गोमोरी, राल्फ इ. : (७ मे १९२९ -) राल्फ गोमोरी यांचा जन्म अमेरिकेत न्यूयॉर्क येथील ब्रूकलिन हाईटस् येथे झाला. त्यांनी गणितामध्ये पदवी आणि पुढे प्रिन्स्टन विद्यापीठातून पीएच्.डी. पदवी प्राप्त केली. सोलोमन लेफशेत्झ हे त्यांचे मार्गदर्शक होते आणि ‘On nonlinear differential equations’ हा त्यांचा पीएच्.डी. चा प्रबंध होता. त्यांनी त्यांच्या कारकीर्दत प्रथम अमेरिकेच्या नौदलाच्या संशोधन विभागात आणि नंतर प्रिन्स्टन विद्यापीठात सहाय्यक प्राध्यापक म्हणून दोन दोन वर्षे नोकरी केली. मात्र त्यानंतर ते आयबीएम कंपनीच्या संशोधन विभागात रुजू झाले आणि वेळोवेळी बढती मिळून तेथून विज्ञान आणि तंत्रज्ञान विभागाचे वरिष्ठ उपाध्यक्ष म्हणून निवृत्त झाले.
प्रिन्स्टन विद्यापीठात कार्यरत असताना त्यांचा संबंध तेथील प्रवर्तन संशोधन (Operational Research) गटाशी आला. रेषीय प्रायोजन या प्रवर्तन संशोधनातील कळीच्या विषयात त्यांना गोडी लागली. मर्यादित संसाधनांचे वाटप कसे करावे जेणेकरून इष्टतम उद्दिष्ट (optimal objective) गाठता येईल हा त्याचा गाभा आहे. या प्रश्नासाठी जी. बी. दान्त्झिग यांनी एक गणिती प्रारूप तयार करून ते सोडवण्यासाठी सिम्प्लेक्स पद्धत विकसित केली होती. मात्र त्याने प्रश्नाचे उत्तर पूर्णांकात येईल याची शाश्वती नसते. तथापि व्यवहारात अनेक वेळा उत्तर पूर्णांकात असणे आवश्यक असते उदा. किती मोटारी तयार करायच्या किंवा किती माणसे नेमायची. तरी गोमोरी यांनी या प्रारूपात निर्णय घेण्याची चले (variables) पूर्णांक असतील अशी अतिरिक्त मर्यादा घातली. तरी त्यांचे प्रारूप सामान्यपणे असे मांडता येईल :
Maximise Z = p1x1 + p2x2 + … + pnxn
Subject to a11x1 + a12x2 + … + a1nxn ≤ b1 (१)
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn ≤ b2 (२)
………………………………………………………………… .…
am1x1 + am2x2 + … + amnxn ≤ bm (म)
x1, x2, …, xn ≥ 0 आणि पूर्णाक असतील. (प)
इथे x1, x2, …, xn या चलांचे असे मूल्य प्राप्त करायचे आहे की दिलेल्या (१) ते (प) रेषीय मर्यादा (linear constraints) पाळून Z चे कमाल मूल्य मिळेल. अर्थातच प्रत्यक्ष उपयोजनात काही वेळा केवळ निवडक चले पूर्णांकात असावी अशीही अट असू शकते.
या संदर्भात प्राप्त उत्तर पूर्णांकात नसल्यास छेद देणारी प्रतले (Cutting Planes) जोडून सिम्प्लेक्स पद्धतीचाच सुधारित विनिमय परत परत करत पूर्णांकात इष्टतम उत्तर मिळवण्याची पद्धत गोमोरींनी विकसित केली. ती संगणकावर सहजपणे वापरता येते. या पद्धतीने अपूर्णांकी उत्तरे प्रत्येक पायरीवर वगळली जातात. ही पद्धत काही मोजक्या सांत (finite) पायऱ्यात नेहमी थांबेल याची गणिती सिद्धता देखील त्यांनी दिली. गोमोरींनी त्यांची ही पद्धती एका छोटेखानी लेखात प्रसिद्ध केली. या कार्यामुळे त्यांचे नाव जगभर झाले. आजही त्यांची सदर पद्धत प्रवर्तन संशोधनाच्या कुठल्याही पाठ्यक्रमातील रेषीय प्रायोजन या विषयाचा भाग म्हणून शिकवली जाते.
त्याच्या पुढे जाऊन गोमोरींनी त्यांचे सहकारी पॉल गिलमोर यांच्यासोबत कारखान्यात वस्तू बनवताना किमान मात्रेत वाया जाव्या यासाठी पूर्णांकी रेषीय व अरेषीय प्रायोजन यांचा वापर करून दाखवला. याचा फार मोठा फायदा कागद आणि काच उद्योगाला झाला. त्यासाठी त्यांनी एक नवी गणिती पद्धतही विकसित केली जी स्तंभ निर्मिती पद्धत (column generation method) या नावाने ओळखली जाते.
सुरुवातीला एलिस जॉन्सन यांच्या सोबत गोमोरींनी अतिशय क्लिष्ट पूर्णांकी प्रायोजन समस्यांसाठी एक अभिनव संकल्पना विकसित केली. ती कोनकोपरा बहुफलक (corner polyhedra) या नावाने ओळखली जाते. त्यामुळे महाकाय प्रायोजन समस्यांसाठी पूर्णांकी उत्तर मिळवण्याची क्षमता लक्षणीय पटीत वाढली. त्याशिवाय गोमोरी यांनी पदार्थांचा दिलेल्या जालकातून प्रवाह (network flow) इष्टतम पद्धतीने कसा करता येईल यासाठी पूर्णांकी प्रायोजनाचा अपगामी सिद्धांत (Asymptotic theory) विकसित केला.
निवृत्तीनंतर गोमोरी आल्फ्रेड पी. स्लोन प्रतिष्ठान याचे अध्यक्ष झाले. तेथे त्यांनी जनसामान्यांचा जैविक दहशतवादापासून बचाव कसा करावा यासाठी एक कार्यक्रम सुरु केला ज्याचा आंतरिक सुरक्षादलाला भरीव फायदा झाला आहे. त्याशिवाय गोमोरी यांनी डब्ल्यू. जे. बौमोल यांच्यासोबत तंत्रज्ञान आणि उत्पादनाचा विकास, उद्योगाची स्पर्धा क्षमता आणि आर्थिक परिमाणे यांचा अभ्यास करण्यासाठी काही गणिती प्रारूपे विकसित केली असून ‘Conflicts in international trade’ हे सहलेखित पुस्तक प्रकाशित केले. गोमोरी यांचे ८०हून अधिक शोधलेख अनेक प्रतिष्ठित शोधपत्रिकांत प्रसिद्ध झालेले आहेत.
गोमोरी यांना आत्तापर्यंत सात मानद पदव्या प्रदान करण्यात आल्या आहेत. त्यांनी अमेरिकेच्या नॅशनल अकॅडेमी ऑफ सायन्स, नॅशनल अकॅडेमी ऑफ इंजिनिअरिंग आणि फिलोसोफिकल सोसायटीच्या विविध पदांवर काम केले आहे. ते अमेरिकेच्या राष्ट्राध्यक्षांच्या विज्ञान व तंत्रज्ञान सल्लागार समितीचे सदस्य होते. त्यांना मिळालेल्या अनेक पारितोषिकांमधील काही प्रमुख अशी आहेत : लँकेस्टर पारितोषिक, जॉन फॉन न्युमन सैद्धांतिक पारितोषिक, अमेरिकेच्या राष्ट्राध्यक्षांच्या हस्ते नॅशनल मेडल ऑफ सायन्स आणि प्रिन्स्टन विद्यापीठाचे मॅडीसन पदक.
पूर्णांकी प्रायोजन विकसित करण्यात तसेच त्याचे प्रत्यक्षात उपयोजन करून प्रवर्तन संशोधन या विषयाला एक नवी दिशा गोमोरी यांनी दिली आहे.
संदर्भ :
- Gomory, R.E. (1958). “Outline of an algorithm for integer solutions to linear programs”. Bulletin of the American Mathematical Society, 64, 275–278.
- Gomory, R.E., Johnson, E.L. (1972a). “Some continuous functions related to corner polyhedral”. Mathematical Programming, 3, 23–85.
- Gomory, R.E., Johnson, E.L. (1972b). “Some continuous functions related to corner polyhedra II”. Mathematical Programming, 3, 359–389.
- Wilson, D.M. (2004). “At the frontiers of science and technology”. Williams Alumni Review, Fall, 12–15.
- “IFORS’ Operational Research Hall of Fame – Ralph E. Gomory”. International Transactions in Operational Research, 12 (2005) 539–543.
समीक्षक : विवेक पाटकर
