परिपूर्ण संख्या (Perfect Numbers)

एखाद्या नैसर्गिक संख्येला ज्या धनपूर्णांक शून्येतर संख्यांनी नि:शेष भाग जातो त्या संख्यांना दिलेल्या संख्येचे ‘विभाजक’ असे म्हणतात. उदा., शंभर या संख्येला 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 आणि 100 या संख्यांनी नि:शेष भाग जातो. म्हणजे 100 या संख्येच्या विभाजकांचा संच {1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100}

  • विभाजक म्हणजे ‘वि शेषेन भाजते स: विभाजक: ।’
  • प्रत्येक संख्येला 1 आणि ती संख्या यांनी नि:शेष भाग जातो.
  • ज्या संख्येला केवळ दोनच विभाजक असतात त्या संख्येला मूळ संख्या (किंवा अविभाज्य संख्या) असे म्हणतात.
  • ज्या संख्येच्या विभाजकांची बेरीज त्या संख्येएवढी असते त्या संख्येला ‘परिपूर्ण संख्या’ असे म्हणतात.

उदा., सहा या संख्येला 1, 2, 3 आणि 6 या नैसर्गिक संख्यांनी भाग जातो आणि 1 + 2 + 3 = 6 म्हणून 6 ही ‘परिपूर्ण संख्या’ आहे. 28 या संख्येचे विभाजक 1, 2, 4, 7, 14 आणि 28 हे आहेत आणि 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28 म्हणून 28 ही ‘परिपूर्ण संख्या’ आहे.

  • 6, 28, 496, 8128, 33550336, 8589869056, 137438691328, … या संख्या परिपूर्ण संख्या आहेत.
  • संगणकाच्या मदतीने ‘परिपूर्ण संख्या’ शोधता येतात. मात्र कोणतीही ‘विषम संख्या (2 ने विभाज्य नसणारी)’ परिपूर्ण असल्याचे आढळून आलेले नाही.
  • 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, … ही एक भूमिती श्रेणी आहे. यापैकी काही संख्यांमधून ‘एक’ वजा केला असता मूळ संख्या मिळतात. उदा., 4 – 1 = 3, 8 – 1 = 7, 32 – 1 = 31, 128 – 1 = 127, 8192 – 1 = 8191, …. आणि 3 × 2, 7 × 4, 31 × 16, 127 ×  64, 8191 × 4096, … या परिपूर्ण संख्या आहेत.
  • (2^n - 1) ही एक अविभाज्य (किंवा मूळ) संख्या असेल तर (2^n - 1) \times 2^{(n-1)} ही परिपूर्ण संख्या असते. (n ही एकपेक्षा मोठी नैसर्गिक संख्या)

 

समीक्षक : उल्हास दीक्षित

Tags: ,