सी. आर. राव ( C. R. Rao)

राव, सी. आर. : ( १० सप्टेंबर १९२० )

सी. आर. राव यांचा जन्म कर्नाटकातील हडगळी येथे झाला. त्यांची गणितातील गती आणि रुची पाहून त्यांच्या वडलांनी त्यांना गणितात उच्च पदवीसाठी संशोधन करावे म्हणून प्रोत्साहन दिले. गणितातील पहिली एम.ए. पदवी राव यांनी आंध्र विद्यापीठातून तर भारतीय सांख्यिकी संस्थेत (आय.एस.आय.), कोलकाता येथे नोकरी करत असताना दुसरी एम.ए. पदवी कोलकाता विद्यापीठातून मिळवली.

कोलकात्यातील अँग्लो-इंडियनांच्या मानववंशशास्त्रीय अभ्यासासाठी सांख्यिकी पद्धत विकसित करण्यात रावांचा सहभाग होता. त्या कामामुळे महालनोबीसांचे D2 अंतर वापरून आफ्रिकेच्या सुदानमधील, जेबेल मोया प्रदेशांतील लोकांचे मूळ स्थान शोधून काढण्याचे काम करण्यासाठी, राव यांना केंब्रिजमधील पुरातत्वशास्त्र आणि मानववंशशास्त्र संग्रहालयने निमंत्रित केले. तरी त्या २,७९१ थडग्यांत दफन केलेले ३,१३५ मानवी सांगाडे व प्राणी यांच्या शरीरांच्या विविध भागांच्या मानांची (measures) आधारसामग्री अभ्यासण्यासाठी रावांनी बहुविध मानांच्या विश्लेषणाच्या नव्या पद्धती निर्माण केल्या. त्याचसोबत त्यांनी ‘Statistical Problems of Biological Classifications’ या शीर्षकाचा प्रबंध सादर करून केंब्रिज विद्यापीठाची पीएच्. डी. पदवी मिळवली. त्यांचे मार्गदर्शक होते प्रसिद्ध संख्याशास्त्रज्ञ आर. ए. फिशर (R. A. Fisher).

प्रचरण विश्लेषणाचे (Analysis of Variance, ANOVA) सामान्यीकरण केलेले बहुचल प्रचरण विश्लेषण (Multivariate Analysis of Variance, MANOVA) आणि इतर बहुचल कसोट्या रावांनी त्या सांगाड्यांवर काम करताना विकसित करून प्रकाशित केल्या. यथावकाश त्यांच्या प्रकाशनांवर समशील-समीक्षणे मागवून केंब्रिज विद्यापीठाने त्यांना डी.एससी. पदवी आणि ऑनररी लाईफ फेलो ऑफ किंग्ज कॉलेज, केंब्रिज हा दुर्मिळ सन्मान दिला.

रावांची जगप्रसिद्ध असमानता (Rao Inequality) विकसित होण्यास कारण ठरला त्यांच्या एका विद्यार्थ्याचा प्रश्न: पूर्वग्रहमुक्त आकलक वापरून शक्य असलेल्या न्यूनतम प्रचरणासाठी (variance) काटेकोर असमानता अस्तित्त्वात असेल का ? त्याच्या सिद्धतेसाठी त्यांनी दोषाचे (error) अचूक प्रगणन केले.

ते १९४८ मध्ये भारतात परतून कोलकात्याच्या आय.एस.आय.मध्ये प्राध्यापक झाले आणि शेवटी तेथून संचालक म्हणून एकूण ४० वर्षे सेवा करून निवृत्त झाले. त्या काळात त्यांनी सांख्यिकीचे विविध अभ्यासक्रम राबवविले आणि अर्थशास्त्र, समाजशास्त्र, मानसशास्त्र, जनुकशास्त्र, मानववंशशास्त्र, भूगर्भशास्त्र आणि इतर क्षेत्रांतील खास प्रकल्पांसाठी विषयवार विभाग निर्माण केले. आंतरशाखीय संशोधनातील सहकार्य वाढविण्यासाठी जगभरातील अनेक नामवंत संख्याशास्त्रज्ञांना आय.एस.आय.मध्ये रावांनी निमंत्रित केले. त्यांनी ५० विद्यार्थ्यांना पीएच्.डी.साठी मार्गदर्शन केले.

भारतीय सांख्यिकी प्रणाली, तसेच स्टेट स्टॅटिस्टिकल ब्युरोज, १९४९ पासून पंतप्रधानांसाठी सांख्यिकी सल्लागाराची नेमणूक, सांख्यिकी शिक्षण आणि संशोधन, इंडियन इकनॉमेट्रीक सोसायटी, इत्यादी संस्था विकसित आणि कार्यान्वित करण्यात रावांची भूमिका कायमच महत्त्वाची होती.

राव यांच्या कार्यामुळे संशोधनाची अनेक नवीन क्षेत्रे खुली झाली. त्यांच्या क्रेमर-राव असमानता राव-ब्लॅकवेलीझेशन (Cramer-Rao inequality, Rao-Blackwellization) सारख्या त्यांचे नाव असलेल्या अनेक नव्या तांत्रिक संज्ञा उदयास आल्या. त्यातील क्रेमर-राव परिबद्ध (Cramér–Rao bound) हेझेनबर्गच्या अनिश्चिततेच्या तत्त्वाचे अधिक सुस्पष्ट स्वरूप आहे. त्याशिवाय Global (Bayesian) Cramer–Rao Bound, Complexified and Intrinsic Cramer–Rao Bound; Stereological Rao–Blackwell Theorem; Rao–Blackwell versions of cross validation and nonparametric bootstrap अशा कित्येक संकल्पना त्यांच्या नावावर आहेत.

फिशर-राव रिमानियन दूरिक (Fisher-Rao Riemannian metric) ही अनेक विज्ञान शाखांना मिळालेली महत्त्वाची देणगी आहे. यामुळे फिशर-राव रिमानियन भूगणितीय आकाराच्या प्रगणनासाठी एक किफायतशीर साधन शास्त्रज्ञांना मिळाले. रावांची आणखी एक उपलब्धी म्हणजे अनंतवर्ती प्राप्तांक कसोटी (asymptotic score test) विकसित करणे ही होय. ही कसोटी संभव कसोटी (likelihood test) आणि वाल्ड कसोटी (Wald test) यांना उत्तम पर्याय ठरली. या तीनही कसोट्या अलौकिक त्रयी मानल्या जातात.

काही शोधनिबंधांच्या मालिकेतून राव यांनी चयनीकृत मांडण्या (combinatorial arrangements) म्हणजेच लंब रचना (orthogonal arrays) विकसित केल्या. त्यांचा वापर रावांनी प्रायोगिक अभिकल्पांत (Design of Experiments) करून दाखविला. कमी संख्येतील घटकांच्या चयनांद्वारे इष्टतम घटकांचा मिश्र शोधण्याचे काम लंब रचनेच्या सहाय्याने करता येते. त्यामुळे औद्योगिक प्रणालींत याचा वापर खूप प्रभावशाली ठरतो. याचा विशेष अभ्यास करण्यासाठी जपानी अभियंता आणि संख्याशास्त्रज्ञ, तगुची (Taguchi), आय.एस.आय.मध्ये आले होते. त्यांनी त्यावरून सध्याच्या उद्योग-व्यवसायात प्रसिद्ध असलेल्या तगुची-पद्धती तयार केल्या, ज्या विविध परिस्थितीत सर्वोच्च उत्पादन देण्यास मदत करतात.

बहुचल विश्लेषणाशी संबंधित प्रकाशित झालेल्या तीन महत्त्वाच्या शोधनिबंधांतून रावांनी बहुचल पद्धतीशास्त्राच्या उपपत्तीला भक्कम पाया दिला. एखाद्या आकलकाचे प्रचरण जर क्रेमर-राव अवबंधाइतके (lower bound) असेल तर तो आकलक कार्यक्षमतेच्या संदर्भात प्रथम-कोटिकेचा मानला जातो. काही शर्तींखाली प्रथम-कोटिकेची कार्यक्षमता बहुसंख्य आकलकांच्या बाबतीत वैध ठरते. अशा प्रथम-कोटिकेच्या कार्यक्षमतेच्या आकलकांतून अधिक उत्तम कार्यक्षमतेच्या आकलकांचा उपसंच निवडता यावा, यासाठी रावांनी एक निकष ठरवला, त्यालाच  द्वितीय-कोटिकेची कार्यक्षमता म्हणतात. रावांच्या या शोधामुळे अनंतवर्ती (asymptotic) उच्च कोटिकेच्या संशोधनाला सुरुवात झाली.

एखाद्या चलावरील प्रभाव टाकणाऱ्या घटकांचे आकलन करण्यासाठी, रावांनी प्रमाणभूत सहसंबंधाची (canonical correlation) कल्पना वापरली. असे केल्याने भिन्न मानांतील सहसंबंधांचे स्पष्टीकरणही मिळते. ही कल्पना राव प्रमाणभूत घटक विश्लेषण म्हणून ओळखली जाते.

संभाव्यता वितरणांचे लक्षणचित्रण सुनिश्चित करण्यातील रावांचे मोठे योगदान त्यांच्या Characterization Problems in Mathematical Statistics या सहलेखित पुस्तकातून पुढे आले. त्यातून रावांचे डॅमेज मॉडेल (Rao’s Damage Model), राव-रुबिन प्रमेय (Rao–Rubin Theorem), कॅगन, लिन्निक आणि राव प्रमेये (Kagan, Linnik and RaoTheorems) या गोष्टीही सांख्यिकीला मिळाल्या.

निवृत्तीनंतर १९८० मध्ये अमेरिकेत गेल्यावर राव यांनी तेथील विविध विद्यापीठांत अध्यापन आणि संशोधन केले. जेकब बर्बिया (Jacob Burbea) यांच्या सहकार्याने राव यांनी माहितीची आणि विविधतेची माने (measures) यांची मालिका निर्मिली आणि त्या मानांच्या गुणवैशिष्ट्यांचा अभ्यास केला. ANOVA चे सामान्यीकरण असलेली ॲनालिसिस ऑफ डायव्हर्सिटी (ANODIV) ही नवी कसोटी त्यांनी विकसित केली. प्रचरणाचे सर्वसामान्य मान म्हणून त्यांनी द्विघाती एन्ट्रॉपी (quadratic entropy – QE) शोधली. यात प्रजातीची समृद्धता (abundance) आणि एकाहून अधिक गुणविशेष (traits) वापरले जातात. एखाद्या भूभागातील कार्यात्मक विविधता (functional diversity) तसेच लोकसंख्येत असणारी विविधता किंवा असमानता मोजण्यासाठी ही कसोटी पर्यावरणशास्त्रज्ञ वापरतात.

पुढे दोन वितरणांतील फरकांचे विश्लेषण आणि मोजमाप करणे, तसेच त्या वितरणांचे महत्त्वाचे गुणधर्म निश्चित करणे यासाठी राव यांनी QE आधारित क्रॅास एन्ट्रॉपी विकसित केली. राव यांचे हे कार्य जीवशास्त्र, पर्यावरणशास्त्र, अर्थशास्त्र, समाजशास्त्र, जैव माहिती तंत्रज्ञान (बायोइन्फर्मेटिक्स), भाषाशास्त्र आणि अनेक शास्त्रांत विविधतेचे विश्लेषण आणि मापन करण्यासाठी कळीचे ठरले आहे. तसेच माहिती उपपत्ती, विभेदक भूमिती, अनंतवर्ती अनुमान (asymptotic inference), क्वांटम रसायनशास्त्र, अर्थमितिशास्त्र, प्रतिमा संस्करण (image processing) आणि इतर क्षेत्रांतील संशोधनाला त्यामुळे लक्षणीय गती मिळाली.

गणितांतील फलीय समीकरणाच्या (functional equation) क्षेत्रांत रावांनी संकलित कोशी (integrated Cauchy) फलीय समीकरण शोधले. संभाव्यतेच्या मानांची गुणवैशिष्ट्ये निश्चित करण्यासाठी तसेच सांख्यिकी विश्लेषणातील आधारसामग्रीच्या प्रसंभाव्य प्रतिमानिकरणाच्या (stochastic modelling) समस्या सोडविण्यात याची मदत होते. रेषीय प्रतिमानासाठी त्यांनी लघुतम वर्गाची एकत्रिकृत (unified) उपपत्ती शोधली. संविशेष असताना किंवा नसतानाही (singular or not) सामान्यीकृत व्यस्त सारणी (generalized inverse of matrix) तयार करणे, ही रावांची गणितातील आणखी एक भरीव कामगिरी होय.

संख्याशास्त्र, गणित आणि अर्थमितिशास्त्रावरील तीस पुस्तकांचे ते लेखक किंवा सहलेखक आहेत. त्यांचे ४७५ शोधनिबंध, जागतिक कीर्तीच्या नियतकालिकांतून प्रकाशित झाले आहेत. त्यांना जगभरातील विविध देशांतील शैक्षणिक संस्थांकडून ३८ मानद डॉक्टरेट प्रदान केलेल्या आहेत. २००० मध्ये अमेरिकेतील केंटच्या महापौरांनी १३ मे हा सी. आर. राव दिवस म्हणून घोषित केला. संख्याशास्त्रात अद्वितीय भर घालण्याबद्दल राव यांना सॅम्युअल एस. विल्कस पदक, अमेरिकन स्टॅटिस्टिकल ॲसोसिएशनचे डिस्टिंग्विश्ड अचिव्हमेंट पदक, भारत सरकारचे पद्मभूषण आणि पद्मविभूषण, अमेरिकेच्या राष्ट्राध्यक्षांच्या हस्ते नॅशनल मेडल ऑफ सायन्स पुरस्कार, भारतातील विज्ञानाकरिता इंडिया सायन्स ॲवॉर्ड हा सर्वोच्च पुरस्कार आणि रॉयल सोसायटीचे गाय पदक देण्यात आले. भारत सरकारने त्यांच्या गौरवार्थ राव पुरस्कार प्रस्थापित केला आहे.

गणित, संख्याशास्त्र, आणि संगणकशास्त्रातील संशोधनाला प्रोत्साहन मिळावे यासाठी त्यांनी हैदराबाद विद्यापीठाच्या प्रांगणात सी. आर. राव ॲडव्हान्स्ड इन्स्टिट्यूट ऑफ मॅथेमॅटिक्स, स्टॅटिस्टिक्स, कम्प्युटर सायन्स (CRRAO AIMSCS) ही संस्था साकारली. हैदराबाद विद्यापीठामध्ये संख्या: सांख्यिकीचे राष्ट्रीय संग्रहालय या नावाने, जगातील पहिलेच सांख्यिकी-संग्रहालय उभारण्यामागे राव यांचे नियोजन होते.

संदर्भ :

 समीक्षक : विवेक पाटकर

Tags: , , , , , ,