प्रशियाची (उत्तर-मध्य जर्मनीतील 1947 पूर्वीचे जर्मन साम्राज्य) राजधानी कोनिग्झबर्ग (सध्याचे कलिनिन्ग्राद, रशिया) ह्या शहरातून प्रेगेल नावाची नदी वाहत होती. तिच्या दोन्ही तीरांवर कोनिग्झबर्ग पसरलेले होते. नदीच्या एका तीरावरून दुसऱ्या तीराकडे जाण्यासाठी तसेच शहराच्या दोन बेटांवर पोहोचण्यासाठी ह्या सर्वांना जोडणारे सात पूल बांधले गेले होते. ब्लॅकस्मिथ ब्रिज, कनेक्टिङ्ग ब्रिज, ग्रीन ब्रिज, मर्चण्ट्स ब्रिज, वूडन ब्रिज, हाय ब्रिज आणि हनी ब्रिज अशी त्यांची नावे होती, तर खाली दिलेल्या चित्रानुसार त्यांची साधारण रचना होती.
अठराव्या शतकात कोनिग्झबर्ग मधील गुंतागुंतीची संरचना असलेल्या सात पुलांच्या आसपासचा परिसर म्हणजे एक प्रेक्षणीय स्थळ बनले होते. लोककथांनुसार या पुलांच्या संदर्भात उद्भवलेला एक प्रश्न असा की, सदर परिसरातील कोणताही बिंदू हा आरंभबिंदू मानून प्रवासाला सुरुवात करायची व मूळ बिंदूपाशी परत यायचं. ह्या प्रवासात हे सातही पूल पार झाले पाहिजेत व तेही फक्त एकदाच! ही अट पाळून अशाप्रकारे प्रवास करणे कोणालाही शक्य झाले नाही तेव्हा स्विस गणितज्ञ लेनर्ड ऑयलर यांनी हा सगळा प्रकार समजून घेण्यास व त्या विशिष्ट प्रवासाचे कोडे उलगडण्यास त्या सात पुलांची संरचना चितारली. या प्रश्नावर चिंतन केल्यावर या प्रश्नाची उकल अशक्य असल्याचे त्यांनी सांगितले.
कोनिग्झबर्ग च्या पुलांचा प्रश्न सोडविताना ऑयलर ह्यांनी केलेला खटाटोप ‘आलेख सिद्धांत’ (Graph Theory) ह्या गणितातील शाखेचा उगम मानला जातो. ऑयलर ह्यांच्यानंतर ऑग्युस्तीन कोशी, डब्लू. आर. हॅमिल्टन, आर्थर केली, पोल्या अशा अनेक नामवंत गणितज्ञांनी ह्या शाखेवर काम केले असून आज ही शाखा पुष्कळ विस्तारली आहे. गणिताव्यतिरिक्त विद्युत अभियांत्रिकी, दूरसंचार, कॉम्प्युटर सायन्स, भौतिक शास्त्र, रसायन शास्त्र, भाषाशास्त्र, सामाजिक शास्त्र, जीपीएस सिस्टीम, गुगल मॅप अशा अनेक अनेक क्षेत्रांत तिचा उपयोग होताना दिसतो आहे.
कोनिग्झबर्ग च्या सात पुलांच्या प्रश्नाची नकारात्मक उकल समजून घेण्यासाठी काही मूलभूत बाबी समजून घ्याव्या लागतात. आलेख सिद्धांतातील ‘आलेख’ म्हणजे काही बिंदू आणि त्यांना जोडणाऱ्या काही रेषा (ह्या सरळ असण्याची आवश्यकता नाही) ह्यांनी साकारली जाणारी आकृती. अशा आकृतीत किमान एक बिंदू असावाच लागतो, मात्र रेषांच्या संख्येवर कोणतंच बंधन असत नाही. खाली काढलेल्या तीनही आकृत्या ह्या स्वतंत्र आलेखच होत.
आकृती 1 मध्ये A, B, C व D यांपैकी कोणत्याही बिंदूवरून प्रवास सुरू करून ती पूर्ण आकृती (कोणत्याच रेषेवरून दोनदा न जाता) चितारणं व पुन्हा मूळ बिंदूपर्यंत येणं शक्य आहे. आकृती 2 मध्ये A ह्या बिंदूपासून सुरू करून पूर्ण आकृती (कोणत्याच रेषेवरून दोनदा न जाता) चितारणं शक्य असलं तरी असा प्रवास B ह्या बिंदूत संपेल; मूळ A बिंदूपाशी परत येता येणार नाही. मात्र आकृती 3 मध्ये कोणत्याही बिंदूपासून सुरुवात केली तरी प्रत्येक रेषेवरून एकदा व फक्त एकदाच जाणं अशक्य आहे.
आलेखातील प्रत्येक बिंदूतून जाणाऱ्या रेषांच्या संख्येवरून तो बिंदू समबिंदू किंवा विषमबिंदू ठरतो. ज्या बिंदूतून समसंख्येत रेषा जातात तो समबिंदू (उदा. आकृती 1 मध्ये A, B, C, D हे सगळेच समबिंदू आहेत कारण त्या प्रत्येकातून चार, म्हणजेच समसंख्येत, रेषा जातात), तर ज्या बिंदूतून विषमसंख्येत रेषा जातात तो विषमबिंदू (उदा. आकृती 2 मध्ये A, B हे दोन्ही विषमबिंदू आहेत कारण त्या प्रत्येकातून एक, म्हणजेच विषमसंख्येत, रेष जाते. मात्र, C, D, E, F, G, H आणि J हे समबिंदू आहेत.).
ऑयलर ह्यांचा आलेख सिद्धांतातील नियमानुसार, ज्या आलेखात विषमबिंदूंची संख्या दोनपेक्षा जास्त असते असा कोणताही आलेख, त्याची कोणतीही रेषा वा तिचा भाग एकापेक्षा अधिक वेळा न चितारता, पूर्णपणे चितारणं अशक्य आहे. (आकृती 3 मध्ये बाह्यत्रिकोणाचे शिरोबिंदू (P, Q, R) हे विषमबिंदू आहेत व त्यांची संख्या दोनपेक्षा जास्त आहे. त्या शिरोबिंदूंवरून टाकलेल्या रेषा समोरच्या भुजेला जिथे मिळतात (S, T, U), तेही विषमबिंदूच आहेत. अर्थात, विषमबिंदूंची संख्या दोनपेक्षा पुष्कळच जास्त आहे). कोनिग्झबर्ग च्या पुलांचे कोडे सोडविताना ऑयलर यांनी जी आकृती विचारात घेतली होती, ती साधारणपणे आकृती 4 प्रमाणे होती :
आकृती क्र. 4 आणि सात पुलांची मूळ आकृती ह्या मर्यादित अर्थाने समतुल्य आहेत; म्हणजे असं की, वरील आकृती आपल्या मूळ अटींची पूर्तता करून काढता आली तर सात पुलांचा मूळ प्रश्नही सुटेल; आणि वरील आकृती जर तशी काढता आली नाही तर सात पुलांच्या प्रश्नाचीही उकल शक्य नाही हे सांगता येईल. खालच्या आकृतीत (आकृती 5) P व R हे बिंदू म्हणजे कोनिग्झबर्ग नगराचे p व r हे भाग, तर Q व S हे बिंदू म्हणजे q व s ही बेटे इतकं जर लक्षात घेतलं तर ह्या दोन आकृत्यांचं समतुल्यत्व लक्षात येणं अवघड नाही.
ऑयलरनी काढलेल्या आकृतीत ठळकपणे दाखवलेल्या P, Q, R, S ह्या चार बिंदूपैकी तीन बिंदूंतून (P, Q, R) तीन रेषा तर चौथ्या बिंदूतून (S) पाच रेषा जात आहेत. अर्थात, इथे चार विषमबिंदू आहेत, त्यामुळे ऑयलर ह्यांच्या नियमानुसार, ही आकृती एखाद्या बिंदूपासून सुरू करून जशीच्या तशी आणि कोणतीही रेषा दोन वा दोनपेक्षा अधिकवेळा न चितारता साकारणं आणि आरंभबिंदूपाशी परत येऊन थांबणं अशक्य आहे. म्हणजेच कोनिग्झबर्ग च्या सात पुलांच्या प्रश्नाची उकल होणं अशक्य आहे.
संदर्भ :
• T.Bell, Men of Mathematics, Simon and Schuster 1937
• Clifford A Pickover, The Math Book, Sterling Publishing Company Inc.2009
• पटे मोहन, गणिताच्या पाऊलखुणा, अश्वमेध प्रकाशन, डोंबिवली, १९९३.
• गुर्जर ल. वा., कथाही गणिताची, राजहंस प्रकाशन, पुणे, १९९७.
• सावरकर सलिल, अगणिताच्या अंतरंगात, परममित्रप्रकाशन, ठाणे, २०१४.
- https://www.maa.org/press/periodicals/convergence/leonard-eulers-solution-to-the-konigsberg-bridge-problem
- https://en.wikipedia.org/wiki/Seven_Bridges_of_K%C3%B6nigsberg
समीक्षक : डॉ. मंगला गुर्जर
