूळ प्रमेयातील सर्वसमावेशकतेस हानी पोहोचलेली नाही.
समजा, S = {x ∈ [a, b] | f(x) < 0}.
समीकरण (1) मध्ये f(a) < 0 < f(b) असे मानले आहे. त्यामुळे, a ∈ S. म्हणजेच S हा संच रिक्त नाही. तसेच S हा संच ऊर्ध्वबंधित (upper bounded) आहे, कारण S मध्ये b पेक्षा मोठी वास्तव संख्या असणे शक्य नाही हे त्याच्या व्याख्येवरून स्पष्ट होते. Sच्या ह्याच ऊर्ध्वबंधन-गुणामुळे त्याचा लघुतम ऊर्ध्वबंध (Supremum) अस्तित्वात असतो. तो c ह्या अक्षराने दाखवू. म्हणजेच, c = Sup S. म्हणून, a < c < b.
समजा f(c) = 0. तर, f चे बीज c येथे मिळाले असे म्हणता येईल.
समजा f(c) ≠ 0. तर, f(c) > 0 किंवा f(c) < 0.
समजा, f(c) > 0 … … … … (2)
f च्या सलगत्वाचा उपयोग करून ε ही अशी एखादी धन वास्तव संख्या दाखवता येईल की,
a < c – ε < c < c + ε < b, आणि f(x) > 0, ∀ x ∈ (c – ε, c + ε).
म्हणून, f(x) > 0, ∀ x > c – ε
ह्याचाच अर्थ, c – ε हा S ह्या संचाचा एक ऊर्ध्वबंध (upper bound) झाला, जे अशक्य आहे, कारण c हा S चा लघुतम ऊर्ध्वबंध आहे.
त्यामुळे f(c) > 0 हे अशक्य आहे.
समजा, f(c) < 0 … … … … (3)
f च्या सलगत्वाचा उपयोग करून δ ही अशी एखादी धन वास्तव संख्या दाखवता येईल की,
a < c – δ < c < c + δ < b, आणि f(x) < 0, ∀ x ∈ (c – δ, c + δ).
समजा x1 ∈ (c, c + δ). तर f(x1) < 0. अर्थातच x1 ∈ S, म्हणजे c पेक्षा मोठी असलेली x1 ही संख्या S ह्या संचात आहे, जे अशक्य आहे. म्हणजे क्रमांक (3) चे गृहीतक f(c) < 0 चुकीचे आहे.
आता f(c) > 0 आणि f(c) < 0 ही दोन्ही गृहीतके चूक असल्याचे सिद्ध झाले. अर्थातच, f(c) = 0; ज्या योगे a आणि b ह्यांच्यामधील c हा बिंदू f ह्या फलनाचे एक बीज असल्याचे सिद्ध झाले.
सिद्धतेच्या सुरुवातीस f(a) < 0 < f(b) असे मानले होते. ह्या गृहीतकाऐवजी f(a) > 0 > f(b) असे मानून वरील सिद्धतेत किरकोळ बदल करत बीजशोधनाचे प्रमेय सिद्ध करता येईल. तथापि, अधिक सोप्या रितीनेही हे उद्दीष्ट साध्य करता येईल. ह्यासाठी g हे असे फलन मानू की g = – f. आता f हे संतत फलन असल्यामुळे g सुद्धा संतत फलन असेल. तसेच g(a) = – f(a) < 0 आणि g(b) = – f(b) > 0. यावरून स्पष्ट आहे की a व b ह्यांच्या दरम्यान c1 ही एखादी वास्तव संख्या असलीच पाहिजे की, g(c1) = 0. त्यामुळे f(c1) = 0. आणि अशा रितीने प्रमेय पुन्हा सिद्ध होते.
दोन भिन्न वास्तव संख्यांपाशी एखाद्या सलग फलनाच्या मूल्यांमध्ये चिन्हभेद असेल त्या सलग फलनाचे निदान एक तरी बीज त्या दोन वास्तव संख्यांच्या दरम्यान असते हे सिद्ध केले आहे. काही विशिष्ट फलनांची अनेक बीजे त्या दोन संख्यामध्ये असू शकतात हे ध्यानात ठेवावे. उदाहरणार्थ sin ह्या सलग फलनाचा आलेख पाहा. इथे sin a < 0 व sin b > 0. मात्र, a व b ह्यांच्यात sin फलनाची अनेक बीजे आहेत, जी पिवळ्या वर्तुळांनी दाखवली आहेत (आलेख क्र. 2).
बर्नार्ड बोल्झॅनो (1781-1848) या गणितज्ञाच्या नावाने ख्यात असलेले ‘मध्यमूल्य प्रमेय’ हे बीजशोधनाच्या सिद्धांताचेच सामान्यीकरण मानता येते. बीजशोधनाचे प्रमेय सिद्ध झाल्यावर ‘मध्यमूल्य प्रमेय’ सहज सिद्ध करता येते.
f हे फलन वास्तव संख्यांच्या संचावर व्याख्यात केले होते (f: R → R). अधिक विचार करता हे लक्षात येते की वरील प्रमेयात वा त्याच्या सिद्धतेत, a पेक्षा लहान वा b पेक्षा मोठ्या असलेल्या कोणत्याही संख्येपाशी असलेल्या फलनाचे मूल्य विचारात घेतले नाही; तरीदेखील प्रमेयास कोणतीही बाधा पोहोचत नाही. अर्थातच, फलन f हे R ऐवजी जरी [a, b] ह्या अंतरालावर व्याख्यात असले (f:[a, b] → R) आणि प्रमेयातील इतर बाबींची पूर्तता करत असले तरी बीजशोधनाचे प्रमेय सत्यच असते व वरील सिद्धतेनुसार ते सिद्धही करता येते.
संदर्भ :
- Bartle, Robert G.; Sherbert, Donald R. Introduction to Real Analysis, USA.
- Browder, Andrew, Mathematical Analysis An Introduction, New York, 1996.
- http://mathonline.wikidot.com/the-location-of-roots-theorem
समीक्षक : मंगला गुर्जर