बेर्नस्टीन, सर्गेई नतानोव्हिच : ( ५ मार्च, १८८० ते २६ ऑक्टोबर, १९६८)
सर्गेई नतानोव्हिच बेर्नस्टीन रशियाच्या युक्रेनमधील औडेसामध्ये जन्मले. त्यांचे वडील डॉक्टर आणि औडेसा विद्यापिठात नामांकित प्राध्यापक होते. उच्च माध्यमिक शिक्षण पूर्ण झाल्यानंतर पॅरिसच्या सोरबॉन विद्यापीठात त्यांनी वर्षभर गणिताचा अभ्यास केला. त्यानंतर अभियंता होण्याच्या आकांक्षेमुळे त्यांनी इकोल तंत्रनिकेतनमध्ये प्रवेश घेतल्यावरही त्यांनी जर्मनीतल्या गॉटिन्जेन येथे सुप्रसिद्ध गणितज्ञ, डेव्हिड हिल, यांच्या मार्गदर्शनाखाली, तीन सत्रांत गणितावर मेहनत घेतली.
गॉटिन्जेनहून पॅरिसला परतल्यावर बेर्नस्टीननी Sur la nature analytique des solutions des équations aux dérivées partielles du second ordre ह्या शीर्षकाचा प्रबंध सोरबॉन विद्यापीठाला सादर करून डॉक्टरेट मिळवली. हा अत्युत्कृष्ट प्रबंध, तीन दिग्गज गणिती, एमिल पिकार, हेन्री पॉइनकेर आणि जॅक्स हडामार्ड यांनी तपासला होता. या प्रबंधात हिल्बर्ट यांच्या एकोणिसाव्या समस्येचे समाधानकारक उत्तर मिळते. ती त्यांनी पॅरिसमधील आंतरराष्ट्रीय गणित परिषदेत मांडली होती. त्यात विवृत्तीय विभेदक समीकरणांचे (elliptic differential equations) वैश्लेषिक समाधान शोधणे आणि नियमित वैश्लेषिक (analytical) विचरणात्मक (variational) समस्यांची सर्व उत्तरे वैश्लेषिक असतात हे सिद्ध करणे अंतर्भूत होते.
बेर्नस्टीन रशियात परतले परंतु, तेथील नोकऱ्यांसाठी त्यांच्या पदव्या विद्यापीठाला मान्य नव्हत्या. म्हणून पुन्हा पदव्युत्तर अभ्यास करून त्यांनी सेंट पीटर्सबर्ग विद्यापीठाची दुसरी उच्च पदवी मिळवली. यानंतरही विद्यापिठीय नोकरी न मिळाल्याने बेर्नस्टीन नव्याने स्थापन झालेल्या स्त्रियांसाठीच्या तंत्रनिकेतन महाविद्यालयात, अध्यापक झाले.
एक वर्षानंतर बेर्नस्टीन युक्रेनस्थित खारकॉफला गेले आणि आणखी एका पदव्युत्तर पदवीसाठी त्यांनी Investigation and Solution of Elliptic Partial Differential Equations of Second Degree हा प्रबंध सादर केला. यात त्यांनी हिल्बर्ट यांच्या एकोणिसाव्या समस्येसोबत जर्मन गणिती, डिरीक्ले यांनी अरेषिय विभेदक समीकरणांच्या गटातील व्यापक समस्यांवर शोधलेल्या वैश्लेषिक उत्तरांवर आधारित, हिल्बर्ट यांच्या विसाव्या समस्येची उकलही दिली. तेव्हापासून खारकॉफ विद्यापीठात हंगामी प्राध्यापक म्हणून बेर्नस्टीन रुजू झाले आणि २५ वर्षे तेथे कार्यरत राहिले.
पुढे त्यांना About the Best Approximation of Continuous Functions by Polynomials of Given Degree या प्रबंधासाठी खारकॉफ विद्यापीठाकडून दुसरी डॉक्टरेट मिळाली. त्यातील काही निष्कर्षांसाठी बेल्जियम अकॅडमी ऑफ सायन्सेसने पुरस्कार जाहीर केला.
बेर्नस्टीन यांच्या दुसऱ्या डॉक्टरेटचा विषय म्हणजे चार्ल्स-ज्याँ द ला व्हॅले पूसा (Charles-Jean de La Vallée Poussin) यांनी उपस्थित केलेला प्रश्न: 1/n हून कमी दोष ठेवून, n मानाच्या (degree) बहुपदीच्या सहाय्याने बहुभुजाकृतीच्या रेषेची कोटि (ordinate) समीपतेने काढता येईल का? तीन वर्षांनी बेर्नस्टीननी पूसांच्या समस्येचे परिपूर्ण उत्तर शोधतानाच बेर्नस्टीन-बहुपदी (Bernstein Polynomials) जगापुढे आणल्या. या बहुपदींच्या आधारे बेर्नस्टीन यांनी विअरस्ट्रास प्रमेयासाठी (Weierstrass theorem) रचनात्मक सिद्धता दिली. विअरस्ट्रास यांच्या प्रमेयानुसार, वास्तव रेषेच्या सांत उपअंतरालावरील संतत फलासाठी केवळ एका बहुपदीच्या उपयोगाने (आपल्याला हव्या त्या नजीकतेची) एकसमान समीपता मिळविता येते.
केंब्रिजला भरलेल्या गणिताच्या आंतरराष्ट्रीय परिषदेत बेर्नस्टीन यांनी सादर केलेले रचनाक्षम फल प्रमेय (कन्स्ट्रक्टिव फंक्शन थिअरम) आज समीपता प्रमेय (Approximation Theorem) म्हणून सर्वज्ञात आहे. याचा पाया बेर्नस्टीन-बहुपदीच आहेत. संगणक वापरून स्वयंचलित वाहनांसारख्या, मुक्त व जटील आकारातील रचनांची निर्मिती आणि हाताळणी सहजसोपी व्हावी यासाठी बेर्नस्टीन-बहुपदींवर आधारित गणितीय रीती (algorithm) वापरतात. या रीतींमुळे कष्टप्रद आणि खर्चिक प्रक्रिया टाळून चिकणमातीची, इच्छित आकारातील, शिल्पे घडविणेही शक्य होते.
बेर्नस्टीन यांनी संभाव्यता उपपत्तीवर केलेले काम मोलाचे आहे. संभाव्यता उपपत्तीला, तिच्या मुळाशी असलेल्या बीजगणितीय रचनेआधारे, सर्वप्रथम बेर्नस्टीननी गृहितकाचा पाया सुचविला आणि वेगळी दिशा दिली. याच उपपत्तीवर त्यांनी Teoriia Veroiatnostei हे पुस्तक लिहिले ज्याला पॅरिसच्या विज्ञान ॲकेडमीने पारितोषिक दिले.
बेर्नस्टीन सर्वाधिकपणे ओळखले जातात ते केंद्रिय सीमा प्रमेयाचा (central limit theorem) विस्तार यादृच्छिक चलांच्या दुर्बल अवलंबनावर करण्याकरीता. अवलंबी यादृच्छिक चलांच्या बेरजेसाठी सीमा प्रमेय लागू करण्याची पद्धत बेर्नस्टीननी शोधली. चिरसंमत सीमा प्रमेय, हे बृहत संख्या दुर्बलता नियम (weak law of large numbers) आणि केंद्रीय सीमा प्रमेय यांवर बेतलेले आहे. सीमा प्रमेयाने, ही स्वतंत्र यादृच्छिक चलांची क्रमिका असताना आणि च्या या आंशिक बेरजेची संभाव्यता nच्या अनंत किमतींसाठी किती असेल, याचे उत्तर मिळते.
Mathematical problems in modern biology या शोधनिबंधांत बेर्नस्टीननी जनुकशास्त्रात संभाव्यतेचा वापर करून सध्या सुपरिचित असलेली बेर्नस्टीन-समस्या मांडली आहे. जर C2 फंक्शनचा आलेख f: R2 → R हा किमान पृष्ठभाग असेल (म्हणजेच वक्रतारहित असेल), तर f एक मितिरक्षी फल (affine function) असले पाहीजे, हे विधान R च्या दोनहून अधिक घातांसाठी खरे ठरेल का, हा प्रश्न म्हणजे बेर्नस्टीन-समस्या. बेर्नस्टीननी तीन घातासाठी विधान सत्य असल्याचे शोधले होते. १९६० मध्ये हा प्रश्न पूर्णपणे सोडवला गेला आणि विधान फक्त आठपर्यंतच्या घातांसाठी खरे ठरत असल्याचे समजले.
आयुष्यभर बेर्नस्टीन, प्रसामान्य वितरणाचा आणि संभाव्यता सिद्धांतावरील मुख्य प्रमेयांच्या पाया भरणीवर संशोधन करत राहिले. प्रसामान्य वितरणाचे लक्षणचित्रण निरवलंबी रेषीय स्वरूपातील दोन यादृच्छिक चलांच्या मार्फत करणे, यालाच बेर्नस्टीन-प्रमेय संबोधतात, हे त्याचे एक फलित होय. बेर्नस्टीन यांच्या एका शोधनिबंधात सांख्यिकी विश्लेषणात वापरल्या जाणाऱ्या स्वसंशोधित असमानतांचा वापर करून दाखविला आहे. यांपैकी सर्वांधिक वापरली जाणारी असमानता म्हणजे .
गणित अध्यापनशास्त्रातही बेर्नस्टीन यांना रस असल्यामुळे त्यांनी युक्रेनच्या शैक्षणिक पुस्तकांवरील परीक्षणे व शिक्षणविषयक लेख सातत्याने लिहिले. शिक्षणाचे राष्ट्रीय आयुक्त असताना त्यांनी युक्रेनियन सायंटिफिक रीसर्च इन्स्टिट्यूट ऑफ मॅथमॅटिकल सायन्सेससारख्या अनेक संस्था निर्माण केल्या.
पुढे बेर्नस्टीन खारकॉफ मॅथेमॅटिकल इन्स्टिट्यूटचे संचालक झाले. त्यानंतर गणित आणि संख्याशास्त्राशी निगडीत अनेक संस्थांत ते विभागप्रमुख, मानद सदस्य वा अध्यापक होते. त्यांनी सुप्रसिद्ध गणिती, पफ्नुटी चेबिशेव (Pafnuty Chebyshev) यांच्या संपूर्ण कार्याचे संपादन केले. निवृत्तीपूर्वीची शेवटची दहा वर्षे बेर्नस्टीन स्तेक्लॉव (Steklov) इन्स्टिट्यूटच्या कन्स्ट्रक्टिव फंक्शन थिअरी विभागाचे प्रमुख होते.
फिशर यांच्या श्रद्धामूलक संभाव्यतेवरचा बेर्नस्टीन यांचा शोधनिबंध ‘On the Fiducial Probabilities of Fisher’, जगभरच्या संख्याशास्त्रज्ञांना आजही दखलपात्र वाटतो.
बेर्नस्टीननी स्वतःचे समग्र कार्य रशियन भाषेत संपादित करून, चार खंडांत प्रकाशित केले. बेर्नस्टीन थियरम ऑन मोनोटोन फंक्शन्स, बेर्नस्टीन प्रॉब्लेम्स इन मॅथेमॅटिकल जेनेटिक्स अशा अनेक गणिती संज्ञा बेर्नस्टीन यांच्या नांवे आहेत. झुरीचच्या इंटरनॅशनल काँग्रेसेस ऑफ मॅथेमॅटिशियन्सचे ते निमंत्रित व्याख्याते होते. तत्कालीन सरकारशी मतभेद असूनही बेर्नस्टीनना स्टेट अवार्ड : प्रथम श्रेणी आणि तीन शोधनिबंधांसाठी स्टालिन पुरस्कार मिळाले.
संदर्भ :
- Seneta E., “Sergei Natanovich Bernstein”. In Statisticians of the Centuries (Eds. C. Heyde and E. Seneta), 2001.
- http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/history/Biographies/Bernstein_Sergi.html
समीक्षक : विवेक पाटकर