बेज, थॉमस : ( दिनांक अज्ञात १७०१ ते १७ एप्रिल, १७६१)
थॉमस बेज यांचा जन्म बहुधा इंग्लंडच्या हर्टफोरशायर भागात झाला. बेज यांनी तर्कशास्त्र आणि धर्मशास्त्र शिकण्यासाठी एडिंबरो विद्यापीठात प्रवेश घेतला. येथे त्यांना गणितात, विशेषतः अनंत क्रमिका आणि समीपता, यांत रस निर्माण झाला. हे शिक्षण संपवून ते लंडनला परतले आणि वडिलांना चर्चमध्ये मदत करू लागले. १८ वर्षे बेज केंटस्थित टनब्रिज वेल्सच्या माउंट सायन चॅपेलमध्ये पाद्री होते.
बेज यांचा ‘Divine Benevolence, or an Attempt to Prove That the Principal End of the Divine Providence and is the Happiness of His Creatures’ हा धर्मशास्त्रावरील लेख प्रकाशित झाला.
अनामिक नावाने प्रकाशित झालेल्या गणितावरील, बेज यांच्या लेखाचे शीर्षक आहे, ‘An Introduction to the Doctrine of Fluxions, and a Defense of the Mathematicians Against the Objections of the Author of The Analyst’, यात त्यांनी आयरिश तत्त्वज्ञ, जॉर्ज बर्कले यांच्या आयझॅक न्यूटनच्या कलनशास्त्रावरील टीकेचे खंडन करून, न्यूटनचे प्रतिपादन तर्कशुद्धच असल्याचा दावा केला आहे.
बेज यांची रॉयल सोसायटीचे सन्माननीय सदस्य म्हणून निवड करण्यात आली. यामागे त्यांचे कलनशास्त्रावरील काम, भूमितीवरील अप्रकाशित शोधनिबंध, आणि गणिती संशोधनांवरील परीक्षक किंवा समीक्षक म्हणून केलेले काम बहुधा लक्षांत घेतले होते.
नंतरच्या आयुष्यात संभाव्यता संकल्पनेवर बेज यांनी संशोधन केले परंतु त्याचे निष्कर्ष प्रसिद्ध केले नाहीत. बेज यांनी मृत्यूनंतर आपल्या रिचर्ड प्राइस या वेल्श मंत्रीमंडळात असलेल्या आणि संख्याशास्त्रात योगदान दिलेल्या, जवळच्या मित्राला, संभाव्यतेवरील स्वतःचे काम असलेले हस्तलिखित मिळण्याची व्यवस्था केली होती.
त्यात बेज यांच्या ‘An Essay towards solving a Problem in the Doctrine of Chances’ या शोधनिबंधात प्राइसना व्युत्क्रम संभाव्यतेवर (inverse probability) आधारलेली समस्या सोडविण्याचा प्रयत्न आढळला. एका पिशवीत विशिष्ट संख्येत काही काळे व काही पांढरे चेंडू असताना, एक चेंडू जर डोळे झाकून निवडला तर तो काळा निघण्याची संभाव्यता किती? याचे उत्तर अठराव्या शतकाच्या सुरुवातीच्या दशकांतील लोकांना काढता येत होते. परंतु, एक किंवा अनेक चेंडू काढल्यानंतर, पिशवीत काळे आणि पांढरे चेंडू राहण्याची संभाव्यता किती?, या समस्येचे उत्तर देता येत नव्हते. हे उत्तर बेज यांनी व्युत्क्रम संभाव्यतेने दिले होते.
द्विपदी वितरणात यशाची (दोन निष्पत्ती असलेल्या घटनेची अपेक्षित निष्पत्ती) संभाव्यता सं असताना, दिलेल्या संख्येतील यशस्वी प्रयत्नांसाठी संभाव्यतेचे वितरण शोधण्याचा प्रयत्न बेज करत होते. सं चे वितरण एकसमान (uniform) मानल्यास, दिलेल्या संख्येतील यशस्वी प्रयत्नांसाठी संभाव्यतेचे वितरण बीटा (beta distribution) असल्याचे बेजनी त्या निबंधात मांडले होते.
या निबंधातच बेज प्रमेय (Bayes’ theorem) म्हणून मान्यता पावलेली कल्पना आहे. याचा उपयोग एखाद्या परिकल्पनेच्या यथार्थतेच्या संभाव्यतेचे प्रगणन करण्यासाठी होतो. यातील प्रगणनात, अनुभवपूर्व संभाव्यता (priori probability) आणि संबंधित नवा पुरावा वापरून अनुभवोत्तर संभाव्यता (posteriori probability) मिळवली जाते. हा निबंध प्राइसनी रॉयल सोसायटीपुढे सादर केला. पुढच्या वर्षी तो फिलॉसॉफिकल ट्रान्झॅक्शन्स ऑफ दि रॉयल सोसायटी ऑफ लंडन मध्ये प्रसिद्ध झाला.
बेज यांच्या प्रमेयाची मांडणी पुढील समीकरणातून स्पष्ट होते :
P(A | B) = [P(B | A) x P(A)] / P(B)
ज्यात A आणि B या घटना असून P ( A ∣ B ) = P ( B ∣ A ) P ( A ) P ( B ) , {\displaystyle P(A\mid B)={\frac {P(B\mid A)\,P(A)}{P(B)}},}
- P(A) आणि P(B) या A आणि B स्वतंत्रपणे घडून येण्याच्या संभाव्यता आहेत,
- P(B) ≠ 0,
- P(A| B), ही सशर्त संभाव्यता असून, ती B सत्य असताना A घडून येण्याची संभाव्यता दर्शविते, आणि
- P(B| A) ही A सत्य असताना B घडून येण्याची संभाव्यता दर्शविते.
या प्रमेयाच्या सहाय्याने गुंतागुंतीच्या घटना घडून येण्याच्या संभाव्यतांचे प्रगणन करता येते. समजा, असे जाणून घ्यायचे की, एकूण लोकसंख्येतील ६५वर्षे वयाच्या व्यक्तींना कर्करोग होण्याचे प्रमाण किती असेल ? समजा, सर्वसाधारणपणे एखाद्या व्यक्तिला कर्करोग होण्याची संभाव्यता १% आढळली आहे. याला आधारभूत प्रमाण किंवा अनुभवपूर्व संभाव्यता म्हणतात.
समजा, कर्करोग आणि वय यांचा संबंध आहे. एखाद्या ६५ वर्षांच्या व्यक्तीला कर्करोग होण्याची सद्य (present) संभाव्यता, आधारसामग्री गोळा करून मिळवावी लागते. समजा, आधारसामग्रीच्या आधारे एखादी व्यक्ती ६५ वयाची असण्याची शक्यता ०.२% असून, तिला कर्करोग असण्याची शक्यता ०.५% आहे. ही नवीन माहिती अनुभवपूर्व संभाव्यतेशी बेज प्रमेयाने जोडली तर, ६५ वर्षे वयाच्या व्यक्तींना कर्करोग होण्याची अनुभवोत्तर संभाव्यता [(०.५% × १%)] ÷ (०.२%) = २.५% मिळते. इथे कर्करोग असण्याची मूळ लोकसंख्येतील १% अनुभवपूर्व संभाव्यता, ६५ वर्षे वयाच्या व्यक्तींच्या संदर्भात २.५ पटीने वाढलेली असली ज्याचा अर्थ, ६५ वयाच्या २०० जणांपैकी ५ जणांमध्ये कर्करोग आढळेल, असा होतो. कालांतराने, मिळालेल्या नव्या माहितीसाठी, आताची अनुभवोत्तर संभाव्यता हीच अनुभवपूर्व संभाव्यता धरून बेज नियम वापरला जाईल. तरी बेज प्रमेयामुळे सांख्यिकीय निष्कर्ष अनुभवपूर्व संभाव्यता विचारात घेऊन चुका टाळल्या जातात.
बेज प्रमेयाची उपयुक्तता विज्ञानाच्या विविध शाखा, उद्योगधंदे, मनुष्यबळ व्यवस्थापन, खेळ, न्यायप्रणाली अशा बहुविध क्षेत्रांत आहे.
तरी बेज प्रमेय, हे बेजीय आकलन (Bayesian estimation) आणि बेजीय अनुमान (inference) या संख्याशास्त्रीय तंत्रांचा पाया बनले तसेच बेजीय विश्लेषण ही संख्याशास्त्राला एक प्रभावी मार्ग शाखा लाभली. बेजीय पद्धतीचा प्रसार आणि विकास व्हावा म्हणून १९९२ मध्ये इंटरनॅशनल सोसायटी फॉर बेजीयन ॲनालिसिस (ISBA) स्थापन करण्यात आली.
बेज यांचे नाव असलेल्या सांख्यिकी तंत्रांची यादी मोठी आहे. त्यात सदुपयोगाबरोबर दुरुपयोगही आहेत जसे की बेजीय विषप्रयोग (Bayesian poisoning). यामुळे इ-मेलबॉक्समध्ये जाहिरात, मतप्रसार किंवा अपमानकारक मजकुराचे संदेश न घुसण्यासाठी केलेले सेवा पुरविणाऱ्यांचे प्रयत्न निष्फळ होतात.
मृत्युनंतर बेज यांचा आणखी एक महत्त्वाचा शोधनिबंध अनंतवर्ती श्रेणी (Asymptotic Series) प्रकाशित करण्यात आला.
संदर्भ :
- Bellhouse, R., “The Reverend Thomas Bayes, FRS: A Biography to Celebrate the Tercentenary of His Birth”, Statistical Science, Vol. 19, No. 1, 2004, pp. 3–43.
- Heyde, C.; E. Seneta (Eds.) – Lindley D. V., ‘Thomas Bayes’, In Statisticians of the Centuries, 2001.
- http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/history/Biographies/Bayes.html
समीक्षक : विवेक पाटकर
