संस्थिती विज्ञानातील (Topology) एक महत्त्वाचा नियम. एखाद्या प्रतलावर काढलेला कोणत्याही भूभागाचा नकाशा विचारात घेतला असता ह्या भूभागावर अनेक छोटे मोठे विभाग असू शकतात. उदा. जगाच्या नकाशात विविध देश, देशाच्या नकाशात विविध राज्ये इत्यादी. एक विभाग दुसऱ्या विभागापासून वेगळा दाखवण्यासाठी विविध रंगांचा (किंवा विविध छायांकनांचा) वापर केला जातो. विशेषत: जिथे दोन विभागांच्या सीमांचा काही भाग समान असेल (म्हणजेच ते विभाग लगतचे असतील तर) तिथे तर त्या त्या विभागांसाठी वेगवेगळे रंग वापरणे अनिवार्य असते. उदा., भारत आणि पाकिस्तान ह्या दोन्ही देशांची समान सीमा ही बरीच मोठी वक्ररेषा असल्यामुळे ह्या दोन्ही देशांना वेगवेगळे रंग देणे आवश्यक ठरते. अर्थातच, दोन विभाग एकमेकांपासून दूर असतील (एकमेकांना चिकटलेले नसतील) तर त्यांना एकच रंग देऊन चालू शकेल. उदा., जगाच्या नकाशावरील भारत आणि इंग्लंड हे देश.

आकृती 1

विभागांची संरचना साधी असेल तर दोन रंगांतही तो नकाशा रंगवता येईल, जेणेकरून कोणतेही लगतचे विभाग वेगवेगळ्या रंगांनी रंगवले जातील (आ. 01). तर विभागांची संरचना काहीशी गुंतागुंतीची असेल तेव्हा अधिक रंगांची आवश्यकता असते (आ.02). नकाशातील विभागांची रचना ह्याहून अधिक गुंतागुंतीची असल्यास अधिक रंगांची आवश्यकता असते. आकृती 3 मध्ये केवळ चार विभाग आहेत, परंतु हा नकाशा चारपेक्षा कमी रंगांत यथायोग्य रंगविणे शक्य नाही.

आकृती 2

वरील सर्व विवेचनातून निर्माण होणारा प्रश्न म्हणजे जास्तीत जास्त किती रंग वापरून दिलेला कोणताही नकाशा योग्यपणे रंगविता येईल? ह्या प्रश्नाचे उत्तर म्हणजे गणितातील ‘चार रंगांचा नियम’ होय. ‘कोणताही एकप्रतलीय नकाशा रंगवण्यासाठी चारच रंग पुरेसे असतात’ असे त्या नियमाचे सामान्य स्वरूप आहे. अर्थात, एखाद्या नकाशाचा भूभाग कितीही मोठा असला, त्यावर कितीही विभाग असले व त्यांची रचना कितीही गुंतागुंतीची असली तरीही असा नकाशा केवळ चार रंगांमध्ये रंगविणे शक्य आहे. (आ. 04)

आकृती 3

फ्रांसिस गथ्री या दक्षिण आफ्रिकी गणितज्ञाने 1852 मध्ये सर्व प्रथम चार रंगांचा नियम मांडला परंतु त्यांना तो सिद्ध करता आला नाही. पुढे अनेक गणितज्ञांनी हा नियम सिद्ध करण्याचा प्रयत्न केला मात्र ते सदोष ठरले. ॲल्फ्रेड ब्रे केम्प यांनी गणितीय पद्धतीने सिद्ध केले की, कोणताही नकाशा रंगविण्यासाठी पाच रंग पुरेसे आहेत. मात्र इ.स. 1890 मध्ये पर्सी हीवूड ह्या ब्रिटिश गणितज्ञाने केम्पच्या सिद्धतेतली चूक दाखवून दिली. केम्प यांची सिद्धता सदोष असली तरीही ती प्रस्तुत नियमाच्या सिद्धतेत आजही महत्त्वाची मानली जाते, कारण त्यांनी दिलेल्या कारणमीमांसेच्या दिशेनेच

आकृती 4

जात अमेरिकी गणिती केनेथ एपल आणि वुल्फगॅङ्ग हेकन ह्यांनी 1976 मध्ये ‘चार रंगांचा नियम’ सिद्ध केला. दिनांक 21 जून 1976 रोजी ह्या दोघांनी तशी अधिकृत घोषणा केली. सदर नियम सादर करताना गणितातल्या ‘आलेख सिद्धांत’ (Graph Theory) ह्या शाखेतील ‘आलेख-रंगांकन’ (Graph Colouring) ह्या संकल्पनेचा मुख्य उपयोग झाला होता. सदर नियमाच्या सिद्धतेत संगणकाची खूप मदत झाली होती.

तत्पूर्वी म्हणजे १९६० आणि १९७०च्या दशकांत जर्मन गणितज्ञ हेन्रिक हीश ह्यांनी सदर नियमाच्या सिद्धतेच्या कामी संगणकाचा वापर करून पाहिला होता.एपल आणि हॅकेन ह्यांना हीश ह्यांच्या कार्यातून प्रेरणा मिळाली होती. नियम सिद्ध झाल्यानंतर काही वर्षांनी एपल-हॅकेन ह्यांच्या सिद्धतेत काही चुका किंवा त्रुटी असल्याच्या अफवाही उठल्या होत्या; तथापि त्या सर्वांना एपल आणि हॅकेन ह्यांनी यथायोग्य उत्तरे दिली.

चार रंगांचा हा नियम सिद्ध झाला असला तरीही काही विशिष्ट परिस्थितीत समस्या उद्भवतेच. उदा.,आकृती 5 मध्ये 2 क्रमांकाच्या विभागाला लाल, हिरवा किंवा निळा रंग देणे शक्य नसल्याने त्यास पुन्हा पिवळा रंग दिला आहे. आता जर 1 आणि 1A हे विभाग (स्वतंत्र दिसत असले तरीही) एकाच देशाचे दोन भाग असले तर त्यांना वेगवेगळे रंग देणे हे नकाशांच्या सर्वसाधारण नियमावलीत बसत नाही.

आकृती 7

त्यामुळे 1ला पिवळा रंग दिल्यावर 1A लाही पिवळाच रंग देणे उचित ठरते आणि अशा वेळी मात्र क्रमांक 2च्या विभागासाठी पाचवा रंग देणे आवश्यक ठरते. आकृती 6 मध्ये 2 क्रमांकाच्या विभागाला गुलाबी रंग दिला आहे.

रशियाचे कलिनन्ग्रॅड किंवा अमेरिकेचे अलास्का हे विभाग त्या त्या देशापासून भौगोलिक दृष्ट्या तुटलेलेच आहेत. आणि त्यामुळे अशी उदाहरणे (आकृती 5, 6) केवळ गणितज्ञांचा कल्पनाविलास ठरत नाहीत, त्यांना व्यावहारिक उपयोगिताही असते. ह्या उदाहरणातून हे लक्षात येते की अशा अपवादात्मक परिस्थितीत मात्र चारपेक्षा जास्त रंग वापरावे लागतात. तथापि, ह्यामुळे प्रस्तुत नियम चुकीचा ठरत नाही, कारण ह्या उदाहरणात पाचव्या रंगाची आवश्यकता लागण्याचे कारण ‘1 आणि 1A साठी समान रंग देण्याची गरज’ हे आहे. ती अट काढून टाकली तर ही आकृतीही अवघ्या चार रंगांत रंगवता येऊ शकते. (आ. 7)

सदर नोंदीत अभ्यासलेले सर्व नकाशे एकप्रतलीय होते. ‘चार रंगांचा नियम’ अशा एकप्रतलीय नकाशांसाठीच सत्य आहे. असे नकाशे जर एखाद्या घनाकारावर (उदा. गोल, दंडगोल मोबियस-पट्टी, क्लाईन बाटली, टॉरस) चितारले तर त्यांना रंगवताना किती रंग लागतील, किती पुरेसे ठरतील असे अनेक प्रश्न उभे राहतात.

संदर्भ :

  • NarsinghDeo, Graph Theory, PHI Learning Private Limited, Delhi – 92,
  • Kenneth H Rosen, Discrete Mathematics and its Applications,McGraw Hill Education (India) Private Limited, New Delhi, 2011
  • आपटेमोहन, गणिताच्या पाऊलखुणा, अश्वमेधप्रकाशन, डोंबिवली, १९९३

आंतरजालीय संदर्भ :

समीक्षक : अनुराधा गर्गे