वल्ली

कुट्टक म्हणजे कूट प्रश्न. प्राचीन भारतीय गणित साहित्यात अनेक कुट्टके आढळून येतात. सामान्यतः ही कुट्टके (problems) एकचल (one variable), द्विचल(two variable) किंवा बहुचल (many variable) समीकरणे असतात. दोन किंवा अधिक चले असणाऱ्या समीकरणांना प्रचलित भाषेत अनेकवर्ण समीकरणे असे म्हणतात. समीकरणांची उकल करणे म्हणजे त्या समीकरणात असलेल्या चलाची किंवा चलांची किंमत शोधणे होय.

प्राचीन साहित्यातील कुट्टकांमध्ये बहुतेक ठिकाणी दोन चलांचा उपयोग असणारी अनेक उदाहरणे आहेत. त्या उदाहरणांची उकल करण्यासाठी एकच समीकरण मांडता येते. कुट्टकाची उकल करताना त्यातील चलांच्या ‘पूर्णांक’ किमती शोधणे अपेक्षित असते. काही कुट्टकांना केवळ एकच उकल असते आणि काही कुट्टकांना अनेक उकली असू शकतात. तसेच काही कुट्टकांना उकली अस्तित्वात नसतात.

सामान्यतः द्विवर्ण कुट्टकांचे स्वरूप $ax+b = py$ या स्वरूपाचे असते.यापैकी $a$ हा भाज्य, $b$ हा क्षेपक आणि $p$ हार होय. $x$ आणि $y$ ही दोन चले आहेत. $x$ आणि $y$ ला गुण आणि लब्धि असेही म्हटले जाते. इथे $x$ आणि $y$ च्या किंमती पूर्णांकात शोधावयाच्या असतात.

कुट्टकाची उकल शोधताना एकापेक्षा अधिक पायऱ्यांचा (किंवा काल्पनिक चलांचा) उपयोग करावा लागतो. कुट्टकाच्या उदाहरणातील तयार केलेले दृढभाज्य आणि दृढहार यांनी परस्परांना भागावे व अशी भागाकार क्रिया बाकी शून्य उरेपर्यंत करावी. ज्या ज्या लब्धी येतील त्या एकाखाली एक क्रमाने मांडून त्यांच्या खाली दृढक्षेपक मांडावा व त्या क्षेपकाखाली शून्य मांडावे. याप्रमाणे ‘ऊर्ध्वाधर पंक्ती’ (column) तयार होते. तिला ‘वल्ली’ असे म्हणतात.

उदा., भास्कराचार्य (द्वितीय) यांनी लिहिलेल्या सिद्धांतशिरोमणी या ग्रंथातील, बीजगणित या विभागातील कुट्टक विवरण या अध्यायातील श्लोक क्रमांक 61 हा पुढीलप्रमाणे आहे.

शतं हतं येन युतं नवत्यां विवर्जितं वा विह्ऋतं त्रिषष्ट्या।

निरग्रकं स्याद्वद मे गुणं तं स्पष्टं पटीयान्यदि कुट्टकेSसि।।

या श्लोकाचा अर्थ असा आहे की, जिने (ज्या संख्येने) 100 ला गुणून (शतं हतं) 90 मिळविले अथवा वजा केले असता (नवत्यां विवर्जितं वा विह्ऋतं) येणाऱ्या संख्येला 63 ने नि:शेष भाग जातो, अशी संख्या / गुण अचूक सांग. या श्र्लोकात दोन कुट्टके आहेत.

(1) $100x + 90 = 63y$

(2) $100x - 90 = 63y$

यांपैकी दुसऱ्या समीकरणाची उकल पाहू. या समीकरणात $a$ (भाज्य)=100, $b$ (क्षेपक) = -90 आणि $p$ (हार) = 63. यावरून $x$ आणि $y$ च्या पूर्णांक असणाऱ्या किंमती शोधायच्या आहेत. या कुट्टकाला अनेक उकली आहेत. यासाठी पुढील पायऱ्यांच्या आधारे ‘वल्लीची’ मांडणी करता येईल.

पायऱ्या

वल्ली

चलांच्या किंमती

$63y = 100x-90$

$= 37x+63x-90$

$y = x + \frac{(37x-90)}{63}$

(63)

$y=70$

समजा

$a = \frac{(37x-90)}{63}$

$37x = 63a+90$

$= 37a+26a+90$

$x = a + \frac{(26a+90)}{37}$

(37)

$x=45$

समजा

$b = \frac{(26a+90)}{37}$

$a = b + \frac{(11b-90)}{26}$

(26)

$a=25$

समजा

$c = \frac{(11b-90)}{26}$

$b = 2c+\frac{4c+90}{11}$

(11)

$b=20$

समजा

$d = \frac{(4c+90)}{11}$

$c = 2d + \frac{3d-90}{4}$

(4)

$c=5$

समजा

$e = \frac{(3d-90)}{4}$

$d = \frac{e}{3} + (e + 30)$

(3)

$d=10$

$e=-15$

‘दोन पूर्णांकांची बेरीज पूर्णांक संख्याच असते’. येथे $x, y, a, b, c, d, e$ या सर्व संख्या पूर्णांक आहेत.

$e$ ला विविध किंमती देऊन $x$ च्या विविध किंमती शोधता येतील. $e$ ही तीनच्या पूर्ण पटीतील संख्या आहे.म्हणून $e=-15$ तर $d =10, c = 5 , b= 20, a=25$ या पूर्णांक किंमती होय. म्हणजे $x=45$ असताना $y= 70$ ही एक उकल प्राप्त होइल.