हराल्ड क्रेमर (Harald Cramér)

क्रेमर, हराल्ड : (२५ सप्टेंबर, १८९३ – ५ ऑक्टोबर, १९८५) हराल्ड क्रेमर स्वीडनमधील स्टॉकहोम येथे जन्मले. स्टॉकहोम विद्यापीठ महाविद्यालयात त्यांनी प्रवेश घेऊन रसायनशास्त्र आणि गणितात पदवी मिळवली. तिथेच जीवरसायनशास्त्र विभागात सहाय्यक संशोधक म्हणून काम करताना त्यांनी या विषयात अनेक शोधनिबंध लिहिले. यानंतर त्यांचा गणिताकडील ओढा वाढला. त्यांनी सादर केलेला पीएच्.डी.चा प्रबंध डिरिक्ले क्रमिकेवर (Dirichlet series) होता. क्रेमर स्टॉकहोम विद्यापीठात बारा वर्षे सहाय्यक प्राध्यापक होते. मूळ संख्यांच्या वितरणावर पुढील काळांत त्यांनी बरेच शोधलेख लिहिले. नंतर त्यांनी स्वीडिश प्रायव्हेट इन्शुरन्स सुपरवायझरी सर्विसेसमध्ये नोकरी घेतली. तेव्हापासून त्यांना विमागणितात, विशेषतः विमा कंपन्यांना विनाशाकडे नेणाऱ्या जोखीमेसंदर्भांतील समस्यांत रस निर्माण झाला. एकून २८ वर्षाच्या काळात क्रेमर विमाशास्त्रज्ञ म्हणून प्रथम लाइफ इन्शुअरन्स कंपनी स्वेन्स्का आणि नंतर रीइन्शुअरन्स  कंपनी स्वेरीजमध्ये होते. नंतरची बारा वर्षे ते याच कंपनीत सल्लागार विमाशास्त्रज्ञ होते.

साधारण १९ व्या शतकाच्या अखेरीस अनेक विमा कंपन्या दिवाळखोरीत गेल्या होत्या. भरभराटीच्या काळात मोठे लाभांश वितरीत करणे आणि उतरत्या काळासाठी अल्प राखीव निधी असणे, हे त्याचे कारण होते. त्यासंदर्भात, विमाशास्त्राला संभाव्यतेच्या तर संभाव्यतेला गणिताच्या भक्कम पायाची गरज असल्याचे, सर्वप्रथम क्रेमर यांनी जाणले. या पार्श्वभूमीवर विसाव्या शतकात त्यांनी विमा कंपन्यांना एकत्र आणून, विमागणितासाठी, इन्स्टिट्यूट ऑफ ॲक्च्युरिअल मॅथेमॅटिक्स अँड मॅथेमॅटिकल स्टॅटिस्टिक्स ही संस्था स्टॉकहोममध्ये स्थापन केली. ते संस्थेचे पहिले प्राध्यापक आणि प्रमुख बनले. अल्पावधीतच नावारूपाला आलेल्या या संस्थेत संपूर्ण देशांतून नियमित विद्यार्थ्यांसह अनेक शास्त्रज्ञ, व्यावसायिक संभाव्यताशास्त्राचे ज्ञान मिळविण्यासाठी येत. त्यांनी स्वीडिश भाषेत प्रोबॅबिलिटी थिअरी अँड सम ऑफ इट्स ॲप्लिकेशन्स हे संभाव्यतेवरील पाठ्यपुस्तक लिहिले.

विम्यासंदर्भातील मृत्युदराच्या गृहीतकांत त्यांनी दिलेले भारण संस्करण (treatment of loadings) अत्यंत व्यवहार्य होते. हप्त्यांच्या आकलनात त्यांनी आवश्यक असणाऱ्या पूर्वग्रहांची काटेकोर चर्चा केली आणि शून्य बिंदू पद्धत (zero point method) विकसित केली. ती अनेक वर्षे विमा हप्त्यांचे इष्टतम दर निश्चित करण्यासाठी वापरली गेली. विमागणितातील क्रेमर यांचे बहुतांश संशोधन त्यांच्या ऐन तरुणपणी प्रकाशित झाले असले तरी अखेरपर्यंत ते या क्षेत्राला योगदान देत राहिले. विशेष उल्लेखनीय, म्हणजे कलेक्टिव्ह रिस्क थिअरी हा प्रकाशित झालेला त्यांचा खंड अक्षय्य ठरला.

विमागणित आणि गणिती संख्याशास्त्रातील इतरांचे महत्त्वाचे योगदान तर्कनिष्ठतेसह सोपे करून सांगण्यात क्रेमर यांची हातोटी होती. फिलीप लुंडबर्ग यांचे सामूहिक जोखीम सिद्धांतावरील काम सहज भाषेत मांडणे हे त्याचे एक उदाहरण आहे. त्यामुळे लुंडबर्ग यांच्या पीएच्.डी.च्या प्रबंधांतील आणि त्यानंतरच्या शोधनिबंधांतील दुर्बोध मूळ काम, म्हणजे रूढ प्रतिमान. ते नंतर क्रेमर-लुंडबर्ग प्रतिमान किंवा संयुक्त प्वॉंसा जोखीम प्रतिमान (Compound Poisson Risk Model) म्हणून सुपरिचित झाले. यामागील गृहीतक होते, विमाकंपनीकडे हप्ते स्थिर दराने येतात तर यादृच्छिक आकारातील दावे प्वॉंसा प्रक्रमानुसार देय रक्कम कंपनीबाहेर नेतात. यानुसार कंपनीच्या विनाशाच्या, म्हणजे राखीव निधी ॠण होण्याच्या, संभाव्यतेचे संगणन क्रेमर-लुंडबर्गनी केले. अनेक नाविन्यपूर्ण कल्पनांखेरीज संयुक्त जोखीम सिद्धांत ही क्रेमर-संस्थेच्या संशोधनाची कोनशीला राहिली. प्रसंभाव्य (stochastic) वित्तीय पद्धत निर्माण करणारे क्रेमर हे पहिले होते.

केंद्रिय सीमा प्रमेयाच्या (Central Limit Theorem) इतिहासात क्रेमर यांचे लक्षणीय योगदान आहे. विमाशास्त्राच्या उपयुक्ततेसाठी मोठ्या संख्येतील यादृच्छिक चलांची बेरीज करून तिला योग्यप्रकारे प्रमाणित केलेल्या चलाच्या वर्तनाशी, क्रेमर अभ्यासत होते. अशा प्रमाणित चलाच्या वितरणावर जर प्रसामान्य वितरण आच्छादले, तर दोन वितरणांत आढळणाऱ्या त्रुटीचे आकलन, त्यांना हवे होते. या संदर्भांत स्वीडिश खगोलशास्त्रज्ञ चार्लियर यांची सिद्धता सदोष असल्याचे दाखवून देत त्याला त्यांनी अधिक समाधानकारक पर्यायही दिला.

बहुमितीय यादृच्छिक चलांसाठी वितरणांतील त्रुटीच्या आकलनाच्या व्यापकीकरणाचे काम क्रेमर यांनी नॉर्वेजिअन अर्थमितिज्ञ आणि संख्याशास्त्रज्ञ हर्मन वोल्डसोबत प्रकाशित केले. यासाठी दोघांनी एक क्लुप्ती (device) योजली. त्या क्रेमर-वोल्ड क्लुप्तीनुसार बहुचल यादृच्छिक चलांची क्रमिका, वितरणात तेव्हाच अभिसारीत होते, जेव्हा रेषीय एक-मितीय चलांचे चय (combinations) त्यांच्या स्वतंत्र वितरणात अभिसारीत होतात. त्यांनी ही प्रभावी क्लुप्ती सातत्य प्रमेय (continuity theorem), केंद्रीय सीमा प्रमेय आणि बहुमितीय प्रसामान्यता (multidimentional normality) सिद्ध करताना वापरली.

क्रेमर यांची प्रकाशित झालेली अवगम असमानता (Information inequality), जी आता  क्रेमर-राव असमानता (Cramér-Rao inequality) म्हणून ज्ञात असलेली संकल्पना ही संख्याशास्त्राला मिळालेली महत्त्वाची देणगी आहे. यात, पूर्वग्रहमुक्त आकलक वापरून शक्य असलेल्या न्यूनतम प्रचरणासाठी (variance) दोषाचे (error) अचूक प्रगणन करून काटेकोर असमानता मिळते.

क्रेमर यांना विम्याच्या हप्त्यांचा आणि राखीव निधीचा पाया व्याजाच्या घटत्या दराशी जोडण्याचे, तसेच नवा पाया तयार करण्याचे व्यापक काम देण्यात आले होते. याशिवाय त्यांना विम्याच्या व्यवसायासाठी नवा कायदा करण्याच्या राज्यमंडळावरही नेमले होते. त्यांच्या संस्थेत त्यांना उपयोजित संख्याशास्त्र विभाग उघडणे शक्य न झाल्याने त्यांनी पदवीधर विद्यार्थ्यांचा संख्याशास्त्र-संशोधन गट स्थापन केला.

क्रेमर यांनी संभाव्यताशास्त्रावरील रँडम व्हेरिएबल्स अँड प्रोबॅबिलिटी डिस्ट्रिब्युशन्स हे पुस्तक प्रकाशित केले. तसेच मॅथेमॅटिकल मेथड्स ऑफ स्टॅटिस्टिक्स हे पुस्तक लिहिले. यात त्यांनी संख्याशास्त्रातील नव्या शोधांसह, तोपर्यंत विखुरलेल्या स्वरूपातल्या अनेक संख्याशास्त्रीय निष्पत्ती, तर्कशास्त्राच्या पायावर सुसंगतपणे एकत्र आणल्या. यात त्यांचे प्रसिद्ध अभिसरण प्रमेय (convergence theorem) आहे जे क्रेमर-प्रमेय किंवा क्रेमर-स्लट्स्की प्रमेय म्हणून नावाजले जाते. संख्याशात्राच्या अध्यापनात आणि संशोधनात स्तुत्य बदल घडवून आणणाऱ्या या पुस्तकाची ओळख महान क्रेमर (Stora Cramér) अशी आहे.

क्रेमर स्टॉकहोम युनिव्हर्सिटीचे अध्यक्ष झाल्यावर त्यांच्या प्रयत्नांनी स्टॉकहोम विद्यापीठ महाविद्यालयाला यथावकाश विद्यापीठाचा दर्जा मिळाला. पुढे स्वीडनमधील अनेक शहरांत नवीन महाविद्यालये आणि विद्यापिठे निर्माण झाली. ते त्यांचे तीन वर्षे ते कुलगुरू होते. त्या काळांतही त्यांनी शैक्षणिक संस्थांची स्वायत्तता आणि विज्ञानातील वैचारिक स्वातंत्र्य जपण्यासाठी सरकारशी लढा दिला. या संदर्भांतच तीन वर्षानी, वयाच्या ६८व्या वर्षी, क्रेमर यांनी सरकारच्या धोरणांविरोधांत राजीनामा दिला.

क्रेमर अमेरिकेतील अनेक विद्यापीठात निमंत्रित प्राध्यापक होते. त्यांनी रिसर्च ट्रँगल इन्स्टिट्यूट ऑफ नॉर्थ कॅरोलिनात, रॉस लीडबेटर या संशोधकाबरोबर विकलनीयता (differentiability), समोच्चता उल्लंघन (level crossings) आणि चरम मूल्ये (extreme values) यांसारख्या स्थिर प्रक्रमांची लक्षणे शोधली. यासंदर्भांत त्यांचे स्टेशनरी अँड रिलेटेड स्टोकॅ़स्टिक प्रोसेसेस पुस्तक प्रकाशित झाले.

वैश्लेषिक फले (ॲनॅलिटिक फंक्शन्स) आणि वैश्लेषिक अंकशास्त्र (ॲनॅलिटिक नंबर थिअरी) या शुद्ध गणिती संकल्पनांवरही क्रेमर यांनी काम केले. वैश्लेषिक अंकशास्त्रावर त्यांचे वीसहून अधिक शोधनिबंध प्रकाशित आहेत.

क्रेमर स्वीडिश स्टॅटिस्टिकल सोसायटीचे तीस वर्षे अध्यक्ष आणि नंतर मानद-अध्यक्ष होते. त्यांच्या सन्मानार्थ प्रोबॅबिलिटी अँड स्टॅटिस्टिक्स, द हराल्ड क्रेमर व्हॉल्युम हे दोन गौरव ग्रंथ प्रकाशित झाले.

त्यांना अनेक विद्यापीठांनी मानद पदव्यांनी गौरविले. रॉयल स्टॅटिस्टिकल सोसायटीचे मानद अधिछात्रत्व आणि गाय सुवर्णपदक, अकॅडेमिया दे लिन्ची या रोममधील संस्थेचा  विमागणितासाठी पुरस्कार, इंटरनॅशनल स्टॅटिस्टिकल इन्स्टिट्यूट आणि द अमेरिकन अकॅडमी ऑफ आर्टस अँड सायन्स त्यांची मानद सदस्यत्त्वे, स्वीडिश, डॅनिश, फिनिश, नॉर्वेजियन, आणि स्पॅनिश अकॅडमीज ऑफ सायन्सेसची सदस्यत्त्वे त्यांना मिळाली. ते स्कँडिनेव्हियन ॲक्च्युरिअल जर्नलचे (तेव्हाचे Skandinavisk Aktuarietidskrift) तेवीस वर्षे मुख्य संपादक होते. इंडियन स्टॅटिस्टिकल इन्स्टिट्यूटनेही त्यांना मानद डीएससीने गौरवले.

संदर्भ :

समीक्षक : विवेक पाटकर

Tags: , , , ,