रीमान, गेओर्ख फ्रीड्रिख बेर्नहार्ट : (१७ सप्टेंबर १८२६ – २० जुलै १८६६) 
जर्मनीमधील हॅनोव्हर राज्यातील एका खेडेगावात जन्मलेल्या रीमान यांचे शालेय शिक्षण हॅनोव्हर येथे तर उच्च माध्यमिक शिक्षण गोटिंगेन विद्यापीठात झाले. बर्लिन विद्यापीठातून पदवी प्राप्त केल्यानंतर पदव्युत्तर शिक्षणासाठी ते पुन्हा गोटिंगेन विद्यापीठात आले. तेथे रीमान यांचे गाऊस यांच्या मार्गदर्शनाखाली गणितातील तर वेबर आणि लिस्टिंग यांच्या मार्गदर्शनाखाली भौतिकशास्त्रातील पदव्युत्तर अध्ययन पूर्ण वेळ आणि अध्यापन आणि संशोधन अर्धवेळ चालू होते.
गाऊस यांच्या मार्गदर्शनाखाली, रीमान यांनी ‘Grundlagen fur eine allgemeine Theorie der Funktionen einer veranderlichen complexen Grobe’ या प्रबंधावर डॉक्टरेट मिळवली. त्यांच्या प्रबंधात त्यांनी दोन वास्तव (real) चलांमधील बहुपदी समीकरणांचे व्यापकीकरण, दोन व्यामिश्र (complex) चलांमधील समीकरणांमध्ये केले. (दोन) वास्तव चलांतील बहुपदीय समीकरणामुळे प्रतलातील वक्र तयार होतो आणि कोणतेही व्यामिश्र चल z हे, z=x+iy, where i=√-1, अशा रीतीने दोन वास्तव संख्यांच्या रुपात लिहिले जाऊ शकते. याचा उपयोग करून दोन व्यामिश्र चलांमधील बहुपदीय समीकरणांमुळे, प्रतलाला आच्छादणारा वास्तव पृष्ठभाग (सरफेस) तयार होतो हेही त्यांनी सिद्ध केले. हे पृष्ठभाग रीमान पृष्ठभाग म्हणून ओळखले जातात.
पुढे त्यांनी व्यामिश्र फल सिद्धांत (complex function theory) आणि रीमान पृष्ठभाग याबरोबरच उच्च मितींतील पृष्ठभागावरील विकलक भूमिती, आबेली फले, झीटा फले, रीमान संकलन (Riemann integration), फोरीअर क्रमिका (Fourier series) यांसारख्या विविध विषयांवरील रीमान यांची संशोधनपूर्ण भाषणे अत्यंत प्रभावी ठरली.
नंतर, गोटिंगेन विद्यापीठातच, त्यांनी गणिताचे अध्यापन सुरू केले आणि पुढे रीमान यांना तेथे पूर्णवेळ प्राध्यापक तसेच विभागप्रमुख हे पद मिळाले.
रीमान यांनी गोटिंगेन येथे केलेल्या ‘Ueber die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen’ (On the hypotheses at the foundations of geometry) या भाषणात त्यांनी (चार मितींपेक्षा अधिक अशा) उच्च मिती भूमितीतील न मितीय अवकाश, वक्रता प्रदिश (curvature tensor) यांच्या व्याख्या दिल्या. विकलक भूमितीमधील गाऊस यांच्या त्रिमितीय पृष्ठभागीय वक्रतेसंबंधीच्या सिद्धांताचा, न मितींमधील पृष्ठभागांसाठी विस्तारही रीमान यांनी केला. त्यांनी संशोधित केलेली ही अयुक्लिडीय (non-Euclidean geometry) भूमितीनंतर रीमानीय भूमिती (Riemannian geometry) अथवा विवृत्तीय भूमिती (elliptic geometry) या नावाने ओळखली जाऊ लागली.
या भूमितीतील मूलभूत घटक म्हणजे रीमानीय दूरीक (Riemann metric). ह्या संकल्पनेमुळे, द्विमितीय आणि त्रिमितीय भूमिती मधील तसेच वक्र पृष्ठभागांच्या भूमितीबद्दलच्या सर्व मर्यादा ओलांडून, विकलक भूमितीचा विस्तार न मितीतील पृष्ठभागांसाठी त्यांनी केला. रीमानीय दूरीक म्हणजे अवकाशातील प्रत्येक बिंदूशी निगडित असलेल्या संख्यांचा संच (म्हणजे प्रदिश) ज्यामुळे कोणत्याही गतीमार्गावरील गतीचे मोजमाप करता येते. त्याच्या संकलनाने त्या गतीमार्गाच्या अंत्यबिंदूंमधील अंतर मिळते. उदाहरणार्थ, रीमान यांनी असे शोधून काढले की चार अवकाशीय मितींमधील एखाद्या समष्टिवरील (manifold) अंतर आणि वक्रता यांचे वर्णन करण्यासाठी त्या समष्टिवरील कोणत्याही बिंदूशी निगडित दहा अंकांची गरज भासते जरी ती समष्टि कितीही विकृत (distorted) असो.
रीमानीय भूमितीच्या संशोधनामुळे, उच्च मितींच्या विकलक समष्टींच्या अभ्यासातील विविध तंत्रे, गट सिद्धांत, प्रतिरुपण सिद्धांत, विश्लेषण यांमधील गणितीय संशोधनाला चालना मिळून बैजिकी आणि विकलक संस्थितिमधील संशोधनास गती आली. तसेच भौतिकशास्त्रातील आईनस्टाईन यांच्या व्यापक सापेक्षता सिद्धांताचा पायादेखील त्यामुळे घातला गेला.
रीमान यांनी, आबेली फलांविषयीच्या महत्त्वपूर्ण संशोधनाद्वारे रीमानीय पृष्ठभाग आणि त्यांचे संस्थितीय गुणधर्म विकसित केले. एका विशिष्ट रीमानीय पृष्ठभागावर, अनेक-मूल्ये असलेल्या (multi-valued) फलांचे परीक्षण एकल-मूल्य (single-valued) असणाऱ्या फलांप्रमाणे त्यांनी केले आणि आबेल व याकोबी यांनी विवृत्ति संकलकांसाठी सोडवलेल्या व्यापक व्यस्तन समस्या (general inversion problems) त्यांनी सोडवून दाखवल्या.
अंकशास्त्रातही रीमान यांचे योगदान अमूल्य आहे. मूळ संख्यांच्या गुणधर्मांचा अभ्यास करताना, त्यांनी संशोधित केलेले रीमान झीटा फल (Riemann Zeta function) महत्त्वपूर्ण ठरले आहे. त्यांच्यापूर्वी, अठराव्या शतकातील जर्मन गणितज्ञ लिओनार्ड ऑयलर यांनी वास्तव संख्यांच्या झीटा फलांविषयी संशोधन केले होते. रीमान यांनी त्यापुढे जाऊन व्यामिश्र चलांमधील झीटा फलांचे परीक्षण करून असा अंदाज व्यक्त केला की काही तुरळक, क्षुल्लक अपवाद वगळता, अशा झीटा फलांची सर्व मुळे (roots) शून्य आणि एक यांच्यामध्ये आढळतात. त्यांनी अशीही अटकळ व्यक्त केली की झीटा फलाला अनंत क्षुल्लकेतर (nontrivial) मुळे असून, त्या सर्वांचा वास्तव भाग अर्धा (१/२) असावा. त्यांची ही अटकळ रीमान परिकल्पना (Riemann hypothesis) म्हणून प्रसिद्ध आहे; आजही ती अटकळ गणितातील महत्त्वाच्या अनुत्तरित समस्यांपैकी एक आहे. रीमान यांनी झीटा फलाच्या क्रमिका प्रतिरुपणाच्या (series representation) अभिसरणाचा (convergence) अभ्यास करून त्याचे फलीय समीकरण शोधून काढले. त्यांचे हे संशोधन प्रामुख्याने, दिलेल्या (धन पूर्णांक) संख्येसाठी, त्या संख्येपेक्षा लहान अशा किती मूळ संख्या असू शकतात, यांचा अंदाज वर्तविण्यासाठी होते.
विश्लेषणात्मक अंकशास्त्रात तर रीमान झीटा फलाची भूमिका निर्णायक आहेच परंतु त्याची विविध उपयोजने भौतिकशास्त्र, संभाव्यता सिद्धांत आणि संख्याशास्त्रातही महत्त्वपूर्ण ठरली आहेत.
एखाद्या फलाचे संकलन (integration) कोणत्याही अंतराळावर (interval) करण्यासाठी पहिली तर्कशुद्ध व्याख्या त्यांनी दिल. ती रीमान संकलन म्हणून ज्ञात आहे. रीमान यांनी हेही सिद्ध केले की प्रत्येक खंडश: संतत फल संकलनीय आहे.
रीमान यांनी फोरीअर क्रमिकेवरील त्यांच्या शोधनिबंधात असे सिद्ध केले की रीमान संकलनीय फलांचे फोरीअर क्रमिकेने प्रतिरुपण होऊ शकते. त्यांनी हेही सिद्ध केले की जर एखाद्या फलाचे प्रतिरुपण फोरीअर क्रमिकेने करता येत असेल तर विशाल न साठी त्यातील फोरीअर सहगुणक शून्याच्या जवळ जातात. हा निष्कर्ष रीमान-लेबेग लेमा (Riemann–Lebesgue lemma) म्हणून ओळखला जातो.
व्यामिश्र विश्लेषणात रीमान यांनी, रीमान पृष्ठभागांचा वापर करून भूमितीचा पाया घातला. त्याद्वारे अनंत किमती असणारे लागफल (Logarithm), दोन किंमती असणारे वर्गमूळ यांसारख्या अनेक-मूल्यी फलांमध्ये एकास एक संगतीचा वापर करणे शक्य झाले.
यांखेरीज रीमान फल (Riemann function), कौशी-रीमान समीकरणे (Cauchy–Riemann Equations), रीमान प्रतिचित्रण सिद्धांत (Riemann mapping theorem), रीमान-हिल्बर्ट समस्या (Riemann-Hilbert problem), रीमान-रोश प्रमेय (Riemann-Roch theorem) रीमान–स्टीलजेस संकलन (Riemann-Stiltjes integration) अशा अनेक गणिती संकल्पना त्यांच्या नावावर आहेत.
दुर्दैवाने वयाच्या अवघ्या चाळीसाव्या वर्षी क्षयरोगाने अतिशय उच्च दर्जाचे गणिती प्रज्ञावंत रीमान यांचा बळी घेतला. त्यामुळे त्यांचे प्रकाशित साहित्य मर्यादित राहिले. रीमान यांचे एकूण पंधरा शोधनिबंध प्रसिद्ध झाले. त्यापैकी चार त्यांच्या मृत्यूनंतर प्रकाशित करण्यात आले.
बर्लिन ॲकेडमी ऑफ सायन्सेस या संस्थेत त्यांची निवड करण्यात आली, लंडन येथील रॉयल सोसायटी तर्फे Fellow of Royal Society हा बहुमान देऊन त्यांना गौरवण्यात आले. चंद्रावरील एका आघाती विवराला (Impact Crater) रीमान यांचे नाव देण्यात आले आहे.
संदर्भ :
- https://www.britannica.com/biography/Bernhard-Riemann
- https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Bio,graphies/Riemann/
- ओक स. ज. आणि भदे, व. ग., “रीमान, गेओर्ख फ्रीड्रिख बेर्नहार्ट”, मराठी विश्र्वकोश, खंड १४, १९७६, पृष्ठे १०९२-१०९४.
समीक्षक : विवेक पाटकर