फेर्मी-डिरॅक सांख्यिकी (Fermi-Dirac statistic)

पुंज सांख्यिकीमध्ये, सरूप (समसमान, identical) फेर्मिऑनांच्या (Fermions) संहतीचे विविध पुंज अवस्थांमध्ये वंटन (distribution) करणाऱ्या सांख्यिकीला फेर्मी-डिरॅक सांख्यिकी असे म्हणतात. (पॉलीच्या विवर्जन तत्त्वाचे पालन करणाऱ्या कणांना फेर्मिऑन असे म्हणतात आणि अशा कणांची परिवलनसंख्या (spin)  विषम अंक आणि २ यांच्या विभाजनाने येणाऱ्या संख्येइतकी, म्हणजे 1/2, 3/2, 5/2,… अशी असते.) सरूप फेर्मिऑनांच्या संहतीचे तरंगफल (wave function) प्रतिसममित (antisymmetric) असल्याने अशा संहतींच्या वर्णनासाठी फेर्मी-डिरॅक सांख्यिकीचा वापर करावा लागतो. फेर्मी-डिरॅक सांख्यिकीचा पुंज स्थितिगतिशास्त्रामध्ये आणि त्याच्या विविध उपयोजनात महत्त्वाचा वाटा आहे.

इतिहास : फेर्मी-डिरॅक सांख्यिकीचा शोध १९२६ मध्ये एन्रीको फेर्मी (Enrico Fermi) आणि पॉल एड्रिएन मॉरिस डिरॅक (Paul Adrien Maurice Dirac) यांनी स्वतंत्रपणे लावला. डिरॅकने या सांख्यिकीचे फेर्मी सांख्यिकी असे नामकरण केले. यापूर्वी मॅक्स बॉर्न (Max Born) याने अशीच सांख्यिकी पास्कल जॉर्डन (Pascual Jordan) याने १९२५ मध्ये प्रपादिली होती असे नमूद केलेले आहे. जॉर्डनने या सांख्यिकीस पॉली सांख्यिकी असे नाव दिले होते. परंतु जॉर्डनचा हा प्रबंध वेळीच प्रकाशित न झाल्याने शोधाचे श्रेय फेर्मी आणि डिरॅक यांना देण्यात येत

फेर्मी-डिरॅक सांख्यिकीच्या शोधापूर्वी इलेक्ट्रॉनांच्या धातूंमधील वागणूक समजून येत नव्हती. उदा., इलेक्ट्रॉनांमुळे धातूंच्या विशिष्ट ऊष्मा धारकतेस (specific heat capacity) मिळालेले योगदान त्यांच्या विद्युतप्रवाहास मिळणाऱ्या योगदानापेक्षा शंभर पटींनी कमी होते. तसेच असे आढळले होते की मोठ्या विद्युतक्षेत्रात धातूंमधून बाहेर येणाऱ्या इलेक्ट्रॉनांची संख्या धातूंच्या तापमानावर अवलंबित नसते आणि हे अनाधुनिक भौतिकीच्या नियमांशी सुसंगत नाही. या इलेक्ट्रॉनांच्या धातूंमधील वागणुकींचे समाधान फेर्मी-डिरॅक सांख्यिकीच्या वापराने करता येते [धातूमधील इलेक्ट्रॉन].

पुंज स्थितिगतिशास्त्राचा फेर्मी-डिरॅक सांख्यिकी हा एक अत्यंत महत्त्वाचा घटक आहे. बरेच समसमान फेर्मीऑन असलेल्या संहतींमध्ये या सांख्यिकीचा वापर आवश्यक असतो. उदा., धातूंमधील इलेक्ट्रॉन, श्वेतखुजांचा सिद्धांत [श्वेतखुजे (white dwarfs)], न्यूट्रॉन ताऱ्यांचा सिद्धांत [न्यूट्रॉन तारे (neutron stars)], न्यूक्लीय आणि आणवीय कवच प्रतिकृती [न्यूक्लीय कवच प्रतिकृती, आणवीय कवच प्रतिकृती].

फेर्मी-डिरॅक वंटन (Fermi- Dirac distribution) : सरूप फेर्मिऑनांच्या तरंगफलांचा एक महत्त्वाचा गुणधर्म म्हणजे त्यांच्या कोणत्याही दोन कणांच्या सहनिर्देशक (coordinates) एकमेकांत बदलले तर त्यांच्या तरंगफलाचे चिन्ह बदलते किंवा सरूप फेर्मिऑनांचे तरंगफल प्रतिसममित असते. म्हणून कोणतेही दोन सरूप फेर्मिऑन एकाच पुंज स्थितीत (state) असू शकत नाहीत. याचा अनेक फेर्मिऑनांच्या वंटनावर महत्त्वाचा परिणाम होतो. विशेषतः जेव्हा आपण अनेक सरूप फेर्मिऑनांच्या तापीय समतोलात (thermal equilibrium) असलेल्या संहतींचा विचार करतो तेव्हा या कणांचे विविध स्थितीतील वंटन इतर सरूप नसलेल्या कणांहून भिन्न असते. परिगणनानंतर असे आढळून येते की खूप संख्या असलेल्या सरूप फर्मिऑनांच्या संहितीतील कणांचे वितरणफल

f(E_i) = \frac{g_i}{(exp^{\beta(E_i-\mu)}+1)}=g_i n(E_i)

असे असते. इथे \beta=\frac{1}{kT}, T हे निरपेक्ष मापनश्रेणीतील तापमान (temperature in absolute scale), k हा बोल्टस्मान स्थिरांक, \mu हे रासायनिक विभव (chemical potential; संहितीमधून एक कण वेगळा करण्यास लागणारी ऊर्जा) आणि g_i हा E_i ऊर्जा असलेल्या स्थितीचा अपजनन गुणक (degeneracy factor) आहे (म्हणजे एका स्थितीत g_i फेर्मिऑन असू शकतात). वितरणफलाचे आलेख सोबतच्या चित्रात दाखवलेले आहेत. n(E_i) ला फेर्मी-डिरॅक वंटन असे म्हणतात.

n(E_i) चा (E_i/\mu) बरोबरचा आलेख. तीन वक्र kT= \mu(लाल), \mu/10 (हिरवा) आणि 10\mu (निळा) करीता आहेत.

या आलेखांतून आपण खालील निष्कर्ष काढू शकतो.

१. जेंव्हा \beta E_i एकापेक्षा बरेच अधिक असते आणि ऊर्जा E_i रासायनिक विभवापेक्षा खूप अधिक असते तेंव्हा f(E_i)  सु.  g_i exp^{\beta\mu} exp^{-\beta E_i } इतके असते. म्हणजेच मॅक्सवेल–बोल्टस्मान सांख्यिकीमधील वितरणफलासारखे असते. म्हणजे, अधिक ऊर्जा असताना किंवा अधिक तापमानामध्ये पाउलीच्या विवर्जन तत्त्वाचा परिणाम नाहीसा होऊन संहितीचे वितरणफल अनाधुनिक कणांच्या संहितीसारखे म्हणजे मॅक्सवेल-बोल्टस्मान वितरणफलासारखे असते.

२. याउलट जेंव्हा E_i<\mu पेक्षा कमी असते आणि \beta E_i एकापेक्षा बरेच कमी असते तेंव्हा वितरणफल सु. g_i इतके असते. म्हणजेच कमी तापमानात सर्व कण कमीतकमी ऊर्जा असलेल्या स्थितीमध्ये रहाण्याचा प्रयत्न करतात. परंतु, पाउलीच्या तत्त्वानुसार एका स्थितीत फक्त g_i कण राहू शकत असल्याने ते शक्य असलेल्या कमीत कमी ऊर्जेच्या स्थितीत जातात आणि म्हणून बहुतेक सर्व कण \mu पेक्षा कमी ऊर्जा असलेल्या स्थितीत असतात.

३. जेव्हा तापमान शून्यवत असते तेव्हा संहतीतील फेर्मिऑन \mu पर्यंत ऊर्जा असलेल्या सर्व पुंज स्थित्या व्यापतात आणि \mu पेक्षा अधिक ऊर्जा असलेल्या स्थित्या रिकाम्या असतात. त्यामुळे रासायनिक विभवाला (\muला) फेर्मी ऊर्जा (Fermi energy) अथवा फेर्मी पातळी असेही म्हणतात. अशा संहतीला ऱ्हास (deganarate) संहती असे म्हणतात.

जेव्हा संहतीतील दोन कणांमधील सरासरी अंतर (d) बरेच अधिक असते तेव्हा फेर्मी-डिरॅक वितरणफल मॅक्सवेल-बोल्टस्मान वितरणफलासारखे होते[मॅक्सवेल-बोल्टस्मान सांख्यिकी]. किंबहुना हायझेनबेर्कचे अनिश्चितता तत्त्व वापरून असे दाखवता येते की, d औष्णिक द ब्रॉग्ली तरंगलांबीहून (thermal de Broglie wavelength \lambda^{th}) बरेच अधिक असते तेव्हा पुंज परिणाम शून्यवत होऊन वितरणफल अनाधुनिक सांख्यिकीतील मॅक्सवेल-बोल्टस्मान वितरणफलासारखे होते. येथे

\lambda^{th}=\frac{h}{(3mkT)^{1/2}}

आहे, h हा प्लांकचा स्थिरांक व m हे फेर्मिऑनाचे वस्तुमान आहे. जेव्हा तापमान बरेच अधिक असते आणि संहती विरल असते तेव्हा संहतीस अनाधुनिक सांख्यिकी (मॅक्सवेल-बोल्टझमन सांख्यिकी) लागू होते.

कळीचे शब्द : #फेर्मिऑन #श्वेतखुजे #न्यूट्रॉनतारे #न्यूक्लीयकवचप्रतिकृती #आणवीयकवचप्रतिकृती

संदर्भ :

समीक्षक : हेमचंद्र प्रधान

Tags: