
अपूर्णांक म्हणजे एका संपूर्ण भागाचे दिलेल्या संख्येएवढे एकरूप भाग करून त्यांपैकी काही भाग निवडलेल्या भागांच्या संख्येचे एकूण भागांच्या संख्येशी असलेले गुणोत्तर म्हणजे अपूर्णांक होय. अपूर्णांकाचे लेखन करताना सामान्यत: निवडलेल्या एकरूप भागांची संख्या ‘अंश’स्थानी लिहितात आणि एकूण एकरूप भागांची संख्या ‘छेद’स्थानी लिहितात.
आकृती १ मध्ये दिलेल्या दोन उदाहरणांपैकी या अपूर्णांकात अंश
आहे. यूक्लिड गणनविधीचा (Euclid Algorithm) उपयोग करून
हा अपूर्णांक पुढीलप्रमाणे लिहिता येईल.
अशा प्रकारे कोणतीही अपूर्णांक संख्या यूक्लिड गणनविधीच्या साहाय्याने निरंतर अपूर्णांकाच्या स्वरूपात लिहिता येते. उदा.,
अपूर्णांकाच्या अशा प्रकारच्या मांडणीला ‘निरंतर अपूर्णांक’ असे म्हणतात.
निरंतर अपूर्णांक मांडणीचे दोन प्रमुख प्रकार आहेत.
(1) परिमित/सांत निरंतर अपूर्णांक (Finite/Terminated Continued fraction) :
(2) अपरिमित/अनंत निरंतर अपूर्णांक (Infinite Continued fraction) : ‘अपरिमित निरंतर अपूर्णांक’ या संकल्पनेचा शोध इटलीच्या पेत्रो आंतॉन्यो (Petrov Antonio; 1548-1625) या गणितज्ज्ञाने लावला. त्यांनी या अपरिमेय संख्येची किंमत पुढीलप्रमाणे दिली.
= अशा निरंतर अपूर्णांकामध्ये अनंत पायऱ्या असतात. उदाहरण सोडविण्याकरिता येथे सहा पायऱ्या आहेत असे समजू.
म्हणून शेवटची पायरी,
गणितातील π (परिघ/व्यास) आणि e (लॉगरिथमचा पाया) या दोन सुप्रसिद्ध अपरिमेय आणि अबैजकीय संख्यांची मांडणी निरंतर अपूर्णांकाच्या स्वरूपात पुढीलप्रमाणे केली जाते.
समजण्यासाठी येथे सात पायऱ्या आहेत असे समजू.
म्हणून शेवटची पायरी
तसेच,
ऑयलर (1707 ते 1783) यांनी ही संख्या अंतहीन निरंतर अपूर्णांकाच्या स्वरूपात पुढीलप्रमाणे मांडली.
या संख्येला ऑयलर संख्या असेही म्हटले जाते. वरील
व
प्रमाणेच
ची किंमत काढता येते.
ही संख्या पुढीलप्रमाणेही मांडली जाते.
भौतिकशास्त्र, कलनशास्त्र, संख्याशास्त्र, जीवशास्त्र इत्यादी क्षेत्रात चा उपयोग प्रचंड प्रमाणात आढळून येतो.
या संख्येचा उपयोग ‘निसर्ग-गणिताशी’ खूपच निगडीत आहे.
ग्रेगोरियन वर्ष हे 365.2422 दिवसांचे आहे. ही संख्या निरंतर अपूर्णांकाच्या स्वरूपात पुढीलप्रमाणे मांडता येते.
किंवा म्हणूनच दर 4 वर्षातून एकदा येणाऱ्या वर्षाला ‘लीपवर्ष’ असे असतात आणि या वर्षात फेब्रुवारी महिना 29 दिवसांचा असतो.
अपरिमित निरंतर अपूर्णांकामध्ये अनंत पायऱ्या असतात. समजण्यासाठी मध्ये सहा पायऱ्या आणि
मध्ये सात पायऱ्यांचा विचार करून एक समीप (approximate) किंमत काढली. याचा अर्थ असा आहे
,
आणि
यांची तंतोतंत (exact) किंमत काढता येत नाही.
समीक्षक : शशिकांत कात्रे