झीनो हे एक ग्रीक तत्त्ववेत्ता व गणितज्ञ इ. स. पू. 490 च्या सुमारास ग्रीस मधील इलीआ (आत्ता हे शहर इटलीमध्ये आहे) या शहरात होऊन गेले. झीनो हे ग्रीक तत्त्वज्ञ पार्मेनिडीझ (Parmenides) यांचे शिष्य होते. झीनो यांनी केलेल्या विरोधाभासांचे पुढील चार प्रकार पाडता येतील : (१) अनेकतेचे खंडन करणारे (Paradox of Plurality), (२) गतीचे खंडन करणारे (Paradox of Motion), (३) वस्तूचे ‘स्थान’ याविषयीचे खंडन करणारे (Paradox of Place) आणि (४) इंद्रियसंवेदन अप्रमाण असते हे दाखवू पाहणारा ‘धान्याच्या ढिगा’चा विरोधाभास (Paradox of the Grain of Millet).
या चार प्रकारांपैकी गतीचे खंडन करणारे विरोधाभास यामध्ये, द्विभाजन (The Dichotomy), अकिलीझ (The Achilles), सुटलेला बाण (The Flying Arrow) आणि द्वंद्वमंच (The Stadium) हे चार विरोधाभास अंतर्भूत आहेत.
या चार विरोधाभासांपैकी अकिलीझ हा विरोधाभास अतिशय प्रसिद्ध आहे. हा विरोधाभास ‘अकिलीझ आणि कासव’ या नावाने ओळखला जातो. ग्रीक पुराणकथांनुसार अकिलीझ हा एक योद्धा होता. झीनो यांच्या विरोधाभासानुसार अकिलीझ आणि कासव यांच्यातल्या एका शर्यतीची कल्पना केली आहे. अकिलीझ आणि कासव यांनी एकाच रेषे पासून जर पळायला सुरुवात केली तर अकिलीझ शर्यत जिंकणार हे नक्की! परंतु अकिलीझ आणि कासव यांची शर्यत एकाच रेषेपासून सुरू न करता अकिलीझला जर कासवाच्या मागे काही अंतर उभे केले तर मात्र शर्यत सुरू झाल्यावर कासव शर्यतीच्या सुरवातीला जिथे उभे होते तिथे अकिलीझ पोहोचेपर्यंत कासव थोडेसे अंतर पुढे गेलेले असेल. अकिलीझ ते अंतर कापेपर्यंत कासव आणखी थोडे पुढे गेले असेल. हा तर्क जर पुन:पुन्हा लावला तर प्रत्येकवेळी अकिलीझ कासवाला गाठेपर्यंत कासव अगदी थोडेसे का होईना अंतर पुढे गेलेले असेल. या तर्कानुसार झीनो यांनी असे मत मांडले की, अकिलीझ प्रत्येकवेळी कासवाच्या जवळजवळ जात राहील पण कासवाला कधीही गाठू शकणार नाही.
उदाहरणार्थ, समजा एखाद्या व्यक्तीला ‘अ’ या स्थानापासून 500 मीटर अंतरावर असलेल्या ‘ब’ या स्थानापर्यंत जायचे असेल तर त्याला प्रथम अर्धे अंतर म्हणजेच 250 मीटर अंतर पार करावे लागेल. याचा दुसरा अर्थ असा की ‘ब’ या स्थानापर्यंत पोहोचायला अजून 250 मीटर अंतर शिल्लक राहील. हे शिल्लक राहिलेले 250 मीटर अंतर कापायला त्याला आधी त्याच्या अर्धे अंतर म्हणजेच 125 मीटर अंतर कापावे लागेल. म्हणजेच ‘ब’ या स्थानापर्यंत पोहोचायला अजून 125 मीटर शिल्लक राहील. हे शिल्लक राहिलेले 125 मीटर अंतर कापायला त्याला आधी त्याच्या अर्धे म्हणजेच 62.5 मीटर अंतर कापावे लागेल. हे शिल्लक राहिलेले 62.5 मीटर अंतर कापण्यासाठी त्याला आधी 31.25 मीटर इतके अंतर कापावे लागेल. अशाप्रकारे त्या व्यक्तीला प्रत्येकवेळी ‘ब’ या स्थानापर्यंत पोहोचण्यास जितके अंतर कापायचे असेल त्याच्या अर्धे अंतर कापावे लागेल. म्हणजेच ब या स्थानापर्यंत पोहोचायला काही अंतर कापायचे शिल्लक राहिलेलेच असेल. याचाच अर्थ असाही होतो की, ती व्यक्ती ‘ब’ या स्थानाच्या जवळजवळ जाताना दिसेल परंतु तो ‘ब’ या स्थानापर्यंत कधीही पोहोचू शकणार नाही. यात विरोधाभास असा की वास्तवात आपला अनुभव असा असतो की आपल्या वेगानुसार ती व्यक्ती काही काळाने ‘ब’ या स्थानापर्यंत पोहोचते, पण झीनो यांच्या विरोधाभासानुसार ती ‘ब’ या स्थानापर्यंत पोचणार नाही.
गणिताच्या भाषेत त्या व्यक्तीने कापलेले अंतर खालील प्रमाणे मांडले जाते :
अशा प्रकारच्या संख्यांच्या मांडणीला श्रेढी (Series) असे म्हटले जाते. ही श्रेढी कधीही न संपणारी असल्यामुळे तिला अनंत श्रेढी (Infinite Series) असे म्हणतात. गणितात झालेल्या प्रगतीनुसार या विरोधाभासावर अशी तोड काढली जाते की, वरील श्रेढीतीली संख्यांची बेरीज 1 एवढी येते. त्यामुळे काही काळाने ती व्यक्ती ‘ब’ या स्थानापर्यंत पोहोचेल. याच तर्कानुसार अकिलीझही कासवाला विशिष्ट काळानंतर गाठेल असे म्हणता येते. विशिष्ट काळात अनंत क्रिया करता येणार नाहीत ही कल्पना नेहमीच बरोबर असते असे नाही.
झीनो यांच्या विरोधभासामुळे अवकाश आणि काळ (Space and Time) यांच्या स्वरूपावर चर्चा सुरू झाली. गणितातल्या एखाद्या गोष्टीचे अनंत भागांत विभाजन करायचे आणि त्या गोष्टीच्या किंमतीच्या अगदी जवळ जायचे (Limits), अनंत श्रेढी, अवकाश आणि काळ यांचे तुटक स्वरूप अशा काही गणिती संकल्पनांना चालना मिळाली.
संदर्भ :
- Joseph Mazur, Zeno’s paradox: Unraveling the Ancient Mystery Behind the Space and Time, Penguin -A Plume Book (2007)
- Steven G.Krantz, An episodic history of mathematics: Mathematical culture through problem solving, Mathematical Association of America (2010)
- Zeno’s paradoxes edited by Wesley C. Salman, Hackett Publishing Company (2010)
- Collier’s Encyclopedia Vol 23.
- https://plato.stanford.edu/entries/paradox-zeno/
- मराठी तत्त्वज्ञान – महाकोश, प्रथम खंड.
समीक्षक : डॉ. शशिकांत कात्रे
