ज्येष्ठ संख्याशास्त्रज्ञ सर हॅरॉल्ड जेफ्रीज यांच्या मते, संभाव्यता शास्त्रामध्ये बेजच्या प्रमेयाचे स्थान हे भूमितीमधील पायथॅगोरसच्या प्रमेयाच्या स्थानाइतकेच महत्त्वाचे आहे. या प्रमेयाचा शोध थॉमस बेज यांनी 1763 मध्ये लावला. पुढे 1774 मध्ये लाप्लास यांनी स्वतंत्रपणे हे सूत्र परत शोधून काढले. प्रत्येक घटनेची संभाव्यता ही त्या घटनेसंबंधित इतर घटनांच्या घडण्यावर किंवा न घडण्यावर अवलंबून असते. अशा इतर घटनांची माहिती न वापरता काढलेल्या संभाव्यतेस अनुभवपूर्व संभाव्यता असे म्हणतात. इतर संबंधित घटनांची माहिती विचारात घेतल्यानंतर मूळ घटनेची सशर्त (या संबंधित माहितीवर आधारित) संभाव्यता बदलते. त्यास अनुभवोत्तर संभाव्यता असे म्हणतात. अनुभवपूर्व संभाव्यता आणि सशर्त संभाव्यता यांच्या मदतीने अनुभवोत्तर संभाव्यता काढण्यासाठी बेजच्या प्रमेयाचा वापर होतो. याच प्रमेयाच्या आधारावर बेजीय अनुमान (Bayesian analysis) या संख्याशास्त्रातील स्वतंत्र शाखेचा विकास झाला आहे.
उदाहरणार्थ, क्रिकेटच्या सामन्याच्या वेळी महाजालकाद्वारे धावसंख्या शोधण्याचा प्रयत्न केल्यास, धावसंख्येबरोबरच प्रत्येक संघाची जिंकण्याची संभाव्यतादेखील दर्शविली जाते. ही संभाव्यता सतत बदलत असते. सामन्यातील त्या वेळेपर्यंतची धावसंख्या, कोणते खेळाडू बाद झाले आहेत, किती षट्‌के शिल्लक आहेत या सर्व माहितीच्या आधारे ही संभाव्यता काढली जाते. साहजिकच, सामन्याच्या बदलत्या स्थितीनुसार ही संभाव्यता सतत बदलत असते. अशाप्रकारे अद्ययावत माहितीचा वापर करून अनुभवोत्तर संभाव्यता काढणे हा बेजच्या प्रमेयाचा प्रमुख उपयोग आहे.
जीमेल मध्ये स्वयं उत्तराची एक नवीन सोय सुरू झाली आहे. आलेल्या इ-मेलला त्वरित उत्तर देण्यासाठी जीमेलद्वारे तीन वाक्ये सुचवली जातात. जीमेलकडे अशा उत्तरादाखल वापरता येणाऱ्या अनेक वाक्यांचा साठा आहे. त्यांपैकी कोणती तीन वाक्ये दाखवावी हे देखील बेजच्या प्रमेयाद्वारे ठरविता येऊ शकते. या सर्व पर्यायी उत्तरांची अनुभवपूर्व संभाव्यता आणि आलेल्या इ-मेलमधील शब्दांची त्या त्या उत्तरामधील सशर्त संभाव्यता यांच्या आधारे सर्व पर्यायी उत्तरांची अनुभवोत्तर संभाव्यता बेजच्या प्रमेयाद्वारे काढून ज्या उत्तरांची अनुभवोत्तर संभाव्यता सर्वाधिक आहे, अशी तीन उत्तरे सुयोग्य पर्याय म्हणून सुचवली जाऊ शकतात.
बेजच्या प्रमेयाचा वापर संभाव्यता काढण्यासाठी नेमका कसा केला जातो, हे पुढील उदाहरणाच्या माध्यमातून समजून घेता येईल. समजा एका दुर्मिळ आजाराची काही लक्षणे एका व्यक्तीच्या शरीरात आढळून आली आहेत. हा आजार शंभरात एकाला होतो. हा आजार असलेल्या रुग्णांमध्ये ही लक्षणे आढळण्याची शक्यता 100% आहे. तसेच, हा आजार नसतानादेखील अशी लक्षणे आढळण्याची शक्यता केवळ 10% आहे. अशा परिस्थितीत आपल्या शरीरात लक्षणे आढळून आल्यामुळे साहजिकच ती व्यक्ती अस्वस्थ आहे. पण खरंच त्या व्यक्तीला हा आजार असण्याची शक्यता किती आहे, ते बेजच्या प्रमेयाचा वापर करून ठरवूयात.
समजा घटना 
= आजार असणे आणि घटना, 
= लक्षणे आढळून येणे. आजार नसणे ही घटना 
या संकेतनाने दर्शवूयात.
वर दिलेल्या माहितीनुसार,
- या घटनेची समासी / अनुभवपूर्व संभाव्यता =
= 
- त्यावरून
अशी येते. - या घटनेच्या सशर्त संभाव्यता पुढीलप्रमाणे आहेत.
आता व्यक्तीच्या शरीरात लक्षणे दिसत असताना, आजार असण्याची अनुभवोत्तर संभाव्यता 
काढूयात.
बेजच्या प्रमेयानुसार, ही संभाव्यता खालील सूत्राद्वारे काढता येते.
म्हणजेच, व्यक्तीच्या शरीरात या दुर्मिळ आजाराची लक्षणे आढळून आली, तरीदेखील प्रत्यक्षात हा आजार असण्याची शक्यता केवळ 9.2% आहे. वरकरणी अविश्वसनीय वाटणाऱ्या या उत्तरामागचे प्रमुख कारण हे त्या आजाराचे दुर्मिळ असणे हे आहे. या आजाराची अनुभवपूर्व संभाव्यता अतिशय कमी असल्यामुळे, त्याची अनुभवोत्तर संभाव्यतादेखील कमी आहे.
अशाप्रकारे, रोगनिदान चाचण्यांची विश्वासार्हता तपासणे, इ-मेल उपयोगी आहे की निरुपयोगी (उपद्रवी) आहे हे ठरविणे, यांत्रिक भाषांतराच्या वेळी एखाद्या शब्दाच्या अनेक अर्थांमधून योग्य तो अर्थ निवडणे, वस्तू/व्यक्तींच्या गुणधर्मानुसार त्यांचे वर्गीकरण करणे अशा अनेक कामांमध्ये बेजच्या प्रमेयाचा उपयोग होतो. सध्या झपाट्याने प्रगत होणाऱ्या कृत्रिम बुद्धिमत्ता क्षेत्रातही बेजच्या प्रमेयाचा उपयोग होतो.
बेजचे प्रमेय आणि पर्यायाने बेजीय अनुमान या दोहोंमध्ये, प्रामुख्याने, बदलत्या अनुभवांनुसार बदलती संभाव्यता हे प्रमुख तत्त्व आहे. त्यामुळेच आजच्या माहितीच्या महापुराच्या युगात सतत मिळणाऱ्या नवनवीन माहितीचा वापर करून घेण्याकरिता हे प्रमेय अतिशय उपयोगी ठरत आहे.
संदर्भ :
- Daniel, Wayne, Biostatistics : a foundation for analysis in the health sciences (Ninth ed.),(2009).
- Wasserman, Larry, All of Statistics : A Concise Course in Statistical Inference, (2003).
समीक्षक : मनोहर राजर्षि
