गणितातील परिभाषा (Terminologies from Mathematics)

गृहितक (Axiom/ Postulate) : पारंपरिक गणिती लिखाणामध्ये, एखाद्या सिद्धांताची (theory) रचना करताना सिद्धांतातील ज्या पायाभूत बाबी पूर्ण सत्य आहेत किंवा अस्तित्वात आहेत, त्यांना गृहितके, म्हणजेच, मानलेले (मानलेल्या पूर्ण सत्य बाबी) असे म्हणतात. उदा., प्रतलामधील दोन वेगवेगळ्या बिंदूमधून केवळ एक आणि एकच रेषा जाते, ही उघड उघड सत्य बाब यूक्लिड यांच्या प्रतलीय भूमितीमधील एक गृहितक आहे. मात्र, आधुनिक काळामध्ये सिद्धांताची रचना करताना ज्या पायभूत बाबी (सिद्धतेशिवाय) मानल्या जातात त्यांना त्या सिद्धांताची गृहितके मानतात.
अभिविधान (Proposition) : गणिती तर्कशास्त्र आणि गृहितके यांच्या आधारे प्रस्थापित केलेल्या समीकरणास वा घटनेस अभिविधान असे म्हणतात. अभिविधानाचे दोन भाग पडतात : (1) गृहित आणि (2) साध्य.
गृहित (Hypothesis) आणि साध्य (Conclusion / to be proved) : अभिविधानांमध्ये जे सिद्ध करावयाचे आहे त्यास साध्य असे म्हणतात आणि ज्या माहितीचा वा अटींचा वापर करून साध्य सिद्ध करायचे, त्या माहितीस गृहित असे म्हणतात. उदाहरणार्थ “जर $x - 1 = 0$ असेल तर $x=1$ असते.” असे जर अभिविधान असेल तर या अभिविधानामध्ये $x - 1 = 0$ हे गृहित आहे आणि $x=1$ हे साध्य आहे.
सिद्धता (Proof) : अभिविधानांची सिद्धता म्हणजे त्या अभिविधानांच्या सत्यत्येचा पुरावा असतो. अभिविधानांध्ये गृहित आणि साध्य असे दोन भाग असतात. दिलेल्या अभिविधानाची सिद्धता म्हणजे अभिविधानामधील गृहित, गणिती गृहितके आणि गणिती तर्कशास्त्र वापरून साध्यापर्यंत पोहोचण्यासाठी लिहिलेल्या वाक्यांचा सुसंगत क्रम होय.
प्रमेय (Theorem) : फार महत्त्वाच्या अभिविधानास ‘प्रमेय’ असे संबोधले जाते. प्रत्येक प्रमेय हे अभिविधान असते. मात्र, एखाद्या अभिविधानाचे महत्त्व ठासविण्याकरिता त्यास प्रमेय म्हटले जाते. प्रतलीय भूमितीमधील पायथागोरसचे प्रमेय, कलन-संकलन शास्त्रातील मूलभूत प्रमेय (Fundamental theorem of Calculus), भूमितीमधील ग्रीनचे प्रमेय (Green’s theorem), अंकशास्त्रातील यूक्लिडचे प्रमेय (Euclid’s Theorem) आणि गणितीय तर्कशास्त्रातील कूर्ट गोडेल यांची गणिती अपूर्णतेची (दोन) प्रमेये (Godel’s incompleteness theorems) ही काही प्रसिद्ध प्रमेये आहेत.
पूरक प्रमेय (Lemma) : एखाद्या मोठ्या प्रमेयाची सिद्धता लिहिताना तद्नुषंगाने इतर काही अभिविधाने सिद्ध करणे काही वेळा आवश्यक होऊन बसते. ही अभिविधाने मूळ सिद्धांतातील गृहीताच्या किंवा मूळ सिद्धांताच्या सिद्धतेत वापरात येणाऱ्या काही लहानशा भागांवर आधारलेली असतात. अशा वेळेस त्यांना सिद्धतेचा केवळ एखादा भाग (किंवा सिद्धतेची पायरी) इतकंच समजण्यापेक्षा त्यांना स्वतंत्र अस्तित्व देणं हे अधिक सोयीस्कर आणि श्रेयस्कर ठरतं. मूळ सिद्धांतातील गृहीतकाच्या लहानशाच भागावर आधारल्यामुळे ह्या अभिविधानांची उपयोगिता अधिक विस्तृत असू शकते; विशेषत: मूळ सिद्धता लिहिणाऱ्या लेखकाला ती अभिविधाने त्याच्या कामात इतरत्र वापरता येतात किंवा ती अन्य संशोधकांच्या कामी येऊ शकतात. जर ह्या अभिविधानांची सिद्धता मूळ सिद्धतेपेक्षा तांत्रिकदृष्ट्या सुलभ असेल तर ह्या अभिविधानांतून मूळ सिद्धतेचे वेगवेगळे भाग करणे, ज्यायोगे ती समजण्यास व तिची रचना ज्ञेय होण्यास, सहजसाध्य होते. अशा संदर्भात ओळखल्या जाणाऱ्या व स्वतंत्र स्थान मिळणाऱ्या अभिविधानांस पूरक प्रमेय म्हणतात. अंकशास्त्रातील यूक्लिड यांचा पूरक सिद्धांत (Euclid’s lemma in Number Theory), मापनशास्त्रातील फातूचा पूरक सिद्धांत (Fatou’s lemma in Measure theory), संस्थितिविज्ञानातील युरीझोनचा पूरक सिद्धांत (Urysohn’s lemma in Topology), आणि कॅटेगरी सिद्धांतातील योनेडाचा पूरक सिद्धांत (Yoneda lemma in Category theory) ही काही पूरक प्रमेय आहेत ज्यांना आता प्रमेयाइतकेच महत्त्व दिले जाते.
उपप्रमेय (Corollary) : प्रमेय, अभिविधान वा पूरक प्रमेय वापरून सिद्ध केलेल्या गणिती घटनेस वा समीकरणास उपप्रमेय म्हणतात. जी अभिविधाने, उपलब्ध प्रमेये वा इतर अभिविधाने वापरून विशेष तांत्रिक खोलात न जाता सुटसुटीतपणे सिध्द करता येतात त्यांना उपप्रमेय म्हणतात. उपप्रमेयांची सिद्धता, सहसा, अवघड नसते आणि ही सिद्धता थेट एक किंवा एकाहून अधिक प्रमेयांचे वा विधानांचे उपयोजन करून मिळवली जाते. किंबहुना, एक किंवा एकाहून अधिक प्रमेयांचे वा अभिविधानांचे उपयोजन करून एखाद्या गणिती समीकरणाची, निष्कर्षाची वा घटनेची सिद्धता मिळत असेल, तर त्या समीकरणास, निष्कर्षास वा घटनेस त्या त्या अभिविधानांचे वा प्रमेयांचे उपप्रमेय म्हणतात.
तार्कित (Conjecture) : एखादा गणिती निष्कर्ष, समीकरण वा घटना सत्य असावी असे काही तर्कांच्या वा उदाहरणांच्या आधारे, वाटते मात्र ह्या सत्यतेची सिद्धता देता येत नाही. किंवा हे निष्कर्ष, समीकरण वा घटना सत्य नाहीत, ह्यांची सुद्धा सिद्धता देता येत नाही. अशा निष्कर्ष, समीकरण वा घटनांस तार्कित म्हणतात. आजमितीस, गणितामध्ये बरीच तार्किते आहेत ज्यांच्या सिद्धता शोधण्याचा वा ती खोटी ठरवण्याचा प्रयत्न केला जातोय. उदाहरणार्थ, रिमानचे गृहितक (The Riemann hypothesis) हे सोडवण्याचा जगभरातील गणितज्ञ प्रयत्न करताहेत. या शिवाय, पी-व्हर्सेस एन्-पी (P-Vs-NP), हॉजचे तार्कित (Hodge conjecture), यांग-मिलस् सिद्धांताच्या अस्तित्वाचे आणि वस्तुमानांतराचे तार्कित (Yang-Mills existence and mass gap), बर्च आणि स्विनर्टन-डायर यांचे तार्कित, (Birch and Swinnerton-Dyer conjecture), नेव्हीयर-स्टोक समीकरणाच्या उकलींचे प्रश्न आणि गोल्डबाखचे तार्कित (Goldbach conjecture) ही काही अतिप्रसिद्ध मात्र न सुटलेली तार्किते आहेत. याउलट, फर्माचे शेवटचे प्रमेय (Fermat’s last theorem), चार रंगाचा प्रश्न (Four colour theorem), प्वॉईनक्वायरेचे तार्कित (Poincare’s conjecture) ह्या प्रसिद्ध तार्कितांच्या सिद्धता मिळाल्या आहेत. या पैकी, फर्माचे शेवटचे प्रमेय आणि त्याच्या सिद्धता देण्याचे प्रयत्न हे गेल्या शतकात जागतिक पातळीवर प्रसिद्ध झाले होते.