प्येअर द फेर्मा (1601 – 1665) हे सतराव्या शतकातील एक फ्रेंच गणितज्ञ. 1631 मध्ये त्यांनी ऑर्लेआ विद्यापीठाची कायद्याची पदवी संपादन केली आणि तूलूझ येथे वकिलीचा व्यवसाय सुरू केला. त्यांना गणितात विशेषकरून संख्याशास्‍त्रात अतिशय रस होता. अ‍ॅलेक्झांड्रियाचे डायोफँटस यांच्या अरिथमेटिका (Arithmetica) या ग्रंथाचा अभ्यास करताना त्यांनी एके ठिकाणी समासात एक प्रमेय लिहिले, ते असे “ 
या समीकरणाला 
असल्यास निर्वाह (समीकरण सोडवून मिळणारे उत्तर) नसतो.” परंतु समासात जागा कमी असल्याने या प्रमेयाची सिद्धता आपल्याला देता येत नाही अशी खंतही व्यक्त केली. या सिद्धतेला त्यांनी ‘मार्व्हलस प्रूफ’ (Marvelous Proof) असे म्हटले होते. त्‍यांच्या मृत्यूनंतर हे प्रमेय त्‍यांचा मुलगा क्लेमाँ सॅम्यल (Clément-Samuel) यांच्यामुळे सगळ्यांना ज्ञात झाले.
प्रमेय : फेर्मा यांचे हे प्रमेय पायथागोरसच्या सिद्धांताच्या सामान्यीकरणाशी निगडित आहे.
पायथागोरसचा सिद्धांत : पायथागोरसचा सिद्धांत खालीलप्रमाणे लिहिला जातो.
(काटकोन त्रिकोणाच्या कर्णाचा वर्ग) = (त्रिकोणाच्या एक भुजेचा वर्ग) + (त्रिकोणाच्या दुसऱ्या भुजेचा वर्ग).
काटकोन त्रिकोणाचा कर्ण 
असेल आणि इतर बाजू 
आणि 
असतील तर हा सिद्धांत 
असाही लिहिता येतो. ज्या संख्या हे समीकरण पूर्ण करतात त्यांना पायथागोरसची त्रिकुटे म्हणतात. उदा., 
म्हणून 
या तीन संख्यांना पायथागोरसचे त्रिकुट म्हणतात. 
ही याप्रकारच्या त्रिकुटाची काही उदाहरणे आहेत. पायथागोरस यांच्या पूर्वी या सिद्धांताचे विधान आणि अशा त्रिकुटांची उदाहरणे शुल्बसूत्रांत (इ. स. पूर्व 800) आढळतात.
फेर्मा यांचे सामान्यीकरण : फेर्मा यांनी या समीकरणाचे सामान्यीकरण करताना 
आणि 
असे तीन धन पूर्णांक कल्पिले आणि 
असे एक समीकरण लिहिले. 
असताना 
हे समीकरण पूर्ण करणारी धन पूर्णांकांची त्रिकूटे असू शकतात. उदा., 
असेल तर 
. म्हणजेच 
हे धन पूर्णांकांचे त्रिकुट फेर्मा यांचे समीकरण या अटीसाठी पूर्ण करते.
जर 
घेतले तर 
असे पायथागोरसच्या सिद्धांताप्रमाणे हे समीकरण पूर्ण करणारी धन पूर्णांकांची त्रिकुटे मिळतात. परंतु फेर्मा यांनी असे मांडले की 
अशा कोणत्याही धन पूर्णांकांसाठी हे समीकरण पूर्ण करणारी संख्यांची त्रिकूटे असूच शकत नाहीत.
म्हणजे 
किंवा 
अशी समीकरणे पूर्ण करणारी धन पूर्णांकांची त्रिकुटे मिळत नाहीत.
या प्रमेयाची सिद्धता देण्याचा प्रयत्न त्यानंतर अनेक शतके झोफी झेर्मां (Sophie Germain), ग्रॅब्रीएल लॅमे (Gabriel Lamé), ऑग्युस्तीन कोशी (Augustin Cauchy), अर्न्स्ट कुमर (Ernst Kummer), यांसारख्या नामवंत गणितज्ञानी केला. पण त्यांना यश आले नाही. त्यामुळे या प्रमेयाभोवती एक गूढ निर्माण झाले आणि या प्रमेयाच्या सिद्धतेला ‘गणितातील अनिर्वाहीत प्रश्नां‘मध्ये महत्त्वाचे स्थान प्राप्त झाले. या प्रमेयाच्या सिद्धतेकरिता बक्षिसेही जाहीर केली गेली. कालांतराने बक्षिसांच्या रकमाही वाढू लागल्या. अनेक खोट्या, गणिताला धरून नसलेल्या सिद्धताही लोक देऊ लागले. हे प्रमेय साहित्यिक, कलावंत, गायक अशा लोकांनाही कळले आणि त्याचा उपयोग साहित्य, संगीत, नाटक अशा क्षेत्रांतही होऊ लागला. या प्रमेयाचा उल्लेख विज्ञान कथा लेखक आर्थर सी. क्लार्क (Arthur C. Clarke) यांच्या काही कथांमध्ये आढळतो. ‘फेर्माज लास्ट टँगो’ नावाची एक संगीतिकाही या प्रमेयावर रचली गेली आहे.
17 ऑगस्ट 2011 या दिवशी फेर्मा यांच्या 410 व्या जन्मशताब्दीचे निमित्त साधून गुगलच्या होमपेजवर एका फळ्याचे चित्र होते आणि त्यावर फेर्मा यांचे हे शेवटचे प्रमेय लिहीले होते आणि ‘मी या प्रमेयाची सिद्धता (मार्व्हलस प्रूफ ) शोधली आहे पण जागेअभावी हे इथे लिहिता येत नाही आहे’ हे त्‍यांचे मूळ वाक्यही होते.
प्रमेय सिद्धता : सप्टेंबर 1994 मध्ये अँड्र्यू विल्स (Andrew Wiles) या गणितज्‍ज्ञाने या प्रमेयाची सिद्धता तज्ज्ञांच्या समितीसमोर सादर केली. सुमारे दोन वर्षे छाननी केल्यानंतर या समितीने 27 जून 1997 या दिवशी फेर्मा यांच्या शेवटच्या प्रमेयाची सिद्धता अँड्र्यू विल्स याने दिली आहे हे मान्य केले गेले. अँड्र्यू विल्स याने ही सिद्धता गणितातील आधुनिक संकल्पनांचा वापर करून दिली होती त्यामुळे फेर्मा यांची मूळ सिद्धता कशी असेल? हे शोधण्याचे काम अजून शिल्लक आहेच.
संदर्भ :
- Bell, E. T., Men of Mathematics, Touchstone books, 1986.
- Edwards, Herald M., Fermat’s Last Theorem : A Genetic Introduction to Algebraic Number Theory, Springer 1977.
- Health, Thomas Little; Euler, Leonhard, Diophantus of Alexandria : A study in the history of Greek Algebra, University Press, Cambridge, 1910
- Ribenboim, Paulo, 13 Lectures on Fermat’s last theorem, Springer 1979.
- https://archive.org/…/diophantusofale…/page/150/mode/2up
- मराठी विश्वकोश खंड क्र. १०.
समीक्षक : डॉ. शशिकांत कात्रे
