एकोणिसाव्या शतकानंतर विकसित झालेले तर्कशास्त्र हे १९ व्या शतकाच्या अगोदर गोटलोप फ्रेग, जूझेप्पे पेआनो व गेऑर्ग कॉन्टोर यांचे महत्त्वाचे कार्य आहे. लूटव्हिख व्हिट्गेन्श्टाइन याने सामान्यपणे सत्यता कोष्टक पद्धती विकसित केली आणि ती लोकप्रिय केली, असे म्हटले जाते. ही मांडणी त्याने त्याच्या १९२१ मध्ये प्रकाशित झालेल्या ट्रॅक्टेटस लॉजिको-फिलॉसॉफिकस या ग्रंथामध्ये केली आहे. दिलेली विधाने किंवा विधानाकार सत्यासत्य आहेत का ? तसेच युक्तिवादाकार तार्किकदृष्ट्या योग्य आहेत का ? हे पाहण्यासाठी ‘सत्यता कोष्टक पद्धती’ उपयुक्त ठरते.
विधानीय तर्कशास्त्रामध्ये विविध निर्णयपद्धतींचा अवलंब केला जातो. “ज्या तंत्राचा किंवा पद्धतीचा वापर करून कोणत्याही विधानाकाराचे सत्यतामूल्य ठरविले जाते त्याचप्रमाणे युक्तिवादांची युक्तायुक्तता या विषयीचा निर्णय केला जातो, त्या तंत्राला किंवा पद्धतीला निर्णयपद्धती असे म्हणतात”. विविध निर्णय पद्धतींपैकी ‘सत्यता कोष्टक पद्धती’ ही सुद्धा एक महत्त्वपूर्ण आणि मोठ्या प्रमाणात वापरली जाणारी निर्णय पद्धती आहे.
विधानीय तर्कशास्त्र हे द्विमूल्यात्मक तर्कशास्त्र असल्याने विधानांची सत्य आणि असत्य अशी दोन सत्यातामूल्ये स्वीकारलेली आहेत. कोणतेही विधान एकतर सत्य (True) असते किंवा असत्य (False) असते. जेव्हा आपण सत्यतामूल्यांच्या सर्व संभाव्यशक्यता विचारात घेऊन त्या एका कोष्टक/सारणीमध्ये (table) व्यक्त करतो, तेव्हा आपणास सत्यता कोष्टक प्राप्त होते. विधानांची सत्यतामूल्ये दर्शविण्याचा सत्यता कोष्टक हा एक मार्ग आहे.
सत्यता कोष्टकाचे स्वरूप : सत्यता कोष्टक हे उभ्या व आडव्या रेघांनी बनविलेले कोष्टक/सारणी असते. त्यातील उभ्या रेघांना स्तंभ (columns) असे म्हणतात; तर आडव्या रेघांना ओळी (rows) असे म्हणतात. सत्यता कोष्टकाचे दोन मुख्य भाग असतात. सत्यता कोष्टकाच्या डाव्या बाजूस मार्गदर्शक स्तंभ (guiding columns) असतात; तर उजव्या बाजूच्या स्तंभांमध्ये ज्याच्याविषयी निर्णय घ्यावयचा तो विधानाकार किंवा युक्तिवादाकार असतो. या स्तंभामध्ये विधानाकार लिहिताना सरल विधाने ते क्रमशः मिश्र होत जाणारे विधान-घटक वा विधानीय चरे असतात. उदा., p, q, r, ~p, ~q, (p V q) इत्यादी.
सत्यता कोष्टक बनविण्याची पद्धत : सत्यता कोष्टक तयार करीत असताना सर्वप्रथम दिलेल्या विधान/विधानाकारामध्ये किती घटक-विधाने आहेत, ते पाहावे. त्यावरून पुढे दिलेल्या सूत्रानुसार त्या विधानाकाराचे सत्यता कोष्टक तयार करण्यासाठी सत्यतामूल्यांच्या किती संभाव्यशक्यता निर्माण होऊ शकतात ते निर्धारित करून त्यानुसार किती स्तंभ व ओळी कराव्या लागतील ते ठरवावे.
सत्यता कोष्टकातील सत्यतामूल्यांच्या सर्व संभाव्यशक्यतांनुसार स्तंभ व ओळी निर्धारित करण्याचे सूत्र : 2n
वरील सूत्रामध्ये 2 याचा अर्थ सत्य व असत्य अशी दोन सत्यतामूल्ये होत. आणि n म्हणजे घटक-विधानांच्या संख्येनुसार ठरविलेली विधानीय चरांची (variables) संख्या होय. उदा., एकच घटक-विधान/विधानीय चर असेल, तर 2n = 21 असा अर्थ होईल. 21 म्हणजे 2 x 1 = 2 अर्थात, एकच विधानीय चर असेल, तर सत्यतामूल्यांच्या सर्व संभाव्यशक्यता दोन होतील−सत्य आणि असत्य. हे पुढील कोष्टकावरून स्पष्ट होते.
| p |
| T |
| F |
जर दोन घटक-विधाने/विधानीय-चरे असतील, तर 2n = 22 म्हणजे 2 x 2 = 4 अर्थात, सत्यतामूल्यांच्या सर्व संभाव्यशक्यता एकूण चार होतील. (१) एकतर दोन्ही विधाने किंवा p आणि q ही विधानीय चरे सत्य असतील, (२) पहिले विधान सत्य व दुसरे असत्य असेल, (३) पहिले विधान असत्य व दुसरे सत्य असेल, (४) दोन्ही विधाने किंवा p आणि q ही विधानीय चरे असत्य असतील. यासाठी पुढील कोष्टक पाहावे.
| p | q |
| T | T |
| T | F |
| F | T |
| F | F |
तीन विधाने/विधानीय चरे असतील, तर 2n = 23 म्हणजे 2 x 2 x 2 = 8 अर्थात, सत्यतामूल्यांच्या सर्व संभाव्य शक्यता एकूण आठ होतील. त्या कोष्टकामध्ये पुढीलप्रमाणे दर्शवितात येईल :
| p | q | r |
| T | T | T |
| T | T | F |
| T | F | T |
| T | F | F |
| F | T | T |
| F | T | F |
| F | F | T |
| F | F | F |
चार विधाने असतील, तर 2n = 24 अर्थात 2 x 2 x 2 x 2 = 16 म्हणजे सत्यतामूल्यांच्या सर्व संभाव्य शक्यता एकूण सोळा होतील. त्या सारणीमध्ये पुढीलप्रमाणे दर्शवितात.
| p | q | r | s |
| T | T | T | T |
| T | T | T | F |
| T | T | F | T |
| T | T | F | F |
| T | F | T | T |
| T | F | T | F |
| T | F | F | T |
| T | F | F | F |
| F | T | T | T |
| F | T | T | F |
| F | T | F | T |
| F | T | F | F |
| F | F | T | T |
| F | F | T | F |
| F | F | F | T |
| F | F | F | F |
विधानीय तर्कशास्त्रात निषेध, संधी, विकल्प, व्यंजन आणि सममूल्य अशा पाच प्रकारच्या सत्यता फलनात्मक मिश्र विधानांच्या तार्किक रचनेचा अभ्यास केला जातो. त्यांचे मूलभूत सत्यता कोष्टक पुढीलप्रमाणे तयार करता येते.
- निषेध विधानाचे मूलभूत सत्यता कोष्टक : निषेध विधानाची मूल्ये ही मूळ विधानाच्या सत्यतामूल्याच्या विरुद्ध असतात. अर्थात, मूळ विधान सत्य असेल, तर त्याचे निषेध विधान असत्य असेल आणि मूळ विधान असत्य असेल, तर त्याचे निषेध विधान सत्य असेल. निषेध विधाने नाही, असे नाही, हे असत्य आहे की, हे सत्य नाही की, नसते, नसतो, नसतात या निषेधात्मक शब्दांनी व्यक्त होतात. उदा., वाघ शाकाहारी नाही. चिन्हांकण : ~p
| p | ~p |
| T | F |
| F | T |
- व्यंजन विधानाचे मूलभूत सत्यता कोष्टक : व्यंजन-विधानामध्ये दोन घटक विधाने ‘जर–तर’ या अव्ययाने जोडलेली असतात. उदा., जर अभ्यास केला तर पास होईल. चिन्हांकण : p ⊃ q
| p | q | p ⊃ q |
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | T |
| F | F | T |
नियम : १. व्यंजन विधानातील पहिले घटक-विधान (पूर्वांग) सत्य व दुसरे घटक-विधान (उत्तरांग) सत्य असेल, तर व्यंजन विधान सत्य असते. २. व्यंजन विधानातील पहिले घटक-विधान (पूर्वांग) सत्य व दुसरे घटक-विधान असत्य (उत्तरांग) असेल, तर व्यंजन विधान असत्य असते. ३. व्यंजन-विधानातील पहिले घटक-विधान (पूर्वांग) असत्य व दुसरे घटक-विधान (उत्तरांग) सत्य असेल, तर व्यंजन विधान सत्य असते. ४. व्यंजन विधानातील दोन्ही घटक विधाने (पूर्वांग) व (उत्तरांग) असत्य असतील, तरीदेखील व्यंजन-विधान सत्य असते.
थोडक्यात, व्यंजन विधानातील पहिले घटक-विधान (पूर्वांग) सत्य व दुसरे घटक-विधान (उत्तरांग) असत्य असते, तेव्हाच व्यंजन विधान असत्य असते इतर तीनही शक्यतांमध्ये मात्र ते सत्यच असते.
- वैकल्पिक विधानाचे मूलभूत सत्यता कोष्टक : वैकल्पिक विधानामध्ये दोन घटक विधाने ‘किंवा’, ‘अथवा’ व ‘वा’ या शब्दांनी जोडलेली असतात. उदा., मी चहा किंवा कॉफी घेइन. चिन्हांकण : p V q
| p | q | p v q |
| T | T | T |
| T | F | T |
| F | T | T |
| F | F | T |
नियम : १. वैकल्पिक विधानाचे पहिले घटक-विधान सत्य व दुसरे घटक-विधान सत्य असते, तेव्हा वैकल्पिक विधान सत्य असते. २. वैकल्पिक विधानाचे पहिले घटक-विधान सत्य व दुसरे घटक-विधान असत्य असते, तेव्हा वैकल्पिक विधान सत्य असते. ३. वैकल्पिक विधानाचे पहिले घटक-विधान असत्य व दुसरे घटक-विधान सत्य असते, तेव्हादेखील वैकल्पिक विधान सत्य असते. ४. वैकल्पिक विधानाची दोन्ही घटक-विधाने असत्य असतात तेव्हाच वैकल्पिक विधान असत्य असते.
थोडक्यात, वैकल्पिक विधानातील दोन्ही विकल्प-घटक असत्य असतील, तेव्हाच वैकल्पिक विधान असत्य असते असते, मात्र इतर तीन शक्यतांमध्ये ते सत्य असते.
- संधी विधानाचे मूलभूत सत्यता कोष्टक : संधी विधानामध्ये दोन घटक-विधाने ‘आणि’, ‘व’, ‘पण’, ‘परंतु’ या शब्दांनी जोडलेली असतात. उदा., तो प्रामाणिक आणि अभ्यासू आहे. चिन्हांकण : p ● q
| p | q | p ● q |
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | F |
| F | F | F |
नियम : १. संधी विधानातील पहिले घटक-विधान सत्य व दुसरे घटक-विधान सत्य असते, तेव्हा संधी विधान सत्य असते. २. संधी विधानातील पहिले घटक-विधान सत्य व दुसरे घटक-विधान असत्य असते, तेव्हा संधी-विधान असत्य असते. ३. संधी विधानातील पहिले घटक-विधान असत्य व दुसरे घटक-विधान सत्य असते, तेव्हा संधी विधान असत्य असते. ४. संधी विधानाची दोन्ही घटक-विधाने असत्य असतात, तेव्हा संधी विधान असत्य असते.
थोडक्यात संधी विधानातील दोन्ही संधी-घटक सत्य असतील, तेव्हाच संधी विधान सत्य असते. इतर तीन शक्यतांमध्ये मात्र ते असत्यच असते.
- सममूल्य विधानाचे मूलभूत सत्यता कोष्टक : सममूल्य विधानामध्ये दोन घटक-विधाने ‘जर…तर आणि तरच’ या अव्ययांनी जोडलेली असतात. उदा., जर कष्ट केले तर आणि तरच यश मिळेल. चिन्हांकण : p ≡ q
| p | q | p ≡ q |
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | F |
| F | F | T |
नियम : १. सममूल्य विधानाचे पहिले घटक-विधान सत्य व दुसरे घटक-विधान सत्य असेल, तर सममूल्य विधान सत्य असते. २. सममूल्य विधानाचे पहिले घटक-विधान सत्य व दुसरे घटक-विधान असत्य असते, तेव्हा सममूल्य विधान असत्य असते. ३. सममूल्य विधानाचे पहिले घटक-विधान असत्य व दुसरे घटक-विधान सत्य असते, तेव्हा सममूल्य विधान असत्य असते. ४. सममूल्य विधानाची दोन्ही घटक-विधाने असत्य असतील, तरीदेखील सममूल्य विधान सत्य असते.
थोडक्यात, सममूल्य विधानातील दोन्ही सममूल्य घटकांची सत्यतामूल्ये जेव्हा समान असतात म्हणजेच दोन्ही घटक-विधाने एकतर सत्य असतील किंवा दोन्ही घटक-विधाने असत्य असतील, तेव्हा सममूल्य विधान सत्य असते. इतर दोन शक्यतांमध्ये मात्र ते असत्य असते.
अशाप्रकारे मूलभूत सत्यता कोष्टकाच्या साहाय्याने कोणत्याही विधानाचे/विधानाकाराचे सत्यता कोष्टक तयार केल्यानंतर तो विधानाकार सर्वतः सत्य, सर्वतः असत्य वा नैमित्तिकतया सत्यासत्य आहे, हे ठरविणे सहज शक्य होते. त्याचप्रमाणे युक्तिवादाकाराच्या युक्तायुक्ततेचाही निर्णय घेणे शक्य होते.
- सर्वतः सत्य विधान/विधानाकार (Tautology) : व्याख्या : “जो विधानाकार सत्यतामूल्यांच्या सर्व संभाव्यशक्यतांमध्ये सत्यच असतो, तो सर्वतः सत्य विधानाकार होय”. या विधानाकारामध्ये शेवटच्या स्तंभातील सर्व सत्यतामूल्ये सत्य म्हणजेच T (True) असतात. चिन्हांकण : (p ⊃ q) v p
| p | q | p ⊃ q | (p ⊃ q) v p |
| T | T | T | T |
| T | F | F | T |
| F | T | T | T |
| F | F | T | T |
सत्यतामूल्यांच्या सर्व संभाव्यशक्यतांमध्ये दिलेला विधानाकार सत्य आहे. म्हणून हा विधानाकार सर्वतः सत्य आहे.
- सर्वतः असत्य विधानाकार (Contradiction) : व्याख्या : “जो विधानाकार सत्यतामूल्यांच्या सर्व संभाव्यशक्यतांमध्ये असत्य असतो, त्या विधानाकाराला सर्वतः असत्य विधानाकार असे म्हणतात”. या विधानाकारातील शेवटच्या स्तंभातील सर्व सत्यतामूल्ये असत्य म्हणजेच F (False) असतात. चिन्हांकण : (p ⊃ q) ≡ (p ● ~q)
| p | q | ~q | p ⊃ q | (p ● ~q) | (p ⊃ q) ≡ (p ● ~q) |
| T | T | F | T | F | F |
| T | F | T | F | T | F |
| F | T | F | T | F | F |
| F | F | T | T | F | F |
सत्यतामूल्यांच्या सर्व संभाव्यशक्यतांमध्ये दिलेला विधानाकार असत्य आहे म्हणून हा विधानाकार सर्वतः असत्य आहे.
- नैमित्तिकतया सत्यासत्य विधानाकार (Contingent Statement Form) : व्याख्या : “जो विधानाकार सत्यतामूल्यांच्या सर्व संभाव्यशक्यतांमध्ये कधी सत्य तर कधी असत्य असतो, त्या विधानाकाराला नैमित्तिकतया सत्यासत्य विधानाकार म्हणतात”. या विधानाकारातील शेवटच्या स्तंभातील काही सत्यतामूल्ये सत्य म्हणजेच T, तर काही सत्यतामूल्ये असत्य म्हणजेच F असतात. चिन्हांकण : (p ⊃ q) ≡ p
| p | q | p ⊃ q | (p ⊃ q) ≡ p |
| T | T | T | T |
| T | F | F | F |
| F | T | T | F |
| F | F | T | F |
दिलेला विधानाकार सत्त्यतामूल्यांच्या सर्व संभाव्यशक्यतांमध्ये कधी सत्य, तर कधी असत्य असल्याने नैमित्तिकतया सत्यासत्य आहे.
आक्षेप : सत्यता कोष्टक पद्धती ही एक परिणामकारक आणि विश्वासार्ह अशी निर्णयपद्धती असली, तरी जेव्हा विधानीय चरांची संख्या वाढते, तेव्हा ती दीर्घसूत्री, वेळखाऊ आणि अव्यवहार्य होते. ही मर्यादा विचारात घेऊनच तर्कशास्त्रज्ञांनी लघू सत्यता कोष्टक पद्धती (Shorter Truth Table) विकसित केली. अभिजात तर्कशास्त्रातील सत्य आणि असत्य या दोन मूल्यांशिवाय आणखी काही सत्यतामूल्ये असू शकतात का ? फझी तर्कशास्त्र या दोन टोकांमध्ये म्हणजेच या दोन सत्य व असत्य मूल्यांशिवायदेखील आणखी काही सत्यतेच्या शक्यता असतात हे सांगते.
एखाद्या गोष्टीच्या शक्याशक्यता काय असू शकतात हे पुढीलप्रमाणे फझी तर्कशास्त्रात सांगितल्या आहेत.
उदा., मी प्रामाणिक आहे.
- निश्चित हो
- जास्तीत जास्त हो
- सांगता येत नाही
- शक्यतो नाही
- निश्चित नाही
फझी तर्कशास्त्र विविध शक्यतांच्या पातळ्यांवर काम करते; तर सत्यता कोष्टक पद्धतीसारख्या निर्णयपद्धती या केवळ द्विमूल्यात्मक तर्कशास्त्राच्या चौकटीतच प्रभावीपणे कार्य करतात.
https://www.youtube.com/watch?v=XTHxUFSwKoM&feature=youtu.be
संदर्भ :
- Basantani, K. T. Elements Of Formal Logic, Mumbai, 1995.
- Basantani, K. T. Second Course In Logic, Mumbai, 2003.
- Copy, I. M. Symbolic Logic, New York, 1973.
- Wittgenstein, Ludwig, Tractatus logico-Philosophicus, New York, 1922.
- कवी, माधवी, तत्त्वज्ञान प्रदीप, लातूर, २००४.
- जोशी, बी. आर.; कुलकर्णी, एस. व्ही.; मठवाले, इ. आर. तर्कविद्या १, परभणी, २००२.
- देशपांडे, दि. य. सांकेतिक तर्कशास्त्र, नागपूर, १९७६.
- बारलिंगे, सुरेंद्र; मराठे, मो. प्र. तर्करेखा, भाग १, पुणे, १९७२.
- वाडेकर, दे. द. संपा. मराठी तत्त्वज्ञान महाकोश, खंड ३, पुणे, १९७४.
- http://www.cwladis.com/math100/Lecture3Logic.htm
- https://youtu.be/iaAKuya5sic
- https://youtu.be/W4hcIZXy4eM
- https://youtu.be/EWaVs23gBIw
- https://youtu.be/zLKZM98PA3M
- https://youtu.be/Xg5GHvK-eus
- https://youtu.be/jLqo2zOA_Vk
समीक्षक : ममता उपगडे
