रेषीय कार्यक्रमणामध्ये गुंतागुंतीच्या संबंधाची रेषीय फलनाद्वारे काळजीपूर्वक मांडणी करून इष्टतम बिंदूंची निवड केली जाते. प्रत्यक्षात फारच गुंतागुंतीच्या संबंधाला रेषीय स्वरूप देण्याचे हे तंत्र आहे. रेषीय कार्यक्रमण विविध प्रकारच्या आर्थिक समस्यांची इष्टतम स्थिती शोधण्याच्या उद्देशाने उपयोगात आणले जाते. प्रत्येक समस्येमागे कोणते तरी लक्ष्य प्राप्त करण्याचा उद्देश नेहमीच असतो. उदा., नफा महत्तमीकरण, महत्तम उपयोगिता, न्यूनतम व्यय इत्यादी. सीमांत विश्लेषणाद्वारे या समस्यांचे समाधान करण्याचा प्रयत्न अनेक अर्थशास्त्रज्ञांनी केला; परंतु अनेक अडचणींमुळे ते व्यावहारिक समस्यांचे समाधान करण्यास असमर्थ ठरले. रेषीय कार्यक्रमाची संकल्पना सर्वप्रथम प्रसिद्ध रशियन गणितज्ज्ञ व अर्थतज्ज्ञ लिओनिद व्ही. कांटोरोव्ह्यिच यांनी मांडली. त्यानंतर १९४६ मध्ये (दुसऱ्या महायुद्धानंतर) अमेरिकन गणितज्ज्ञ जी. बी. डैटझिंग यांनी रेषीय कार्यक्रमण तंत्राद्वारे गणितीय समस्यांच्या समाधानाच्या श्रेष्ठ पद्धतीचा विकास केला.

रेषीय कार्यक्रमणामध्ये एखाद्या समस्येचे समाधान रेषीय सुव्यवस्थित योजनेद्वारे केले जाते. एक पेढी उत्पादन करण्याकरिता घटकांच्या विविध संयोगांचा उपयोग करू शकते; पण पेढी न्यूनतम व्यय संयोगाद्वारेच उत्पादन करीत असते. रेषीय कार्यक्रमणामध्ये विविध उत्पादन घटकांचा इष्टतम संयोग हा गणिताच्या साह्याने काढला जात असल्यामुळे वस्तूच्या निश्चित मात्रेचा उत्पादन खर्च हा न्यूनतमच असतो. या पद्धतीच्या उपयोगाद्वारे मर्यादित साधनांच्या माध्यमाने एखाद्या उद्योजकाचा लाभ अधिकतम किंवा व्यय न्यूनतम करण्याच्या समस्येचे निराकरण केले जाते.

रेषीय कार्यक्रमणाचा उपयोग आपल्या सभोवताली वैयक्तिक तसेच व्यावसायिक स्तरावर होत असताना दिसून येतो. दैनंदिन जीवनात घरापासून कामाच्या ठिकाणी वाहन चालविताना आपण सर्वांत जवळच्या मार्गाची निवड करून या तंत्राचा उपयोग करीत असतो. एखादा प्रकल्प वेळेत पूर्ण करण्यासाठी घटकांच्या कार्यक्षम व प्रभावी उपयोगास रेषीय कार्यक्रमणाची मदत होते.

गृहीतके : रेषीय कार्यक्रमण हे काही महत्त्वाच्या गृहीतकांवर आधारित आहे.

  • आदान-प्रदान घटकांमधील संबंध हा नेहमीच रेषीय असतो. जो सरळ रेषेद्वारे दाखविला जातो. रेषीय कार्यक्रमण फलन हे स्थिर उत्पादन फलाच्या गृहीतावर आधारित आहे.
  • रेषीय कार्यक्रमणामध्ये साधनांच्या व उत्पादन घटकांच्या किमती या स्थिर मानल्या आहेत.
  • रेषीय कार्यक्रमणामध्ये फलनाचे महत्तमीकरण किंवा न्यूनतमीकरण करण्यासाठी घटक साधनांच्या काही मर्यादा असतात. उदा., यंत्रांची मर्यादा, मर्यादित उत्पादनांचे घटक इत्यादी.

संकल्पना : रेषीय कार्यक्रमणामध्ये काही महत्त्वपूर्ण संकल्पनांचा उपयोग केला जातो.

(१) उद्देशफलन : उत्पादन करण्याकरिता पेढीचा काहीतरी उद्देश (उत्पादन महत्तमीकरण, विक्री महत्तमीकरण, व्यय न्यूनतमीकरण इत्यादी.) असतो. त्याशिवाय कोणतीही समस्या सोडविल्या जावू शकत नाही. उद्देशफलनाचा विचार करूनच पेढीची समस्या सोडविली जाऊ शकते. याला मापदंड असेही म्हणतात. उद्देशफलनाचे उत्पादनाचे महत्तमीकरण करणे हे प्रमुख, तर व्ययाचे न्यूनतमीकरण करणे हे द्वैत असे दोन प्रकार आहेत. उद्देशफलनाचे समीकरणाद्वारे पुढील प्रमाणे दर्शवितात.

Maximize P = 3 X + 2 Y (नफा महत्तमीकरण)

TR  = 5 X + 10 Y (एकूण प्राप्तीचे महत्तमीकरण)

Minimize C = 6 X + 5 Y (व्यय न्यूनतमीकरण)

(२) मर्यादा : उद्देश फलनामध्ये ज्या चलांचा प्रयोग केला गेला, त्या चलांना विचारात घेऊनच समस्येचे निराकरण केले जाते. ही चले मर्यादित प्रमाणात उपलब्ध असल्याने त्यांच्या उपलब्धतेनुसार समस्येचे महत्तमीकरण किंवा न्यूनतमीकरण केले जाते.

(३) अऋणात्मकतेचे फलन : रेषीय कार्यक्रमणामध्ये उद्देश फलनासंबंधित चल हे नेहमी शून्य किंवा त्यापेक्षा जास्त असतात. ते कधीच शून्यापेक्षा कमी राहू शकत नाही; कारण हे चल उत्पादनात अर्थ प्रक्रियेचा गट किंवा त्या चलांच्या स्रोतांची मात्रा दर्शवित असल्याने ते शून्यापेक्षा कमी असू शकत नाही. त्यामुळेच या चलांवर अऋणात्मकतेचे निर्बंध असतात आणि या अनुषंगानेच समस्येचे निराकरण केले जाते. अऋणात्मकतेचे फलन समीकरणाद्वारे पुढील प्रमाणे दर्शवितात.

Xi 0 I = 1, 2, 3….n   ftFksXi = ith निर्णय चल आहे.

(४) संभावित समाधान :  संभावित समाधान हे मर्यादित साधनांच्या साह्याने जास्तीत जास्त शक्य असलेले समाधान दाखवितो. यांपैकी प्रत्येक समाधान सर्व आवश्यक संरोधकांना पूर्ण करतात. एखाद्या उत्पादकाकरिता संभाव्य समाधान म्हणजे वस्तूच्या मात्रांचे असे महत्तमीकरण किंवा महत्तमीकरणापेक्षा कमी उत्पादन होय. जो एक उत्पादक क्रमश: साधनांची किंमत तसेच त्यांच्या मर्यादांना अनुसरून जास्तीत जास्त उत्पादन करू शकतो.

संरोधक रेषीय स्वरूपात आलेखावर मांडले जातात आणि या संरोधक रेषांच्या मदतीने संभाव्य समाधान क्षेत्र आलेखावर रेखांकित केले जाते. संभाव्य क्षेत्राच्या प्रत्येक कोनांना विशिष्ट नावे (अ, ब, क, ड…) दिले जातात. समजा, एक उत्पादक क्ष अशा दोन वस्तूंचे उत्पादन करतो. याकरिता तो दोन यंत्रांचा उपयोग करीत असून त्यांपैकी एका यंत्राची उपलब्ध क्षमता एका दिवसात १२ तास काम करण्याची आहे, तर दुसऱ्या यंत्राची क्षमता ही ८ तास काम करण्याची आहे. क्ष वस्तूची एक मात्रा उत्पादित करण्यासाठी दोन्ही यंत्रांवर २-२ तास काम करणे आवश्यक आहे. य वस्तूची एक मात्रा उत्पादित करण्यासाठी पहिल्या यंत्रांचा ३ तास आणि दुसऱ्या यंत्राचा १ तास उपयोग करावा लागतो. या संरोधकांना समीकरणात पुढील प्रमाणे मांडता येईल.

2X + 3Y  12

2X + Y  8

या संरोधकांच्या साह्याने संभावित समाधान पुढील आकृतीद्वारे मांडले आहे.

(५) इष्टतम समाधान : ही अशी परिस्थिती होय, जी साधन घटकांचा प्रभावी व कार्यक्षम उपयोग करून कोणत्याही स्थितीमध्ये सर्वांत जास्त परतावा मिळवून देते. सर्व संभाव्य समाधानांपैकी सर्वोत्कृष्ट समाधान हा इष्टतम समाधान असतो. सर्व संभाव्य समाधानांपैकी ज्याचे मूल्य उद्देश फलनाला महत्तम किंवा न्यूनतम (आवश्यकतेनुसार) करते, तोच इष्टतम समाधान असतो.

रेषीय कार्यक्रमणामध्ये इष्टतम समाधान हे गैर गणितीय पद्धत किंवा आलेखीय पद्धत किंवा सरल पद्धतीने काढले जातात. आलेख पद्धतही एक साधी, सोपी व सामान्य व्यक्तीलाही लवकर अवगत होणारी पद्धत आहे. याद्वारे रेषीय कार्यक्रमणाच्या केवळ सरळ आणि जास्तीत जास्त दोन चल असणाऱ्या समस्यांचेच समाधान केले जाते; कारण दोनपेक्षा जास्त चल असणाऱ्या समस्येच्या समाधानाचा आलेख काढण्यात बऱ्याच अडचणी येत असल्यामुळे वास्तविक जगातील समस्या सोडविण्यात या पद्धतीचा फारसा उपयोग होताना दिसत नाही.

सरल पद्धतीमध्ये गणितीय समीकरणांद्वारे अनेक संभावित समाधानांची चाचणी करून इष्टतम समाधान मिळेपर्यंत अपेक्षेने इष्टतम समाधान नसलेल्या एक समाधानाला कमी केले जाते. ही आलेख पद्धतीपेक्षा अधिक प्रभावी असून हजारो निर्णय चल आणि संरोधके असलेल्या रेषीय कार्यक्रमण समस्येला इष्टतम समाधान सूचविते. यात इष्टतम समाधानासाठी पुनरावृत्ती अल्गोरिदमचा वापर केला जातो. सरल पद्धत संवेदनक्षमता विश्लेषण करण्यासाठी उपयोगात येणाऱ्या न्यून चल आणि छाया किमतीबद्दल अधिक माहिती पुरविते. सरल पद्धतीमध्ये गणितीय समीकरणांचा उपयोग होत असला, तरी संगणकाद्वारे ती अधिक सोपी  झाली आहे.

रेषीय कार्यक्रमणाद्वारे सीमांत विश्लेषणाच्या अनेक व्यावहारिक अडचणींना दूर करून विवेकशील सिद्धांताची मांडणी करण्यात आली आहे. यामध्ये विविध साधनांच्या मर्यादित मात्रेच्या आधारावर एक सामायिक समीकरणाद्वारे न्यूनतम व्यवहारावर महत्तम नफा प्राप्त करण्याकरिता उपयोगात येणाऱ्या साधनांच्या मात्रेचे निर्धारण केले जाते. यामध्ये गणिताचा उपयोग होत असल्याने निर्णयांमध्ये अपेक्षेने अचूकता अधिक असते. रेषीय कार्यक्रमणाचा उपयोग उत्पादनाबरोबरच उपभोग, दळणवळण यांसारख्या क्षेत्रांमध्ये  केला जातो.

रेषीय कार्यक्रमणामध्ये विविध एक सामायिक समीकरणांना सोडविण्याकरिता गणिताच्या योग्य ज्ञानाची आवश्यकता असल्याने सर्वसामान्य व्यक्तींकडून किंवा व्यावसायिकांकडून त्याच्या वापरावर अनेक अडचणी येतात. तसेच प्रत्यक्षात घटक साधने व उत्पादन यांचे प्रमाण कधीच स्थिर आढळून येत नाही, तर त्यांच्या प्रमाणात आवश्यकतेनुसार बदल करूनही उत्पादनात वाढ केली जाते.

संदर्भ :

  • Thapa, G. B., Linear Programming, New York, 1997.
  • Journal of the Royal Statistical Society, 1955.
  • Watson, D. S., Price Theory and its Uses, Houghton Mifflin, 1970.

समीक्षक : मुकुंद महाजन