निरंतर अपूर्णांक (Continuous Fractions)

आकृती १

अपूर्णांक म्हणजे एका संपूर्ण भागाचे दिलेल्या संख्येएवढे एकरूप भाग करून त्यांपैकी काही भाग निवडलेल्या भागांच्या संख्येचे एकूण भागांच्या संख्येशी असलेले गुणोत्तर म्हणजे अपूर्णांक होय. अपूर्णांकाचे लेखन करताना सामान्यत: निवडलेल्या एकरूप भागांची संख्या ‘अंश’स्थानी लिहितात आणि एकूण एकरूप भागांची संख्या ‘छेद’स्थानी लिहितात.

आकृती १ मध्ये दिलेल्या दोन उदाहरणांपैकी $\frac{1}{2}$ या अपूर्णांकात अंश $1$ आहे. यूक्लिड गणनविधीचा (Euclid Algorithm) उपयोग करून $\frac{3}{5}$ हा अपूर्णांक पुढीलप्रमाणे लिहिता येईल.

$\frac{3}{5} = \frac{1}{\frac{5}{3}}=\frac{1}{1+\frac{2}{3}} = \frac{1}{1 +{\frac{1}{\frac{3}{2}}}} = \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{2}}}}}}$

अशा प्रकारे कोणतीही अपूर्णांक संख्या यूक्लिड गणनविधीच्या साहाय्याने निरंतर अपूर्णांकाच्या स्वरूपात लिहिता येते. उदा.,

$\frac{57}{17} = 3 + \frac{6}{17} = 3 + \frac{1}{\frac{17}{6}} = 3 + \frac{1}{2 + \frac{5}{6}} = 3 + \frac{1}{2 + \frac{1}{\frac{6}{5}}}}$

$\therefore \frac{57}{17} = 3 + \frac{1}{2 + \frac{1}{1 + \frac{1}{5}}}$

अपूर्णांकाच्या अशा प्रकारच्या मांडणीला ‘निरंतर अपूर्णांक’ असे म्हणतात.

‍निरंतर अपूर्णांक मांडणीचे दोन प्रमुख प्रकार आहेत.

(1) परिमित/सांत निरंतर अपूर्णांक (Finite/Terminated Continued fraction) :

(2) अपरिमित/अनंत निरंतर अपूर्णांक (Infinite Continued fraction) : ‘अपरिमित निरंतर अपूर्णांक’ या संकल्पनेचा शोध इटलीच्या पेत्रो आंतॉन्यो (Petrov Antonio; 1548-1625) या गणितज्‍ज्ञाने लावला. त्यांनी $\sqrt2$ या अपरिमेय संख्येची किंमत पुढीलप्रमाणे दिली.

$\sqrt2$ = अशा निरंतर अपूर्णांकामध्ये अनंत पायऱ्या असतात. उदाहरण सोडविण्याकरिता येथे सहा पायऱ्या आहेत असे समजू.

$2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$

$2 + \frac{1}{\frac{5}{2}} = 2 + \frac{2}{5} = \frac{12}{5}$

$2 + \frac{1}{\frac{12}{5}} = 2 + \frac{5}{12} = \frac{29}{12}$

$2 + \frac{1}{\frac{29}{12}} = 2 + \frac{12}{29} = \frac{70}{29}$

$2 + \frac{1}{\frac{70}{29}} = 2 + \frac{29}{70} = \frac{169}{70}$

$2 + \frac{1}{\frac{169}{70}} = 2 + \frac{70}{169} = \frac{408}{169}$

म्हणून शेवटची पायरी,

$\sqrt2 = 1 + \frac{1}{\frac{408}{169}} = 1 + \frac{169}{408} = 1.414215686$

गणितातील π (परिघ/व्यास) आणि e (लॉगरिथमचा पाया) या दोन सुप्रसिद्ध अपरिमेय आणि अबैजकीय संख्यांची मांडणी निरंतर अपूर्णांकाच्या स्वरूपात पुढीलप्रमाणे केली जाते.

$\frac{\pi}{4}$ समजण्यासाठी येथे सात पायऱ्या आहेत असे समजू.

$2 + \frac{169}{2} = \frac{173}{2}$

$2 + \frac{121}{\frac{173}{2}} = 2 + \frac{242}{173} = \frac{588}{173}$

$2 + \frac{81}{\frac{588}{173}} = \frac{15189}{588}$

$2 + \frac{49}{\frac{15189}{588}} = \frac{59190}{15189}$

$2 + \frac{25}{\frac{59190}{15189}} = \frac{498105}{59190}$

$2 + \frac{9}{\frac{498105}{59190}} = \frac{1528920}{498105}$

म्हणून शेवटची पायरी

$1 + \frac{1}{\frac{1528920}{498105}} = 1.32578879$

तसेच,

$e = 2 + \frac{1}{1 +\frac{1}{2 + \frac{1}{1 + \frac{1}{4 +\frac{1}{1 + \frac{1}{6 + \frac{1}{1 + \dots}}}}}}}$

ऑयलर (1707 ते 1783) यांनी $e$ ही संख्या अंतहीन निरंतर अपूर्णांकाच्या स्वरूपात पुढीलप्रमाणे मांडली.

$e = 2 + \frac{1}{1 +\frac{1}{2 + \frac{2}{3 + \frac{3}{4 +\frac{4}{5 + \frac{5}{\dots}}}}}}}$

$e$ या संख्येला ऑयलर संख्या असेही म्हटले जाते. वरील $\sqrt2$ व $\pi$ प्रमाणेच $e$ ची किंमत काढता येते.

$e$ ही संख्या पुढीलप्रमाणेही मांडली जाते.

$e = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \frac{1}{5!} + \dots$

भौतिकशास्त्र, कलनशास्त्र, संख्याशास्त्र, जीवशास्त्र इत्यादी क्षेत्रात $e$ चा उपयोग प्रचंड प्रमाणात आढळून येतो. $e$ या संख्येचा उपयोग ‘निसर्ग-गणिताशी’ खूपच निगडीत आहे.

$‍e = 2.71828182845904523536 \dots$

ग्रेगोरियन वर्ष हे 365.2422 दिवसांचे आहे. ही संख्या निरंतर अपूर्णांकाच्या स्वरूपात पुढीलप्रमाणे मांडता येते.

$365.2422 = 365 + \frac{1}{4 + \frac{1}{7 + \frac{1}{1 + \frac{1}{3 + \frac{1}{4 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{2}}}}}}}}$

किंवा $365\frac{2422}{10000} \approx 365 \frac{97}{400}$ म्हणूनच दर 4 वर्षातून एकदा येणाऱ्या वर्षाला ‘लीपवर्ष’ असे असतात आणि या वर्षात फेब्रुवारी महिना 29 ‍ दिवसांचा असतो.

अपरिमित निरंतर अपूर्णांकामध्ये अनंत पायऱ्या असतात. समजण्यासाठी $\sqrt2$ मध्ये सहा पायऱ्या आणि $\frac{\pi}{4}$ मध्ये सात पायऱ्यांचा विचार करून एक समीप (approximate) किंमत काढली. याचा अर्थ असा आहे $\sqrt2$ , $\frac{\pi}{4}$ आणि $e$ यांची तंतोतंत (exact) किंमत काढता येत नाही.

समीक्षक : शशिकांत कात्रे

Share this: