शुल्बसूत्रांतील गणित

शिक्षा, कल्प, व्याकरण, निरुक्त, छंद, ज्योतिष या सहा वेदांगांपैकी कल्प या वेदांगाचा श्रौतसूत्र हा एक विभाग आहे. वैदिक संहितांमध्ये व ब्राह्मणग्रंथांमध्ये सांगितलेल्या यज्ञविधींचे विवरण ह्या विभागात सूत्रमय भाषेत येते. यजुर्वेदान्तर्गत श्रौतसूत्रांमध्ये एक भाग शुल्बसूत्रे असा आढळतो. आतापर्यंत आठ शुल्बसूत्रे उपलब्ध झाली असली तरी त्यांपैकी बौधायन, मानव, आपस्तंब आणि कात्यायन ही चार शुल्बसूत्रे गणिती ज्ञानाच्या संदर्भात विशेष महत्त्वाची आहेत. यांचा निश्चित काळ माहीत नसला तरी तो अंदाजे इ.स.पू. 800 ते 200 असा मानला जातो.

शुल्व/शुल्ब किंवा रज्जु म्हणजे दोरी. दोरीच्या साहाय्याने यज्ञवेदी, अग्निचिती, मंडप इत्यादींची आखणी करण्याची सूत्रे म्हणजे शुल्बसूत्रे. वैदिक काळात मापनाचे, आखणीचे साधन दोरी हे होते. म्हणून ह्या गणिताला रज्जुगणित असेही म्हटले जात असे.

यज्ञचितींच्या रचना कशा कराव्यात याबद्दल तपशीलवार माहिती देणे हा शुल्बसूत्रांचा मूळ हेतू होता. त्यामुळे शुल्बसूत्रांची भूमिती मुख्यत्वेकरून रचनात्मक आहे. शुल्बसूत्रांमध्ये विविध परिमाणे, वेदीरचनेसाठी आवश्यक असे गणिताचे प्रमुख नियम यांचा समावेश आहे. हे गणिती ज्ञान पूर्वपश्चिम सममिती अक्ष निश्चित करणे, विशिष्ट आकृतीच्या यज्ञचितींची मांडणी करणे, आकृतीचे क्षेत्रफळ वाढवणे, योग्य आकाराच्या विटा बनवणे इत्यादी अनुषंगाने आलेले आहे.

शुल्बसूत्रातील गणिताचे वर्गीकरण तीन विभागांत करता येते. १. स्पष्टपणे सांगितलेले भौमितिक सिद्धान्त, २. भौमितिक रचना, ३. विविध रचनांमध्ये अनुस्यूत असलेले पण स्पष्टपणे न सांगितलेले गणिती गुणधर्म.

स्पष्टपणे नमूद केलेल्या महत्त्वाच्या भौमितिक सिद्धान्तांमध्ये काटकोन त्रिकोणाचा पायथागोरसच्या नावाने प्रसिद्ध असलेला गुणधर्म वरील चारही शुल्बसूत्रांत समाविष्ट आहे. आयताच्या बाजूंवरील चौरसांच्या क्षेत्रफळांची बेरीज त्याच्या अक्ष्णयावरील म्हणजे कर्णावरील चौरसाच्या क्षेत्रफळाइतकी असते अशा शब्दांत हा गुणधर्म दिलेला आहे. ह्या गुणधर्माला अनुसरून येणारी बाजूंच्या लांबींची काही त्रिकूटेही बौधायन शुल्बसूत्रात दिली आहेत : 3,4,5; 5,12,13; 8,15,17; 7,24,25; 12,35,37; 15,36,39. शुल्बसूत्रांतील भूमितीचे हे लक्षणीय वैशिष्ट्य म्हणता येईल की पायथागोरसच्या प्रमेयाचा व्यत्यास वापरून अशा मापांनी दिलेली काटकोन त्रिकोणाची रचना. ह्या घटनेला ऐतिहासिक महत्त्व आहे. वरील पूर्णांकी बाजूंच्या त्रिकोणांव्यतिरिक्त 1, 1, \sqrt{2} अशा बाजूंचा काटकोन त्रिकोण रचता येतो हे पण लक्षात घेतलेले दिसते.

वेदींमध्ये समक्षेत्र रचनांना महत्त्व होते. विविध भौमितिक रचनांमध्ये समक्षेत्र आकृतींच्या रचना येतात. यांमध्ये चौरस, आयत, समभुज चौकोन, समलंब चौकोन, समद्विभुज त्रिकोण अशा सरळ रेषांच्या, एकमेकांना समक्षेत्र आकृती काढण्याच्या रचना तर आहेतच, पण चौरसाइतक्या क्षेत्रफळाचे वर्तुळ व अर्धवर्तुळ काढण्याच्या कठीण रचनाही दिल्या आहेत. गार्हपत्य, आहवनीय आणि दक्षिणाग्नी या तीन महत्त्वपूर्ण अग्नींच्या अनुक्रमे वर्तुळाकार, चौरसाकार व अर्धवर्तुळाकार वेदींचे क्षेत्रफळ समान साधण्यासाठी हे आवश्यक होते. ह्यासाठी शुल्बसूत्रांत रंजक स्वरूपाच्या भौमितिक रचना विशद केल्या आहेत – मात्र संबंधित रचना ढोबळ असून त्यांना अनुसरून पाय गुणोत्तर 3.088 असे येते.

वर्तुळाशी समक्षेत्र चौरसाची बाजू काढण्याचे पुढील सूत्र बौधायन शुल्बसूत्रात दिले आहे : चौरसाची बाजू वर्तुळाच्या व्यासाच्या \big[\frac{7}{8} + \frac{1}{8 \times 29} - \frac{1}{8 \times 29 \times 6} + \frac{1}{8 \times 29 \times 6 \times 8} \big] पट घ्यावी. या सूत्रावरूनही पायची किंमत 3.088 मिळते – ह्यावरून हे सूत्र उलट कृतीसाठी दिलेल्या भौमितिक रचनेशी निगडित असल्याचे स्पष्ट होते.

एक एकक मापाच्या चौरसाच्या दुप्पट क्षेत्रफळाचा चौरस आखण्याच्या कृतीतून दोनच्या वर्गमूळाची किंमत चौरसाच्या कर्णाच्या लांबीच्या रूपात मिळते. चौरसाच्या दुप्पट क्षेत्रफळाचा चौरस मूळ चौरसाच्या कर्णावरील चौरस काढला असता मिळतो ही महत्त्वाची रचना “समस्य द्विकरणी” हे सूत्र देते.

चौरसाच्या दुप्पट क्षेत्रफळाचा चौरस

त्याचप्रमाणे पुढे तीन, पाच किंवा अन्य संख्याच्या पटीने क्षेत्रफळ असलेला चौरस काढण्याच्या रीती दिलेल्या आहेत. बौधायन शुल्बसूत्रात दोनचे संख्यात्मक वर्गमूळ काढण्याचे पुढील सूत्रही येते.

\sqrt{2} = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3 \times4} - \frac{1}{3 \times 4 \times 34} . यावरून \sqrt{2} = 1.4142156... अशी किंमत मिळते, जी 1.4142139... ह्या आधुनिक किंमतीच्या पाच दशांश स्थानांपर्यंत बरोबर आहे.

वेदींच्या रचनेत सममितीला महत्त्व होते. पूर्व-पश्चिम बाजू समांतर असाव्या, त्या मध्यरेषेला काटकोनात असाव्या असा दंडक होता. योग्य आकाराचे चौरस, आयत, समलंब चौकोन आखण्याच्या रीती शुल्बसूत्रांमध्ये दिलेल्या आहेत. विशेष म्हणजे ह्या आकृती बऱ्याच मोठ्या आकाराच्या, कित्येक मीटर लांबी-रुंदीच्या रचल्या जात. उदाहरणार्थ, महावेदी 30 आणि 24 प्रक्रम लांबीच्या समांतर बाजू आणि 36 प्रक्रम उंची असलेला समद्विभुज समलंब चौकोन अशा आकाराची असे – ह्यातील प्रक्रम हे माप 30 अंगुले, म्हणजे अर्ध्या मीटरहून अधिक (सुमारे 57 सेंमी.) होते.   

महावेदी किंवा सौमिकी वेदी

 याशिवाय असमान क्षेत्रफळांच्या चौरसांच्या बेरजेइतक्या किंवा वजाबाकीइतक्या क्षेत्रफळाचा चौरस अशा रचनांच्या पद्धती शुल्बसूत्रे देतात. आखलेल्या आकृतीच्या दुप्पट, तिप्पट, इत्यादी गुणोत्तराप्रमाणे क्षेत्रफळाच्या, तसेच निम्म्या, एक-तृतीयांश इत्यादी क्षेत्रफळांच्या आकृती रचण्याच्या पद्धतीही दिल्या आहेत.

या रचनांमध्ये अनुस्यूत असलेले पण स्पष्टपणे न सांगितलेले अनेक गणिती गुणधर्म सूत्रकारांना माहीत असल्याचे दिसते. उदाहरणार्थ, त्रिकोणांचे व चौकोनांचे प्रकार, त्यांच्या क्षेत्रफळांची सूत्रे, समरूप आकृतींचे गुणधर्म इत्यादी. चौरसाचा समक्षेत्र आयत करताना आयताचा किंवा चौरसाचा कर्ण त्याचे समान भाग करतो हा गुणधर्म आधारभूत आहे. आयताच्या बाजूंचे मध्यबिंदू जोडून होणाऱ्या समभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ आयताच्या क्षेत्रफळाच्या निम्मे असते किंवा वर्तुळात मावणारा मोठ्यात मोठा चौरस चक्रीय असतो यांसारख्या गुणधर्मांचे उपयोजन करून रचना केलेल्या आहेत.

ज्या प्रमुख वेदीवर यज्ञकर्म केले जात असे तिला अग्निचिती म्हणतात. कोणतीही अग्निचिती पूर्वाभिमुख असणे आवश्यक होते. त्यासाठी सूर्य, नक्षत्रे यांवरून दिशांची निश्चिती केली जात असे. मोठ्या यज्ञांसाठी पक्ष्यांच्या व अन्य आकारांच्या अग्निचितींचे नयनवेधक सममित आकार निर्माण करण्याच्या रचना शुल्बसूत्रांत वर्णिलेल्या आहेत. यांमध्ये श्येनचिती, अलजचिती, कंकचिती, कूर्मचिती, द्रोणचिती, रथचक्रचिती इत्यादी प्रकार आहेत. प्रउग चिती त्रिकोणाकार असे आणि उभयतः प्रउग चिती समभुज चौकोनाकार असे. चितिरचनांसाठी चौरस, आयत, त्रिकोण, पंचकोन अशा आकारांच्या योग्य मापांच्या विटा तयार केल्या जात असत. अग्निचिती आखताना अचूकतेला महत्त्व दिलेले दिसते. ओल्या मातीच्या विटा वाळवणे, भाजणे या क्रियांमुळे विटांचे आकारमान कमी होते. ते किती प्रमाणात कमी होईल याचे गणित करून विटा प्रथम थोड्या मोठ्या केल्या जात असत. भाजल्यावर विटांचे \frac{1}{30} माप कमी होते असे मानव शुल्बसूत्रात दिले आहे.

विटांचे प्रकार

विशेष यज्ञांसाठी रचल्या जाणाऱ्या श्येनचितीसारख्या अग्निचिती आकाराने मोठ्या असत. पक्ष्यांच्या आकाराच्या अग्निचितीत शरीर, डोके, दोन पंख व शेपटी यांचा समावेश असे. सामान्यतः विटांचे पाच थर केले जात व एकूण एक हजार विटा असत. अंगुल हे माप प्रचारात होते, जे अंदाजे 1.9 सेंमी. एवढे असे. बौधायन शुल्बसूत्रांतील रचनेत वक्रपक्ष व्यस्तपुच्छ श्येनचितीचा आत्मा (शरीर) 240 अंगुले लांबीचा आणि 150 अंगुले रुंदीचा असल्याचे दिसते. शीर्ष म्हणजे डोके 82.5 अंगुले लांबीचे आणि 60 अंगुले रुंदीचे आढळते. पंख 180 अंगुले लांबीचे व 150 अंगुले रुंदीचे असलेले आढळतात, तर पुच्छ म्हणजे शेपटीची लांबी (पूर्व-पश्चिम बाजू) 90 अंगुले व रुंदी 240 अंगुले अशी मापे दिली आहेत. यावरून चितीच्या भव्यतेची कल्पना येते.

वक्रपक्ष व्यस्तपुच्छ श्येनचिती आणि उभयतः प्रउग चिती यांचे सममित आकार पुढील प्रमाणे आढळतात.

छायाचित्र सौजन्य -डॉ. र. पु. कुलकर्णी रचित प्रतिकृती, वैदिक संशोधन मंडळ, पुणे

एकंदरीत यज्ञयागांच्या कर्मकांडात परिपूर्णतेची आस धरल्यामुळे अग्निचितींची रचना शक्य तितक्या अचूकतेने करण्याच्या प्रयत्नांनी गणिती संकल्पना शोधल्या गेल्या असे शुल्बसूत्रांतील वर्णनांवरून दिसते. ज्या काळात ही शुल्बसूत्रे रचली गेली त्या काळाचा विचार करता हे गणिती ज्ञान महत्त्वाचे ठरते.

संदर्भ :

  • Datta, B. B. The science of Śulba, A study in Early Hindu Geometry, Calcutta University, 1932.
  • Kulkarni R. P., Geometry according to ŚulbaSūtra, VaidikaSaṁśodhanaMaṇḍala, Pune, 1983.
  • Sarasvati Amma, T.A., Geometry in Ancient and Medieval India, MotilalBanarasidass Publishers Pvt. Ltd., Delhi, 1979 (second revised edition: 1999).
  • Sen S. N, Bag A. K. The Śulbasūtras, Indian National Science Academy, New Delhi, 1983.
  • Śulbasūtraof Baudhāyana with commentary of DvārakānāthaYajvan called śulbadīpikā Ed. By G. Thibaut, The Pandit (Banaras) New Series I, 1877.
  • कुलकर्णी, र. पु., चार शुल्बसूत्रे, महाराष्ट्र राज्य साहित्य संस्कृती मंडळ, मुंबई, १९७८.

समीक्षक : श्रीकृष्ण दाणी

Tags: , , , , , , ,