निसर्गातल्या आकारांमध्ये नेहमी सममिती किंवा प्रमाणबद्धता (Symmetry) बघायला मिळते. असे असले तरी जर बारकाईने निरीक्षण केले तर असे लक्षात येते की हे आकार वाटतात तितके प्रमाणबद्ध नसून त्यात बरीच गुंतागुंत (Complexity) आहे. त्यामुळे निसर्गातल्या आकारांमधल्या गुंतागुंतीचा अभ्यास करायला अपूर्णमितीय किंवा फ्रॅक्टल भूमितीचा वापर केला जातो. या भूमितीमध्ये ‘स्वसाधर्म्य’ या गुणाला फार महत्‍त्व आहे.
ही भूमिती यूक्लिड यांनी मांडलेल्या (यूक्लिडीय भूमिती) भूमितीपेक्षा वेगळी आहे. यूक्लिडीय भूमितीमध्यॆ, एखाद्या आयताचे क्षेत्रफळ किंवा परिमिती काढायची असेल तर त्यासाठी सूत्र आहॆ. तसेच एखाद्या वर्तुळाचे क्षेत्रफळ किंवा परिमिती काढायची असेल तर त्यासाठीही सूत्र आहॆ. पण हेच जर एखाद्या समुद्रकिनाऱ्याची लांबी काढायची झाली तर मात्र प्रश्न निर्माण होतो. यूक्लिडीय भूमिती वापरून जर त्या समुद्रकिनाऱ्याची लांबी काढली तर त्यात त्रुटी येते. कारण ही लांबी मॊजपट्टीनुसार बदलू शकतॆ. तसेच दोन देशांमध्ये जी सामायिक सीमारेषा असते, तिची लांबी जेव्हा दोन्ही देश मोजतात तेव्हा तिच्यात फरक येऊ शकतो. उदा. 1930 च्या दशकात ल्युईस रिचर्डसन [Lewis Fry Richardson, (11 October 1881 – 30 September 1953] या ब्रिटीश शास्त्रज्ञाने ‘स्पेन आणि पोर्तुगाल’ या देशांमधल्या विश्वकोशांवरून त्यांच्यामधल्या सामायिक सीमारेषांचा अभ्यास केला त्यावेळी त्यांच्या असे लक्षात आले की दोन देशांच्या नोंदींमध्ये (सीमारेषांची लांबी) साधारण २० टक्क्यांचा फरक हॊता. बेल्जियम आणि नेदरलँड या दोन देशांमध्ये जी सामायिक सीमारेषा आहे तिच्या बाबतीतही हाच अनुभव ल्युईस रिचर्डसन यांना आला.
हा प्रश्न अपूर्णमितीय किंवा फ्रॅक्टल भूमितीचा वापर करून समजून घेता येतो. जसॆ रॆषा एकमितीय, प्रतल द्विमितीय आणि घन त्रिमितीय असतात, तसॆ़च काही आकृती किंवा वस्तू अशा असू शकतात की ज्यांची मिती ही अपूर्णांक असू शकतॆ. अशा आकृत्या, खाली विशद कॆल्याप्रमाणॆ, स्वसाधर्म्यिक असतात.
‘अपूर्णमितीय’ किंवा ‘फ्रॅक्टल’ भूमितीची कल्पना बॆनवॉ मँडेलब्रॉट (Benoit B. Mandelbrot (1924 – 2010) या गणितज्ञानी 1960 च्या दशकात गणिताबाहॆर लॊकप्रिय कॆली व त्यावर बरॆच संशॊधनही कॆलॆ.
परंतु या संकल्पनॆची बीजॆ फार आधीच रॊवली गॆली हॊती.१८७२ मध्ये कार्ल वायरस्ट्रास (Karl Theodor Wilhelm Weierstrass) यांनी सर्वप्रथम अशा एका फलनाची (function) आलेखासहीत व्याख्या दिली की ज्याला आज अपूर्णमितीय आकृती म्हणता येईल. हे फलन सर्वत्र सलग असूनही कोठेही अवकलनीय (differentiable) नसते.
त्यावरून प्रेरित होऊन १८८३ मध्ये जॉर्ज कँटर (Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor : February 19, 1845 – January 6, 1918) यांनी संख्यारेषेवर असलेल्या अशा काही उपसंचांची उदाहरणे शोधून काढली की ज्यांना असे वेगळे गुणधर्म लागू होतात. त्यांना ‘कँटरचे संच’ म्हणून ओळखले जाते. पुढे १९०४ मध्ये फॉन कोख (von Koch-Niels Fabian Helge von Koch (25 January 1870 – 11 March 1924) ह्या स्वीडिश गणितज्ञानी भूमितीय व्याख्या करून अशा फलनांची काही चित्रे काढली. त्यांना ‘कोखचे हिमकण’ म्हटले जाते. नंतर १९१८ मध्ये Felix Hausdorff (1868-1942) and Abram Besicovitch (1891-1970) यांनी मितींच्या (Diamension) व्याख्यांमध्ये सुधारणा करून अपूर्णमितीचा समावेश केला. त्यांनी असे दाखवून दिले की काही वक्राची मिती ही एकमितीय रेषा आणि द्विमितीय प्रतल यांच्यामधली म्हणजेच अपूर्णांक असते. या आकृतींचे वेगळेपण म्हणजे ह्यांची प्रत्येक बाजू ठराविक पूर्णांकाने गुणल्यास संपूर्ण आकृतीचे क्षेत्रफळ एखाद्या अपूर्णांकाने (त्या पूर्णांकाचा एखादा अपूर्णांकी घात) गुणले जाऊ शकते.
अपूर्णमितीय आकृतीचा कोणताही भाग जवळून पाहिल्यास संपूर्ण आकृतीस समरूप भासतो. या आकृतींचा एकेक भाग उलगडत नेल्यास पुन्हा तोच तोच आकार दृष्टीस पडतो. उदा. कॉलीफ्लॉवर या भाजीचा गड्डा. या गड्ड्यातील कोणत्याही एका छोट्या भागाचा आकार हा पूर्ण गड्ड‌्या सारखाच दिसतो. यालाच स्वसाधर्म्य असे म्हणतात. अपूर्णमितीय आकृतींचा स्वसाधर्म्य हा महत्त्वाचा गुणधर्म आहे. मँडेलब्रॉट यांनी स्वसाधर्म्य असलेल्या अनेक आकृती निर्माण केल्या. त्यांना एकत्रितपणे ‘मँडेलब्रॉटचा संच’ म्हटले जाते.
स्वसाधर्म्य ही संकल्पना फॉन कोख यांच्या “कोखचा वक्र” या अपूर्णमितीय आकृतीद्वारे अधिक चांगल्या प्रकारे समजून घेणे शक्य आहे. ही अपूर्णमितीय आकृती पुढील प्रक्रियेद्वारे काढता येते.
सुरुवातीला एक त्रिकोण घ्या. त्याच्या प्रत्येक बाजूची लांबी ‘3’ इतकी आहे असे समजू. म्हणजे त्रिकोणाची परिमिती ‘9’ इतकी झाली. त्याच्या प्रत्येक बाजूचॆ तीन समान भाग करा. प्रत्यॆक बाजूचा मधला भाग काढून त्याठिकाणी ‘1’ लांबीच्या समभुज त्रिकॊणाच्या दॊन बाजू जॊडा (आकृती १ आ). आता तयार झालेल्या आकृतीची परिमिती ‘12’ इतकी होईल. आता ही कृती या आकृतीच्या प्रत्यॆक ‘1’लांबीच्या बाजूवर करा. नवीन आकृतीची परिमिती ‘16’ इतकी होईल (आकृती १ आ). थोडक्यात, आपण जशी ही कृती करत जाऊ, तशी नवीन आकृतीची परिमिती आधीच्या आकृतीच्या 4/3 पट होत जाईल. ही कृती अनंत वॆळा करत राहिल्यास एकूण परिमिती 4/3 च्या पटीत वाढत वाढत जाऊन अनंत होईल. या आकृतीला ‘कोखचा वक्र’असे म्हटले जाते. ह्या आकृतीच्या कोणत्याही एका भागात भिंगाने पाहण्याचा प्रयत्न केला तर असे लक्षात येते की जसे जसे त्या आकृतीच्या आत जात राहतॊ तसे तसे तोच तोच आकार आपल्याला दिसत राहतॊ. हा स्वसाधर्म्याचा गुणधर्म वस्तूंना एका ठराविक छोट्या आकारात सामावून देखील खूप मोठी लांबी देतो. त्याचप्रमाणे त्रिमितीमध्ये एका ठराविक छोट्या आकारात प्रचंड मोठे किंवा अनंत क्षेत्रफळ सामावले जाऊ शकते. तसॆच, या वक्राची लांबी मॊजपट्टीनुसार बदलत जातॆ. मॊजपट्टी जितकी छॊटी तितकीच लांबी जास्त.
काही अपूर्णमितीयाकृती अचूक स्वसाधर्म्य साधतात (उदा. कोखचा वक्र), काही साधारण स्वसाधर्म्य साधतात (उदा. मँडेलब्रॉटचा संच), तर काही संख्याशास्त्रीय स्वसाधर्म्य साधतात (उदा. भौगोलिक सीमारेषा). निसर्गामध्ये ढग, पर्जन्यक्षेत्र, पर्वतरांगा, सागरलाटा, शनीची कडी, झाडे, फ्लॉवरची भाजी अशा अनेक ठिकाणी अपूर्णमितीयाकृतींचे गुणधर्म आढळून येतात.
आपले फुफ्फुस आणि रक्तवाहिन्या ही अशा भूमितीची उत्तम उदाहरणे आहेत. ही भूमिती फक्त गणित नाही तर जीवशास्त्र, भूगोल, पदार्थ विज्ञान, स्थापत्यशास्त्र अशा अनेक क्षेत्रांमध्ये उपयोगी आहे आणि वापरली जाते. चित्रपटातील ॲनिमेशन्स आजकाल अपूर्णमितीय भूमिती वापरून बनवली जातात आणि त्यामुळे आणखीन खऱ्यासारखी वाटतात.
संदर्भ :
- Benoit B. Mandelbrot, The Fractal Geometry of Nature, Published by Henry Holt and Company, 1983.
- Carl Bovill, Fractal Geometry in Architecture and Design, Publisher Springer Science 1996.
- Philip M. Iannaccone; Mustafa Khokha, Fractal Geometry in Biological Systems: An Analytical Approach, Published by CRC press 1995.
- Heinz-Otto Peitgen; Hartmut Jurgens; Dietmar Saupe, Chaos and Fractals, Publisher- Springer, 1992.
- James R Munkres, Topology, Publisher Pearson Education Inc 2000.
समीक्षक : डॉ. किरण कोळवणकर
