विकलन (Differentiation)

फलनाची विकलन ही कलनशास्त्रातील अतिशय मूलभूत संकल्पना आहे. या संकल्पनेला अवकलन असेही म्हणतात. यूरोपमध्ये सर्वप्रथम ही संकल्पना थोर गणितज्ञ आयझॅक न्यूटन आणि लायप्निट्स यांनी सतराव्या शतकात मांडली. फलनाच्या विकलाचा उपयोग अनेक विज्ञानशाखा, अभियांत्रिकी, समाजशास्त्र, अर्थशास्त्र इत्यादी शास्त्रांमध्ये केला जातो. सर्वसाधारणपणे, जेव्हा एखाद्या घटकाची किंमत ही दुसऱ्या घटकाच्या किंमतीवर अवलंबून असते तेव्हा त्या घटकाच्या किंमतीतील बदलाचा दर म्हणजेच फलनाचा विकलनांक होय. जसे की, दिलेल्या ठिकाणचे तापमान हे वेळेवर अवलंबून असते; म्हणजेच, तापमान हे वेळेचे फलन आहे. दिलेल्या वेळेला तापमानाच्या बदलाचा दर म्हणजेच त्या फलनाचा  विकलनांक होय. वरील उदाहरणामध्ये तापमानाच्या ठिकाणी बाजारातील एखाद्या ‘वस्तूची असणारी किंमत’  हे फलन म्हणून घेता येईल.

फलनाचा ठराविक बिंदूवरील विकलनांक  (derivative at a point) : समजा \mathbb{R} हा वास्तव संख्यांचा संच आहे, a, b, c, d \in \mathbb{R},  c < d,  a \in (c, d)  आणि f:(c, d) \rightarrow \mathbb{R} हे फलन x=a ला संतत आहे.

जर

    \[\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}\]

⁡अस्तित्वात असेल, तर f या फलनाचा प्रांतबिंदू x=a  ला विकलनांक (derivative) म्हणजेच वरील सीमेची किंमत होय.  ही किंमत चिन्हामध्ये f'(a) किंवा \frac{df}{dx}|_{x=a} ने दर्शविली जाते. जर प्रत्येक x \in (c, d) साठी f'(x) अस्तित्वात असेल, तर f' हे स्वतः एक (c, d) पासून \mathbb{R} पर्यंतचे फलन बनते आणि f' यास f चे विकल असे म्हणतात.

लक्षात घ्या की प्रांत बिंदू x=a किमतीत h एवढा बदल केला तर f(x) च्या किमतीत f(a+h)-f(a) एवढा बदल होतो व \frac{f(a+h)-f(a)}{h} हे गुणोत्तर फलनाच्या बदलाचा  दर (a मधील h एवढ‌्या बदलासाठी ) दर्शविते. जसजसे h ची किंमत कमी करत जावी तसतसे गुणोत्तराची किमंतही बदलत जाते व गुणोत्तराच्या सीमेची किंमत ( गुणोत्तराचे टोकाचे मूल्य ) म्हणजेच f चा x=a् या बिंदूपाशी विकलनांक होय.

उदाहरणे.,  समजा f हे \mathbb{R} पासून \mathbb{R} पर्यंतचे फलन आहे.

जर f हे स्थिर फलन (constant function) असेल, तर प्रत्येक x \in \mathbb{R} साठी f'(x) = 0 असेल.

जर f(x) = x   तर f'(x) = 1.

जर f(x) = x   तर f'(x) = 2x.

वरील सीमा संतत फलनासाठी  नेहमीच अस्तित्वात असते असे नाही,  जसे की, f(x)= |x|  हे फलन x=0  ला संतत फलन आहे परंतु असे सिद्ध करता येते की विकलनांकची वरील सीमा x=0 ला अस्तित्वात नाही. सोप्या भाषेत f ह्या फलनाचा x=a  या बिंदूच्या ठिकाणी विकलनांक म्हणजे फलनाच्या किमतीतील x=a ह्या बिंदुस्थित बदलाचा दर होय.

उदाहरण : एक बस A ह्या स्थानकापासून निघते. समजा बसने t सेकंदात केलेले विस्थापन x(t) मीटर एवढे आहे. या ठिकाणी x(t) हे t वर अवलंबून असणारे फलन आहे व ह्या फलनास विस्थापन फलन असे म्हणतात. विस्थापन बदलण्याच्या दरास वेग असे म्हणतात. येथे वेग हे विस्थापन या फलनाचे विकल आहे व ते v(t) ने निर्देशित केले जाते. वेग बदलण्याच्या दरास त्वरण असे म्हणतात, म्हणजेच त्वरण हे वेगाचे विकल आहे. त्वरण हे साधारणपणे a(t) ने दर्शविले जाते. येथे  विस्थापन, वेग व त्वरणही t वर (वेळ/ काळ) अवलंबून असणारी फलने आहेत याची नोंद घ्यावी.

विकलनांचा भौमितिक अर्थ : समजा y=f(x) ह्या फलनाचा आलेख काढला तर f चा x=a ह्या प्रांतबिंदुला असलेला विकलनांक म्हणजेच y=f(x) च्या आलेखास (a,f(a)) ह्या बिंदूपाशी काढलेला  कल (slope) होय.  विकलनांकाच्या या भौमितिक संबंधामुळे भूमितीतील अनेक प्रमेये व सिद्धांत ( व पर्यायाने  अभियांत्रिकीतील व उपयोजित विज्ञानातील) ही कलनशास्त्राच्या परिभाषेत मांडता येतात.

समीक्षक – गणेश कडू

Tags: , ,

प्रतिक्रिया व्यक्त करा