फलन (Function)

फलन ही संकल्पना आधुनिक गणितातील काही अतिशय महत्त्वपूर्ण संकल्पनांपैकी एक आहे. एखाद्या घटकाचे दुसऱ्या घटकावरील अवलंबित्व (dependence) फलनाच्या माध्यमातून व्यक्त करता येते. जेव्हा एकमेकांशी संबंध असलेल्या दोन घटकांपैकी एक स्वतंत्र (independent) असून दुसरा त्याच्यावर अवलंबित (dependent) असतो तेव्हा त्या दोन घटकांमधील संबंध फलनाच्या माध्यमातून सांगितला जातो. बॅंकेमधील ठेवींवरील परतावा ठेवीच्या कालावधीवर अवलंबून असतो. इथे कालावधी हा स्वतंत्र घटक आहे तर परतावा अवलंबित घटक आहे. अशा प्रकारे अनेक वैज्ञानिक  आणि व्यावहारिक संकल्पना ह्या फलनाच्या परिभाषेत मांडता येतात.

फलनाची संकल्पना पुढीलप्रमाणे स्पष्ट करता येईल. समजा A आणि B हे दोन अरिक्त संच (non-empty set) आहेत. A ह्या संचातील प्रत्येक घटक B या संचातील एक आणि एकाच घटकास निर्देशित करणाऱ्या संबंधास A पासून B पर्यंतचे फलन असे म्हणतात. हे फलन चिन्हांकित स्वरूपात f : A \rightarrow B असे दर्शवितात.

यामध्ये A ला f चा प्रांत किंवा अधिक्षेत्र (domain) तर B ला f चा सहप्रांत (co-domain) असे संबोधतात. तसेच A च्या घटकांना प्रांत बिंदू किंवा अधिक्षेत्र बिंदू तर B च्या घटकांना सहप्रांत बिंदू असे म्हणतात.

समजा x \in A असेल, तर f  ची x वरील किंमत दर्शविण्यासाठी f(x) असे लिहितात.

समजा राम, श्याम व कविता यांना रंगकाम, बागकाम व विणकाम हे तीनही प्रकारचे कामे करता येतात. सर्वसाधारणपणे, एक व्यक्ती एका वेळेस एकच काम करू शकते असे गृहीत धरा. रामला बागकाम, श्याम व कविता यांस विणकाम अशी कामांची वाटणी केल्यास व्यक्ती आणि कामांच्या पुढीलप्रमाणे तीन क्रमिक जोड्या बनतात.त्या संचाच्या स्वरूपात  मांडता येतात. जर या संचाला f असे म्हटल्यास तो खालीलप्रमाणे लिहिता येईल.

f=\{(राम, बागकाम), (कविता, विणकाम), (श्याम, विणकाम)\}.

हा संबंध हे एक फलनाचे उदाहरण होय. तसेच f हे फलन पुढीलप्रमाणे लिहिता येईल.

f(राम)= बागकाम, f(कविता)= विणकाम आणि f(श्याम)= विणकाम.

येथे आपण नोंद घेतली पाहिजे कि जर एका व्यक्तीस एका वेळेस एकापेक्षा अधिक कामे दिल्यास निर्माण होणाऱ्या व्यक्ती आणि कामांच्या संबधाचे फलन होऊ शकत नाही.

कार्तीय गुणाकाराद्वारे (Cartesian Product) फलनाची  गणितीय परिभाषेत व्याख्या पुढीलप्रमाणे करतात.

फलन : समजा A आणि  B हे दोन अरिक्त संच आहेत व A\times B हा त्यांचा कार्तीय गुणाकार आहे. खालील अट पूर्ण करणाऱ्या A\times B च्या f  या अरिक्त उपसंचास A पासून B पर्यंतचे फलन असे म्हणतात.

अट १ : प्रत्येक x \in A साठी B संचामध्ये एक आणि एकच घटक  y असा अस्तित्वात असतो की  (x, y) \in f . हे  y=f(x) अशा पद्धतीने लिहिता येते.

अट २ : A या संचातील प्रत्येक घटकास B या संचातील एक आणि एकच घटक  f या संचामधील असतो. म्हणजेच,  जर (x, y_1) आणि  (x, y_2) हे f या संचाचे घटक असतील तर   y_1 = y_2 असते.

उदा., जर A = \{1, 2\} व B = \{a, b, c\}, तर A\times B हा त्यांचा कार्तीय गुणाकार आहे.

A\times B = \{(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)\}.

A\times B या संचाचा उपसंच f=\{(1, a), (2, c)\} पासून मिळणारे फलन f: A \rightarrow B, f(1) = a, f(2) = c असे लिहिता येईल.  मात्र \{(1, a), (1, b), (2, c)\} या उपसंचाचे फलन होत नाही, कारण इथे A मधील 1 हा घटक B मधील a व b या दोन घटकांना निर्देशित करतो. या उदाहरणात A\times B चे आणखी काही उपसंच आहेत जे फलन आहेत.

सर्वसाधारणपणे, फलन हे कार्तीय गुणाकाराच्या भाषेत न मांडता ते सूत्र रूपाने मांडतात. आपण ते खालील उदाहरणाद्वारे समजून घेऊ.

समजा \mathbb{R} हा वास्तव संख्यांचा संच आहे. प्रत्येक वास्तव संख्या x ला तिचा वर्ग x^2 निर्देशित करणारे फलन, f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} चे सूत्र f(x) = x^2 असे लिहिता येईल.

स्थिर फलन : जर फलन f : A \rightarrow B हे A मधील सर्व घटकांसाठी B मधील फक्त एकच घटक निर्देशित करत असेल तर f ला स्थिर फलन म्हणतात. जसे की, f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)= 5 हे एक स्थिर फलन आहे.

समीक्षक – विनायक जोशी

Tags: ,

प्रतिक्रिया व्यक्त करा