अनुमानाचे नियम व रूपांतरणाचे नियम (Rules of Inference and Rules of Replacement)

ॲरिस्टॉटलने मांडलेल्या तर्कशास्त्राचा मेग्यारियन व स्टोईक पंथीयांनी विस्तार केला. परंपरागत म्हणून ओळखले जाणारे तर्कशास्त्र आशय आणि तपशील या दोन्ही बाबतींत ॲरिस्टॉटलच्या तर्कशास्त्राहून अगदी निराळे आहे. एकोणिसाव्या शतकात एका नवीन तर्कशास्त्राचा विकास झाला. ते गणितीय किंवा प्रतिकात्मक तर्कशास्त्र या नावाने ओळखले जाऊ लागले.

आपण दैनंदिन जीवनात अनेक प्रकारचे युक्तिवाद करीत असतो. तर्कशास्त्रात या युक्तिवादाचे परीक्षण करण्यासाठी आपण सत्यता कोष्टक, लघु सत्यता कोष्टक व सत्यता वृक्ष पद्धती या निर्णयपद्धतींचा अवलंब करतो. या निर्णयपद्धती निर्णय घेण्यासाठी उपयुक्त असल्या, तरी त्यांनादेखील काही मर्यादा आहेत. काही युक्तिवाद एवढे गुंतागुंतीचे असतात की, त्यांची वैधता वरील तीनही निर्णयपद्धतीने ठरविणे अवघड होते. सत्यता कोष्टक पद्धती, सत्यता वृक्ष पद्धती व लघु सत्यता कोष्टक पद्धती या यांत्रिक स्वरूपाच्या पद्धती आहेत. विधानांची संख्या जास्त असेल, तर या पद्धतींनी उदाहरणे सोडविणे खूप दीर्घ, जास्त कष्टदायक व अधिक जागा व्यापणारे असते.

या ठिकाणी आपणास निर्णयपद्धती आणि नैगमनिक सिद्धता पद्धती यांतील फरक लक्षात घेणे आवश्यक आहे.

निर्णयपद्धतीप्रमाणे, युक्तिवादाच्या युक्ततेचे परीक्षण करताना निगमन सिद्धतेत फक्त आधार विधानांवरच अवलंबून राहता येत नाही. आधार विधानांबरोबरच काही तर्कनियम गृहीत धरावे लागतात.
दिलेल्या आधार विधानांपासून युक्त निष्कर्ष प्राप्त होण्याच्या प्रक्रियेमधील विविध टप्पे एकमेकांशी कोणत्या पद्धतीने संबंधित आहेत याचा खुलासा केवळ निगमन सिद्धतेत मिळतो. मात्र इतर निर्णयपद्धतीमध्ये असे स्पष्टीकरण मिळत नाही. त्यामुळे नैगमनिक सिद्धता देताना आपणा सत्यासाठी अनुमानाचे नियम व रूपांतरणाचे नियम उपयुक्त ठरतात.

वरील अडचणींचा विचार केला असता युक्तिवादाची युक्तता निश्चित करण्यासाठी तर्कशास्त्रज्ञांनी नैगमनिक सिद्धतेच्या पद्धती मांडल्या. त्या पुढीलप्रमाणे आहेत :

प्रत्यक्ष सिद्धता पद्धती (Direct Proof Method).
अप्रत्यक्ष सिद्धता पद्धती (Indirect Proof Method).
सोपाधिक सिद्धता पद्धती (Conditional Proof Method).

अनुमानाचे नियम (Rules of Inference) : निगमनात्मक सिद्धता देताना विशिष्ट नियमांचा वापर केला जातो. दिलेल्या युक्तिवादाचा निष्कर्ष पायरीपायरीने सिद्ध करावा लागतो व त्याचे समर्थन पायरी क्रमांकासह लिहिले जाते. त्यासाठी अनुमानाचे नियम आणि रूपांतरणाचे नियम वापरले जातात.

निगमनात्मक सिद्धता पद्धतीमध्ये दिलेल्या विधान घटकांच्या आवश्यक त्या तार्किक संबंधाच्या सर्व संभाव्य शक्यतांचा विचार केला जातो. एखादा संभाव्य पर्यायदेखील वगळला जात नाही. त्यामुळे निष्कर्षांमध्ये अधिक निश्चितपणा येतो.

१. विधायक विधी (Modus Ponens–M.P.) : दिलेले विधान व्यंजन (सोपाधिक/औपाधिक) विधान असेल व या व्यंजन (सोपाधिक/औपाधिक) विधानातील पहिले घटक विधान स्वीकारलेले असेल, तर त्यावरून त्या व्यंजन (सोपाधिक/औपाधिक) विधानातील दुसरे घटक विधान स्वीकारता येते. यालाच ‘विधायक विधी’ असे म्हणतात.

उदा., १. जर पाऊस पडला, तर पिके येतील.

२. पाऊस पडला.

३. /∴पिके येतील.

आकार : १. p ⊃ q

२. P

३. /∴q

२. निषेधक विधी (Modus Tollens–M.T.) : दिलेले विधान व्यंजन (सोपाधिक/औपाधिक) विधान असेल आणि या व्यंजन (सोपाधिक/औपाधिक) विधानातील दुसरे घटक विधान नाकारले असेल, तर त्यावरून पहिले घटक विधान नाकारता येते यालाच, ‘निषेधक विधी’ असे म्हणतात.

उदा., १. जर पाऊस पडला, तर पिके येतील.

२. पिके आलेली नाहीत.

३. /∴पाऊस पडलेला नाही.

आकार : १. p ⊃ q

२. ~q

३. /∴~p

३. उभयापत्ती (Hypothetical Syllogism–H.S.) : दिलेल्या दोन व्यंजन (सोपाधिक/औपाधिक) विधानातील पहिल्या घटक विधानाचा दुसऱ्या घटक विधानाशी संबंध असेल व दुसऱ्या घटक विधानाचा तिसऱ्या घटक विधानाशी संबंध असेल, तर त्यावरून पहिल्या घटक विधानाचा तिसऱ्या घटक विधानाशी संबंध असतो यालाच ‘उभयापत्ती’ असे म्हटले जाते.

उदा., १. जर पाऊस पडला, तर पिके येतील.

२. जर पिके आली, तर कर्ज फिटेल.

३. /∴जर पाऊस पडला, तर कर्ज फिटेल.

आकार : १. p ⊃ q

२. q ⊃ r

३. /∴p ⊃ r

४. वैकल्पिक संवाक्य (Disjunctive Syllogism–D.S.) : दिलेले विधान वैकल्पिक विधान असेल व या विधानातील पहिले घटक विधान नाकारलेले असेल, तर त्यावरून दुसरे घटक विधान स्वीकारता येते.

उदा., १. मी अभ्यास करणार किंवा सिनेमाला जाईन.

२. मी अभ्यास करणार नाही.

३. /∴म्हणजेच मी सिनेमाला जाईन.

आकार : १. p v q

२. ~p

३. /∴q

५. विधायक (संरचनात्मक) उभयापत्ती (Constructive Dilemma–D.S.) : दिलेले विधान संधी विधान असेल व या संधी विधानाची दोन्ही घटक विधाने व्यंजन (सोपाधिक/औपाधिक) संबंधाने जोडलेली असतील तसेच या व्यंजन (सोपाधिक/औपाधिक) संबंधाने जोडलेल्या दोन्ही घटक विधानांमधील पहिल्या-पहिल्या घटक विधानांचा वैकल्पिक स्वीकार केलेला असेल, तर त्यावरून त्या व्यंजन (सोपाधिक/औपाधिक) संबंधाने जोडलेल्या विधानांमधील दुसऱ्या-दुसऱ्या घटक विधानांचा वैकल्पिक स्वीकार करता येतो.

उदा., १. (तो जर शहाणा असता तर त्याची चूक त्याला समजली असती) आणि (तो जर निर्भय असता तर त्याने आपली चूक मान्य केली असती.)

२. तो एकतर शहाणा आहे अथवा निर्भय आहे.

३. /∴एकतर त्याला चूक समजली असती किंवा त्याने आपली चूक मान्य केली असती.

आकार : १. (p ⊃ q)●(r ⊃ s)

२. p v r

३. /∴q v s

६. विनाशक (विरचनात्मक) उभयापत्ती (Destructive Dilemma–D.S.) : दिलेले विधान संधी विधान असेल व या संधी विधानाची दोन्ही घटक विधाने व्यंजन (सोपाधिक/औपाधिक) संबंधाने जोडलेले असतील तसेच या व्यंजन (सोपाधिक/औपाधिक) संबंधाने जोडलेल्या दोन्ही घटक विधानांमधील दुसऱ्या-दुसऱ्या घटक विधानांचा वैकल्पिक नकारात्मक स्वरूपात स्वीकार केला असेल, तर त्यावरून त्या व्यंजन (सोपाधिक/औपाधिक) संबंधाने विधानांमधील पहिल्या-पहिल्या घटक विधानांचा नकारात्मक स्वरूपात वैकल्पिक स्वीकार करता येतो.

उदा., १. त्याने जर विज्ञान शाखेत प्रवेश घेतला, तर त्याला रसायनशास्त्र हा विषय घेता येईल आणि त्याने जर कला शाखेत प्रवेश घेतला, तर त्याला तर्कशास्त्र हा विषय घेता येईल.

२. त्याला एकतर रसायनशास्त्र विषय घेता येणार नाही किंवा तर्कशास्त्र हा विषय घेता येणार नाही.

३. /∴त्याला एकतर विज्ञान शाखेत प्रवेश घेता येणार नाही किंवा कला शाखेत प्रवेश घेता येणार नाही.

आकार : १. (p ⊃ q)●(r ⊃ s)

२. ~q v ~s

३. /∴~p ⊃ ~r

७. संधीकरण (संधी) (Conjunction–Conj.) : दोन वेगवेगळी विधाने युक्तिवादाच्या आवश्यकतेनुसार संधीच्या नियमाने एकत्र करता येतात.

उदा., १. मी प्रामाणिक आहे.

२. तो शांत आहे.

३. /∴मी प्रामाणिक आहे आणि तो शांत आहे.

आकार : १. P

२. q

३. /∴p ● q

८. सरलीकरण (Simplification–Simp.) : दिलेले विधान संधी विधान असेल, तर या संधी विधानातील पहिले घटक विधान सरलीकरणाच्या नियमाने वेगळे करता येते.

उदा., १. तो गायक आणि संगीतकार आहे.

२. /∴तो गायक आहे.

आकार : १. p ● q

२. /∴p

९. वृद्धिकरण (योग) (Addition–Add.) : एखाद्या विधानात गरज असल्यास दुसरे विधान विकल्पाने जोडता येते याला, ‘वृद्धिकरण/योग’ म्हणतात.

उदा., १. तो बुद्धिमान आहे.

२. /∴तो बुद्धिमान आहे किंवा शांत आहे.

आकार : १. P

२. /∴p v q

रूपांतरणाचे नियम (Rules of Replacement) : असे काही युक्तिवाद असतात की, ज्यांची युक्तता अनुमानाच्या नियमांनी देता येत नाही. त्यासाठी आणखी काही नियमांची आवश्यकता असते.

उदा., १. (p ⊃ q) ● r

२. /∴r

वरील युक्तिवाद युक्त आहे असे आपणास दिसत असले, तरी अनुमानाच्या नियमांनी तो वैध आहे, हे सिद्ध करता येत नाही. म्हणून आपणास आणखी काही वेगळ्या नियमांची गरज भासते. ही गरज रूपांतरणाच्या नियमाने भागविता येते. रूपांतरणाच्या नियमानुसार एखादे दिलेले विधान दुसऱ्या एखाद्या विधानांमध्ये त्याचा तार्किकदृष्ट्या अर्थ न बदलता रूपांतरित करता येते. हे रूपांतरणाचे नियम अनुमानाच्या नियमांमध्ये अधिकचे नियम म्हणून वापरता येतात. हे नियम अनुमानाच्या नियमांपेक्षा वेगळे आहेत. रूपांतरणाचे नियम दिलेले विधान केवळ सममूल्य स्वरूपात रूपांतरित करतात. हे नियम एखाद्या विधानाला किंवा विधानाच्या एखाद्या भागाला वापरता येतात. हे नियम सममूल्यता दर्शवितात. म्हणजेच प्रत्येक विधान तार्किकदृष्ट्या दुसऱ्या रचनेशी सममूल्य असते.

१०. डी मॉर्गनचा नियम (De Morgan’s law–DeM.) : डी मॉर्गनचे दोन नियम आहेत. वैकल्पिक (विकल्प) हे आणि संधी संबंध ज्या विधानांमध्ये असतो अशा विधानांना डी मॉर्गनचा नियम वापरता येतो. संधी विधानाचा निषेध हा वैकल्पिक विधानातील दोन्ही निषेधवाची घटक विधानांच्या सममूल्य असतो. संधी विधानाच्या निषेधाशी सममूल्य वैकल्पिक विधानातील दोन्ही घटक विधानांचा निषेध असतो. तसेच वैकल्पिक विधानाचा निषेध हा संधी विधानातील दोन्ही निषेधवाची घटक विधानांच्या सममूल्य असतो. वैकल्पिक विधानाच्या निषेधाशी सममूल्य संधी विधानातील दोन्ही घटक विधानांचा निषेध असतो.

उदा., पुढील प्रत्येक उदाहरणात ‘≡’ या चिन्हाचा अर्थ ‘पहिल्या विधानाशी सममूल्य’ असा घ्यावा.

१. असे नाही की (तो अभ्यास करतो आणि तो पास होतो)≡(तो अभ्यास करीत नाही किंवा तो पास होत नाही)

२. असे नाही की (तो अभ्यास करतो किंवा तो पास होतो)≡(तो अभ्यास करीत नाही आणि तो पास होत नाही)

आकार : १. ~(p ● q)≡(~p v ~q)

२. ~(p v q)≡(~p ● ~q)

११. क्रम परिवर्तन (Law of Commutation–Comm.) : क्रम परिवर्तन नियमाप्रमाणे विधानातील घटक विधानांची स्थाने आपसात बदलता येतात. असे असले तरी घटक विधानांच्या अदलाबदलीनंतरही संपूर्ण विधानाच्या मूळ अर्थामध्ये कोणताही फरक पडत नाही.

उदा., १. (तो प्रामाणिक आहे आणि तो अभ्यासू आहे)≡(तो अभ्यासू आहे आणि तो प्रामाणिक आहे)

२. (तो प्रामाणिक आहे किंवा तो अभ्यासू आहे)≡(तो अभ्यासू आहे किंवा तो प्रामाणिक आहे)

आकार : १. (p ● q)≡(q ● p)

२. (p v q)≡(q v p)

१२. साहचर्याचा नियम (Law of Association–Assoc.) : साहचर्याचा नियम म्हणजे घटक विधानांचे एकमेकांमध्ये एकत्रीकरण करणे होय. जेव्हा सर्व घटक विधाने एकतर विकल्पाने किंवा संधीने जोडलेली असतात, तेव्हा या विधानांचे एकत्रित रीत्या साहचर्य केले जाते.

उदा., १. [तो प्रामाणिक आहे आणि (तो अभ्यासू आहे आणि तो सर्जनशील आहे)]≡[(तो प्रामाणिक आहे आणि तो अभ्यासू आहे) आणि तो सर्जनशील आहे]

२. [तो प्रामाणिक आहे किंवा (तो अभ्यासू आहे किंवा तो सर्जनशील आहे)]≡[(तो प्रामाणिक आहे किंवा तो अभ्यासू आहे) किंवा तो सर्जनशील आहे]

आकार : १. [p ●(q ● r)]≡[(p ●q)● r]

२. [p v(q v r)]≡[(p v q)v r]

१३. वितरणचा नियम (Law of Distribution–Dist.) : दिलेल्या विधानाकारातील पहिले घटक विधान पुढील दुसऱ्या व तिसऱ्या घटक विधानांना अनुक्रमाने वितरीत केले जाते.

उदा., १. [तो प्रामाणिक आहे आणि (तो अभ्यासू आहे किंवा तो सर्जनशील आहे)]≡[(तो प्रामाणिक आहे आणि तो अभ्यासू आहे) किंवा (तो प्रामाणिक आहे आणि तो सर्जनशील आहे)]

२. [तो प्रामाणिक आहे किंवा (तो अभ्यासू आहे आणि तो सर्जनशील आहे)]≡[(तो प्रामाणिक आहे किंवा तो अभ्यासू आहे) आणि (तो प्रामाणिक आहे किंवा तो सर्जनशील आहे)]

आकार : १. [p ●(q v r)]≡(p ● q) v (p ● r)

२. [p v(q ● r)]≡(p v q) ● (p v r)

१४. द्विवार निषेधन नियम (Rule of Double negation–D.N.) : विधान हे विधानाच्या द्विवार निषेध (निषेधाचा निषेध) शी सममूल्य असते.

उदा., १. तो शाकाहारी नाही असे नाही≡तो शाकाहारी आहे

२. तो शाकाहारी आहे ≡तो शाकाहारी नाही असे नाही

आकार : १. ~~p ≡ p

२. p ≡ ~~p

१५. व्यंजन व्यतिरेक नियम (Rule of Transposition–Trans.) : व्यंजन व्यतिरेक नियमाप्रमाणे, दिलेल्या दोन होकारार्थी व्यंजन विधानातील परस्पर घटकांचे निषेध स्वरूपात स्थान परिवर्तन करून प्राप्त झालेले विधान मूळ विधानाच्या सममूल्य असते.

उदा., (जर राहुल प्रामाणिक असेल, तर त्याला यश मिळेल)≡(राहुलला यश मिळाले नाही म्हणजे तो प्रामाणिक नव्हता)

आकार : (p ⊃ q)≡(~q ⊃ ~p)

१६. वास्तविक लक्षितता (Material Implication–Impl.) : व्यंजन विधानाचे रूपांतरण करताना व्यंजन विधानाच्या पहिल्या घटक विधानाचा निषेध करून उर्वरित दुसरे घटक विधान आहे तसे वैकल्पिक स्वरूपात लिहले जाते. प्राप्त झालेले विधान मूळ औपाधिक विधानाच्या सममूल्य असते.

उदा., (जर किरण सर्जनशील असेल, तर किरणला यश मिळेल)≡(किरण सर्जनशील नसेल किंवा किरणला यश मिळेल)

आकार : (p ⊃ q)≡(~p v q)

१७. वास्तविक सममूल्यता (Material Equivalent–Equiv.) : सममूल्यतेच्या पहिल्या व्याख्येप्रमाणे दोन घटक विधानांच्या सममूल्य विधानाचे रूपांतरण संधी स्वरूपात एकमेकांशी (व्यंजन स्वरूपात) सममूल्य असते.

उदा., १. (जर आकाश हुशार आहे, तर आणि तरच आकाश बुद्धिमान आहे)≡[(जर आकाश हुशार आहे, तर तो बुद्धिमान आहे) आणि (जर आकाश बुद्धिमान आहे, तर तो हुशार आहे)]

२. (जर आकाश हुशार आहे, तर आणि तरच आकाश बुद्धिमान आहे)≡[(आकाश हुशार आहे आणि तो बुद्धिमान आहे) किंवा (आकाश हुशार नाही आणि तो बुद्धिमान नाही)]

आकार : १. (p ≡ q)≡[(p ⊃ q)●(q ⊃ p)]

२. (p ≡ q)≡[(p ● q)v(~p ● ~q)]

१८. बहि:सरणाचा नियम (Rule of Exportation–Exp.) : जेव्हा आपणासमोर तीन घटकांचे व्यंजन विधान असते, तेव्हा बहि:सरणाचा नियम वापरला जातो.

उदा., [जर (तो प्रामाणिक आणि अभ्यासू असेल), तर तो सर्जनशील आहे)]≡[जर तो प्रामाणिक आहे, तर (जर तो अभ्यासू असेल, तर तो सर्जनशीलही असेल)]

आकार : [(p ●q)⊃r)]≡[p ⊃ (q ⊃ r)]

१९. पुनरुक्तीचा नियम (Rule of Tautology–Taut.) : पुनरुक्तीचे दोन नियम संधी व विकल्प विषयक आहेत.

उदा., १. मंगल क्रियाशील आहे≡(मंगल क्रियाशील आहे किंवा मंगल क्रियाशील आहे)

२. मंगल क्रियाशील आहे≡(मंगल क्रियाशील आहे आणि मंगल क्रियाशील आहे)

आकार : १. p ≡ (p v p)

२. p ≡ (p ● p)

येथे संख्यीकारकीय तर्कशास्त्र (Quantificational Logic) पद्धतीचा उल्लेख करणे आवश्यक आहे; कारण संख्यीकारकीय सिद्धतेमध्येदेखील अनुमान व रूपांतरणाच्या नियमांची आवश्यकता असते.