क्रिस्टिअन गोल्डबाख या जर्मन गणितज्ञाला जवळपास पावणेतीनशे वर्षांपूर्वी मूळसंख्यांच्या बाबतीत आढळलेला एक नियम ‘गोल्डबाखची अटकळ‘ ह्या नावाने प्रसिद्ध आहे. गणितातील अनिर्वाहित प्रश्नांपैकी हा एक असून, तो अद्याप सिद्धही झालेला नाही किंवा खोडूनही काढला गेलेला नाही. गोल्डबाख ह्यांनी मांडलेला हा नियम फ्रेंच गणितज्ञ देकार्त ह्यांनाही माहीत होता असा दावा केला जात असल्याने सदर तर्कितास गोल्डबाख ह्यांचे नाव द्यावे की देकार्त ह्यांचे असाही प्रश्न उभा राहतो.
जर्मन गणितज्ञ ऑयलर ह्यांना दिनांक 7 जून 1742 रोजी पाठवलेल्या एका पत्रात गोल्डबाख ह्यांनी आपल्या दोन अटकळी सर्वप्रथम मांडल्या. त्यातील दुसरी अशी की, “दोनपेक्षा मोठा असलेला प्रत्येक पूर्णांक हा कोणत्या ना कोणत्यातरी तीन मूळसंख्येंच्या बेरजेइतका असतो.” त्याकाळी 
ह्या संख्येला मूळसंख्या मानले जायचे. आपली अटकळ मांडताना गोल्डबाख ह्यांनीही ही मूळसंख्याच मानलेली होती. आजच्या काळात ही मूळसंख्या मानली जात नाही, त्यामुळे ह्या अटकळीच्या रुपात बदल करणे क्रमप्राप्त ठरते. त्यानुसार, “पाचपेक्षा मोठा असलेला कोणताही पूर्णांक हा तीन मूळसंख्यांच्या बेरजेइतका असतो” असे त्या अटकळीचे आजचे स्वरूप आहे. मूळ पत्रात गोल्डबाख ह्यांनी मांडलेले दोन तर्क ऑयलर सिद्ध करू शकले नाहीत, मात्र त्यांच्या पत्राला ऑयलर ह्यांनी उत्तर दिले आणि ते वाचल्यानंतर गोल्डबाख ह्यांनी आपली तिसरी अटकळ मांडली, “दोनपेक्षा मोठा असलेला कोणताही समपूर्णांक हा दोन मूळ संख्यांच्या बेरजेइतका दाखवता येतो”. आज हेच विधान ‘गोल्डबाख-अटकळ’ ह्या नावाने प्रसिद्ध आहे. लहान संख्यांच्या बाबतीत हा तर्क प्रत्यक्ष पडताळून पाहणे सहज शक्य आहे. (उदा., 4 = 2+2, 6 = 3+3, 8 = 3+5, 10 = 3+7, 20 = 7+13, 50 = 19+31, 100 = 3+97…) अर्थात एखादी समसंख्या अनेक वेगवेगळ्या प्रकारे दोन मूळसंख्यांच्या बेरजेइतकी असल्याचे दाखवता येऊ शकते (उदा., 10 = 5+5 = 3+7, 20 = 7+13 = 3+17, 50 = 19+31 = 7+43 = 13+37…) 10,00,00,000 ही संख्या अशा तब्बल 2,19,400 वेगवेगळ्या प्रकारे लिहिता येते.
गोल्डबाख ह्यांची अटकळ अद्याप सिद्ध झालेली नाही. मात्र खूप मोठ्या संख्येपर्यंत तिचा पडताळा घेतला गेलेला आहे. निल्स पिपिंग ह्यांनी सन 1938 मध्ये 4 पासून 1,00,000 पर्यंतच्या प्रत्येक समसंख्येसाठी गोल्डबाख ह्यांची अटकळ सत्य ठरते हे प्रत्यक्ष आकडेमोड करून पाहिले होते. संगणकादी उपकरणे माणसाच्या मदतीला आल्यानंतर अधिक मोठ्या संख्यांसाठी असा पडताळा घेणे सुलभ झाले. इ. स. 2000 पर्यंत 
इतक्या मोठ्या संख्येपर्यंत तर इ. स. 2013 पर्यंत तब्बल 
इतक्या मोठ्या संख्येपर्यंत पडताळा घेतला गेला. मात्र कितीही वेळा पडताळा घेतला गेला आणि तो सत्यही ठरला तरी ह्यातून प्रस्तुत अटकळ सिद्ध होत नाही. आणि त्यामुळे आजही ती सिद्ध करण्याचे प्रयत्न चालू आहेत.
हार्डी-लिटिलवूड ह्या जोडीकडे 1922 मध्ये असे दाखवून दिले की जर रीमान-गृहीतकाचे सामान्यरूप (Generalized Riemann Hypothesis) सत्य असल्याचे मान्य केले तर प्रत्येक ‘पुरेसा मोठा’ विषम पूर्णांक हा तीन मूळ संख्येंच्या बेरजेइतका असतो. इथे ‘पुरेसा मोठा’ ह्याचा अर्थ कोणत्यातरी विशिष्ट संख्येपेक्षा मोठा पूर्णांक असा होतो. मात्र हार्डी-लिटिलवूड ह्यांना ती विशिष्ट संख्या कोणती ते बहुधा दाखवता आले नाही. 1930 मध्ये रशियन गणितज्ञ लेव श्निरलमन ह्यांनी असे दाखवून दिले की एकपेक्षा कोणताही मोठा पूर्णांक हा जास्तीतजास्त 
इतक्या मूळ संख्येंच्या बेरजेइतका असतो. इथे ची किंमत 8,00,000 पेक्षा लहान असते हेही कालांताराने श्निरलमन ह्यांनीच सिद्ध केले होते. रीमान-गृहीतकाच्या सामान्यीकरणाची सत्यता विचारात न घेताही ‘पुरेसा मोठा’ विषम पूर्णांक हा तीन मूळ संख्येंच्या बेरजेइतका असतो हे 1937मध्ये रशियन गणितज्ञ व्हिनोग्रादोव्ह ह्यांनी दाखवून दिले. मात्र, ‘पुरेसा मोठा’ म्हणजे कोणत्या विशिष्ट संख्येपेक्षा मोठा हे खुद्द व्हिनोग्रादोव्ह ह्यांना शोधून काढता आले नाही. त्यांचेच विद्यार्थी असलेल्या बोरोझ्दकिन ह्या रशियन गणितज्ञांनी ती विशिष्ट संख्या 
पेक्षा लहान असणार हे सिद्ध केले. 1989 मध्ये, त्या विशिष्ट संख्येची किंमत खाली आणण्यात गणितज्ञांना यश आले आणि ती संख्या 
पेक्षाही लहान असली पाहिजे हे सिद्ध झाले.
गोल्डबाख ह्यांची अटकळ सिद्ध करण्याचे प्रयत्न चालूच राहिले असून त्या संदर्भात अलिकडच्या काळात अनेक महत्त्वाचे शोध लागले आहेत. 1995 मध्ये ऑलिव्हियर रामारे ह्यांनी सिद्ध केले की चारपेक्षा कोणतीही मोठी समसंख्या जास्तीतजास्त सहा मूळसंख्यांच्या बेरजेइतकी असल्याचे दाखवता येते. टेरेन्स टाओ ह्यांनी 2012 मध्ये सिद्ध केलं की, 1 पेक्षा मोठी असलेली कोणतीही विषम संख्या जास्तीतजास्त पाच मूळसंख्यांच्या बेरजेइतकी असते. ‘चारपेक्षा कोणतीही मोठी समसंख्या जास्तीतजास्त चार मूळसंख्यांच्या बेरजेइतकी असते’ असे सिद्ध केल्याचा दावा हॅराल्ड हेल्फगॉट ह्यांनी 2013 च्या सुमारास केला. अद्याप त्यांच्या विधानावर (सिद्धतेवर) गणिती जगताने स्वीकृतीची मोहर उमटवली नाही म्हणून हेल्फगॉट ह्यांचे विधान सत्य की असत्य हे ठरवणे शक्य नाही. हार्डी-लिटिलवूड ह्यांनी 1922मध्ये केलेल्या संशोधनानंतर गेल्या शंभर वर्षांत प्रस्तुत अटकळ सिद्ध करण्याच्या दृष्टीने गणितज्ञांनी बरीच मोठी मजल मारली आहे.
ऍपोस्टोल डोक्झियाडिस यांची ‘अंकल पेट्रोस ऍण्ड गोल्डबाख्स कंजेक्चर’ ही कादंबरी, मायकेल रिचमंड ह्यांची ‘नो वन यू नो’ ही रहस्यमय कादंबरी, आयझॅक असिमॉव्ह ह्यांची ‘सिक्स्टी मिलियन ट्रिलियन काँबिनेशन’ ही लघुकथा तसेच ‘फर्माज् रूम’ ह्या स्पॅनिश चित्रपटाचे कथानक यांसारख्या लोकप्रिय कलाकृतींतही गोल्डबाख-अटकळीचा आधार घेतलेला होता.
संदर्भ :
- David Burton, Elementary Number Theory, McGraw Hill, New York,
आंतरजालीय संदर्भ :
- https://en.wikipedia.org/wiki/Goldbach%27s_conjecture
- https://mathworld.wolfram.com/GoldbachConjecture.html
- https://www.ams.org/journals/mcom/1993-61-204/S0025-5718-1993-1185250-6/S0025-5718-1993-1185250-6.pdf
समीक्षक : सुधीर घोरपडे