आकृती १

अपूर्णांक म्हणजे एका संपूर्ण भागाचे दिलेल्या संख्येएवढे एकरूप भाग करून त्यांपैकी काही भाग निवडलेल्या भागांच्या संख्येचे एकूण भागांच्या संख्येशी असलेले गुणोत्तर म्हणजे अपूर्णांक होय. अपूर्णांकाचे लेखन करताना सामान्यत: निवडलेल्या एकरूप भागांची संख्या ‘अंश’स्थानी लिहितात आणि एकूण एकरूप भागांची संख्या ‘छेद’स्थानी लिहितात.

आकृती १ मध्ये दिलेल्या दोन उदाहरणांपैकी \frac{1}{2} या अपूर्णांकात अंश 1 आहे. यूक्लिड गणनविधीचा (Euclid Algorithm) उपयोग करून \frac{3}{5} हा अपूर्णांक पुढीलप्रमाणे लिहिता येईल.

\frac{3}{5} = \frac{1}{\frac{5}{3}}=\frac{1}{1+\frac{2}{3}} = \frac{1}{1 +{\frac{1}{\frac{3}{2}}}} = \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{2}}}}}}

अशा प्रकारे कोणतीही अपूर्णांक संख्या यूक्लिड गणनविधीच्या साहाय्याने निरंतर अपूर्णांकाच्या स्वरूपात लिहिता येते. उदा.,

\frac{57}{17} = 3 + \frac{6}{17} = 3 + \frac{1}{\frac{17}{6}} = 3 + \frac{1}{2 + \frac{5}{6}} = 3 + \frac{1}{2 + \frac{1}{\frac{6}{5}}}}

\therefore \frac{57}{17} = 3 + \frac{1}{2 + \frac{1}{1 + \frac{1}{5}}}

अपूर्णांकाच्या अशा प्रकारच्या मांडणीला ‘निरंतर अपूर्णांक’ असे म्हणतात.

‍निरंतर अपूर्णांक मांडणीचे दोन प्रमुख प्रकार आहेत.

(1) परिमित/सांत  निरंतर अपूर्णांक (Finite/Terminated Continued fraction) :

(2) अपरिमित/अनंत निरंतर अपूर्णांक (Infinite Continued fraction) : ‘अपरिमित निरंतर अपूर्णांक’ या संकल्पनेचा शोध इटलीच्या पेत्रो आंतॉन्यो (Petrov Antonio; 1548-1625) या गणितज्‍ज्ञाने लावला. त्यांनी \sqrt2 या अपरिमेय संख्येची किंमत पुढीलप्रमाणे दिली.

\sqrt2 = अशा निरंतर अपूर्णांकामध्ये अनंत पायऱ्या असतात. उदाहरण सोडविण्याकरिता येथे सहा पायऱ्या आहेत असे समजू.

2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}

2 + \frac{1}{\frac{5}{2}} = 2 + \frac{2}{5} = \frac{12}{5}

2 + \frac{1}{\frac{12}{5}} = 2 + \frac{5}{12} = \frac{29}{12}

2 + \frac{1}{\frac{29}{12}} = 2 + \frac{12}{29} = \frac{70}{29}

2 + \frac{1}{\frac{70}{29}} = 2 + \frac{29}{70} = \frac{169}{70}

2 + \frac{1}{\frac{169}{70}} = 2 + \frac{70}{169} = \frac{408}{169}

म्हणून शेवटची पायरी,

\sqrt2 = 1 + \frac{1}{\frac{408}{169}} = 1 + \frac{169}{408} = 1.414215686

गणितातील π (परिघ/व्यास) आणि e (लॉगरिथमचा पाया) या दोन सुप्रसिद्ध अपरिमेय आणि अबैजकीय संख्यांची मांडणी निरंतर अपूर्णांकाच्या स्वरूपात पुढीलप्रमाणे केली जाते.

\frac{\pi}{4}  समजण्यासाठी येथे सात पायऱ्या आहेत असे समजू.

2 + \frac{169}{2} = \frac{173}{2}

2 + \frac{121}{\frac{173}{2}} = 2 + \frac{242}{173} = \frac{588}{173}

2 + \frac{81}{\frac{588}{173}} = \frac{15189}{588}

2 + \frac{49}{\frac{15189}{588}} = \frac{59190}{15189}

2 + \frac{25}{\frac{59190}{15189}} = \frac{498105}{59190}

2 + \frac{9}{\frac{498105}{59190}} = \frac{1528920}{498105}

म्हणून शेवटची पायरी

1 + \frac{1}{\frac{1528920}{498105}} = 1.32578879

तसेच,

e = 2 + \frac{1}{1 +\frac{1}{2 + \frac{1}{1 + \frac{1}{4 +\frac{1}{1 + \frac{1}{6 + \frac{1}{1 + \dots}}}}}}}

ऑयलर (1707 ते 1783) यांनी e ही संख्या अंतहीन निरंतर अपूर्णांकाच्या स्वरूपात पुढीलप्रमाणे मांडली.

e = 2 + \frac{1}{1 +\frac{1}{2 + \frac{2}{3 + \frac{3}{4 +\frac{4}{5 + \frac{5}{\dots}}}}}}}

e या संख्येला ऑयलर संख्या असेही म्हटले जाते. वरील  \sqrt2  व \pi प्रमाणेच e ची किंमत काढता येते.

e ही संख्या पुढीलप्रमाणेही मांडली जाते.

e = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \frac{1}{5!} + \dots

भौतिकशास्त्र, कलनशास्त्र, संख्याशास्त्र, जीवशास्त्र इत्यादी क्षेत्रात e चा उपयोग प्रचंड प्रमाणात आढळून येतो. e या संख्येचा उपयोग ‘निसर्ग-गणिताशी’ खूपच निगडीत आहे.

‍e = 2.71828182845904523536 \dots

ग्रेगोरियन वर्ष हे 365.2422 दिवसांचे आहे. ही संख्या निरंतर अपूर्णांकाच्या स्वरूपात पुढीलप्रमाणे मांडता येते.

365.2422 = 365 + \frac{1}{4 + \frac{1}{7 + \frac{1}{1 + \frac{1}{3 + \frac{1}{4 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{2}}}}}}}}

किंवा 365\frac{2422}{10000}  \approx 365 \frac{97}{400} म्हणूनच दर 4 वर्षातून एकदा येणाऱ्या वर्षाला ‘लीपवर्ष’ असे असतात आणि या वर्षात फेब्रुवारी महिना 29 ‍ दिवसांचा असतो.

अपरिमित निरंतर अपूर्णांकामध्ये अनंत पायऱ्या असतात. समजण्यासाठी \sqrt2  मध्ये सहा पायऱ्या आणि \frac{\pi}{4} मध्ये सात पायऱ्यांचा विचार करून एक समीप (approximate) किंमत काढली. याचा अर्थ असा आहे \sqrt2, \frac{\pi}{4} आणि e यांची तंतोतंत (exact)  किंमत काढता येत नाही.

 

समीक्षक : शशिकांत कात्रे