फलनाचे सांतत्य (Continuity of a function)

समजा दिलेल्या $A$ या वस्तूची किंवा घटकाची किंमत ही $B$ ह्या दुसऱ्या वस्तूच्या किंवा घटकाच्या किंमतीवर अवलंबून आहे. साधारणपणे, हे जाणुन घेणे महत्त्वाचे असते की $A$ च्या किमतीत घडणारा बदल हा $B$ ह्या आधारभूत घटकाच्या किमतीतील बदलावर कशा रीतीने अवलंबून आहे. उदाहरणार्थ, एखाद्या ठिकाणचे तापमान अथवा हवेचा दाब हे वेळेचे (time) फलन आहे. त्या फलनाची किंमत ही जशी वेळ बदलेल तशी बदलत असते. बहुतांशी हा बदल संततपूर्ण /सांतत्यपूर्ण (continuous) होत असतो, परंतू काही वेळेस तो असंतत (discontinuous) / अकस्मात होतो. जसे की, वादळी पावसामुळे एखाद्या ठिकाणचे दिलेल्या वेळेला तापमान / हवेचा दाब अकस्मात कमी किंवा जास्त होणे. ढोबळमानाने त्या ठिकाणचे तापमान / हवेचा दाब हे त्या ठराविक वेळेला असंतत असते. गणितीय परिभाषेत संतततेची / सांतत्याची संकल्पना पुढीलप्रमाणे स्पष्ट करता येऊ शकते :

समजा $y= f(x)$ हे फलन आहे. $f$ हे फलन $x=a$ या बिंदूपाशी/ बिंदूच्याठायी संतत असण्याकरता पुढील अटी पूर्ण व्हायला पाहिजेत-

$f(a)$ अस्तित्वात पाहिजे व सांत पाहिजे,

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow a} f(x)$ अस्तित्वात असली पाहिजे, व

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow a} f(x) = f(a)$ असली पाहिजे.

सोप्या भाषेत, वरील संतततेची संकल्पना पुढील प्रमाणे स्पष्ट करता येईल: जेव्हा जेव्हा $b$ हा प्रांतबिंदू $a$ च्या जवळ असेल तेव्हा तेव्हा $f(a)$ हा सहप्रांतबिंदू $f(b)$ च्या जवळ असतो. म्हणजेच, जवळील प्रांत बिंदूवरील फलनाचे मूल्य अकस्मातपणे बदलत नाही.