अब्राहम वॉल्ड (Abraham Wald)

वॉल्ड, अब्राहम : (३१ ऑक्टोबर १९०२ – १३ डिसेंबर १९५०).

हंगेरियन गणितज्ज्ञ. त्यांनी गणित-संख्याशास्त्र या विषयातील निर्णायक सिद्धांत (Decision Theory), भूमिती (Geometry) आणि इकॉनॉमेट्रिक्स (econometrics) यांत महत्त्वाचे योगदान दिले. तसेच त्यांनी संख्याशास्त्रीय क्रमिक विश्लेषण (Statistical Sequential analysis) या क्षेत्राचा पाया रचला.

वॉल्ड यांचा जन्म क्लूझ, ट्रान्सिल्व्हेनियन, ऑस्ट्रिया-हंगेरी (आता रूमानिया) येथे झाला. त्यावेळी प्रचलित असलेल्या पारंपरिक पद्धतीने त्यांनी शिक्षण घेतले नाही, त्यांच्या पालकांनीच त्यांना महाविद्यालयापर्यंतचे शिक्षण घरीच दिले. दुसऱ्या महायुद्धानंतर जेव्हा क्लूझ हे जेव्हा रूमानियांत समाविष्ट झाले तेव्हा वॉल्ड यांना विद्यापीठांत शिक्षण घेण्यास परवानगी देण्यात आली परंतु ते धर्माने ज्यू असल्याने ते तेवढे सोपे नव्हते. परंतु गणितातील अतुलनीय क्षमतेमुळे त्यांना गणितात पुढे संशोधन करण्याची ईच्छा निर्माण झाली आणि त्यांनी १९२७ मध्ये व्हिएन्ना विद्यापीठात (University of Vienna) कार्ल मेंगर (Karl Menger) यांच्यासह संशोधनास सुरुवात केली. किंग फर्दिनांद-१ विद्यापीठातून (King Ferdinand I University) पदवी मिळवली (१९२८). आपले मार्गदर्शक कार्ल मेंगर यांच्यासोबत त्यांनी भूमितीमधील पृष्ठभागाच्या वक्रतेच्या (Curvature of Surfaces) समस्येवर लक्ष केंद्रित केले होते आणि पुढे गणित विषयात (भूमिती) व्हिएन्ना विद्यापीठातून डॉक्टरेट मिळवली (१९३१). व्हिएन्ना विद्यापीठात त्यांनी भूमिती आणि इकॉनॉमेट्रिक्सवर काम केले.

कितीही प्रतिभावंत असला तरी १९३०च्या दशकात यूरोपमध्ये ज्यू माणसाला शैक्षणिक क्षेत्रात काम मिळणे अवघड होते. कार्ल श्लेझिंगर (Karl Schlesinger) या ऑस्ट्रियन अर्थशास्त्रज्ञाचा गणिताकडे कल होता. वॉल्ड यांनी त्यांना गणित शिकविण्यास आरंभ केला. त्यांना यामुळे आर्थिक सुरक्षितता लाभली आणि भूमितीत संशोधन करण्याची संधीही मिळाली. त्याशिवाय अर्थशास्त्रीय समस्यांसाठी गणिती कौशल्य वापरण्यात आणि इकॉनॉमेट्रिक्समध्ये रस निर्माण झाला. १९३५ मध्ये कार्ल श्लेझिंगर यांनी लिहिलेल्या एका शोधलेखामुळे वॉल्ड यांना समतोल समस्यांच्या समाधानाचे अस्तित्व असते असे ठाम उत्तर (eventual solution of the existence of equilibrium problems) शोधण्यास प्रेरणा मिळाली. १९३१–३७ या कालावधीत वॉल्ड यांचे भूमिती, अर्थशास्त्र आणि इकॉनॉमेट्रिक्स या विषयांवर दहा शोधनिबंध आणि एक लघुप्रबंध प्रकाशित झाला, ज्याचा विषय होता : कालपंक्तीतील हंगामी हालचाली (Seasonal Movements in Time series).

ऑस्ट्रियामधील राजकीय परिस्थिती चिघळत असताना त्यांना कॉउल्स कमिशनच्या (Cowles Commission for Research in Economics) आमंत्रणानुसार अर्थशास्त्रसंबंधी विषयात संशोधन करण्यासाठी अमेरिकेला जाण्याची संधी मिळाली. तिथे कोलंबिया विद्यापीठात ते संख्याशास्त्रही शिकवू लागले आणि १९४० पासून शेवटपर्यंत ते तिथे कार्यरत होते. त्याचबरोबर वॉल्ड कोलंबिया विद्यापीठाच्या संख्याशास्त्र संशोधन गटाचे (स्टॅटिस्टिकल रिसर्च ग्रुप; Statistical Research Group; SRG) सदस्य म्हणून काम करू लागले. संख्याशास्त्र संशोधन गटात लष्करी प्रकल्पातील विमानांच्या वेगवेगळ्या भागांवर अस्त्रांचा मारा खाऊनही परत आलेल्या विमानांबाबतच्या मिळालेल्या आधार सामग्रीवरून भेद्यतेच्या अनुमान बांधण्याच्या समस्येवर त्यांनी बहुमोल कार्य केले. त्यांनी सांख्यिकी विश्लेषणाने दाखवले, की ज्या भागांवर मारा झालेला नाही ते विमानाचे भाग अधिक सुरक्षित करणे जास्त योग्य ठरेल. कारण परत न आलेली विमाने बहुधा त्या भागांवर झालेला मारा सहन करून शकली नाहीत. या धोरणाचा उपयोग दुसऱ्या महायुद्धात तसेच पुढे व्हिएटनाम आणि कोरिया यांच्याशी झालेल्या युद्धात अमेरिकेला झाला.

संख्याशास्त्रीय संशोधनातील त्यांचे प्रथम पथदर्शीकार्य म्हणजे संख्याशास्त्रीय निर्णय सिद्धान्त (Decision Theory). अनिश्चितता असतांना निर्णय घेण्याची सामान्य समस्या सोडवण्यासाठी एक वेगळा मार्ग वॉल्ड यांनी सुचवला. गणिती संख्याशास्त्रावरील एका शोधलेखात त्यांनी निर्णय घेण्यास आवश्यक आणि पुरेसा असा सामान्य गणिती आराखडा तयार केला. हा आराखडा अनुमान आणि गृहीतक चाचणी या दोन्हीसाठी पुरेसा होता. वॉल्ड यांनी निर्णय समस्येचे व्यापक विश्लेषण सुरूच ठेवले. कालांतराने हे विश्लेषण मान्यताप्राप्त झाले. स्टॅटिस्टिकल डिसीजन फंक्शन्स (Statistical Decision Functions) या पुस्तकात सदर कामाची त्यांनी विस्तृत नोंद केली आहे. निर्णय सिद्धांतावरील त्यांचे संपूर्ण कार्य म्हणजे गणिती संख्याशास्त्रातील एक मोठे योगदान मानले जाते.

वॉल्ड यांचे दुसरे महत्त्वाचे योगदान म्हणजे गणिती संख्याशास्त्रातील क्रमिका विश्लेषण (Sequential Analysis). १९४३ मध्ये वॉल्ड यांनी प्रथमच संख्याशास्त्रीय गृहीतकांच्या क्रमिक चाचण्यांच्या सामान्य समस्या गणिती पद्धतीने मांडल्या आणि सोडवल्या. त्यांचे सिक्वेंशियल ॲनालेसिस (Sequential Analysis) हे १९४७ साली प्रसिद्ध झालेले पुस्तक या विषयावर चांगला प्रकाश टाकते. क्रमिका संभाव्यता गुणोत्तर चाचणीच्या (Sequential Probability Ratio Test) सर्वोत्कृष्ट गुणधर्माचे अनुमान त्यांनी केले. १९४८ मध्ये याकुब वोल्फोन्झ (Jacob Wolfowitz) यांच्यासह लिहिलेल्या शोधनिबंधांत त्यांनी हा गुणधर्म सिद्ध केला. वोल्फोन्झ आणि वॉल्ड दोघे कोलंबिया विद्यापीठात संख्याशास्त्रीय संशोधन गटात (SRG) युद्धासंबंधी कार्य करीत होते आणि सैद्धांतिक संख्याशास्त्रातील काही महत्त्वपूर्ण आणि उल्लेखनीय शोधनिबंध त्या दोघांनी मिळून लिहिले.

वॉल्ड यांनी जुगाराच्या बाबतीत (गॅम्बलर्स रुईन; Gamble’s Ruin) प्रसिद्ध असलेल्या एका संख्याशास्त्रीय समस्येचे सामान्यीकरण केले. संख्याशास्त्रीय क्रमिका विश्लेषणात हे कार्य मोठी महत्त्वाची भूमिका बजावते. दुसऱ्या महायुद्धात औद्योगिक गुणवत्ता नियंत्रणाच्या अधिक कार्यक्षम पद्धतींची निकड निर्माण झाली, तेव्हा वॉल्ड यांनी क्रमिका विश्लेषण हा नवा विषय मांडला. अतिशय सोपी असलेली ही मूळ कल्पना वॉल्ड यांनी प्रथमच संख्याशास्त्रीय सिद्धांतात मांडली. पूर्ण आधारसामग्री एकत्रित करून नंतर विश्लेषण करण्यापेक्षा क्रमाक्रमाने टप्प्यात आधारसामग्री मिळवीत तिचे विश्लेषण करणे केव्हाही हितकारी ठरते अशी त्यांची नीती होती.

समस्यांकडे पाहण्याच्या वॉल्ड यांच्या वेगळ्या अशा दृष्टिकोनाचा परिणाम संख्याशास्त्रीय सिद्धांतातील अमेरिकन संशोधनावर झाला. १९३९ पर्यंत जे संशोधन झाले होते त्याला गणिताचा भक्कम पाया नव्हता. वॉल्ड यांनी निर्णय सिद्धांतातील सूत्रीकरण आणि गृहीतकांच्या क्रमिक चाचण्या गणिताच्या भक्कम पायावरच मांडल्या होत्या. तसेच १९३९ पर्यंत सैद्धांतिक संख्याशास्त्रज्ञांना फक्त मर्यादित स्वरूपातील समस्यांमध्येच रस होता. वॉल्ड यांनी केलेले समस्यांचे सूत्रीकरण एवढे व्यापक होते, की नंतर इतरांनी केलेल्या संशोधनात समस्या व्यापक स्वरूपात मांडणे सोपे झाले. वॉल्ड वितरण (Wald distribution), वॉल्ड समीकरण (Wald equation) आणि वॉल्ड-वोल्फोन्झ रन्स चाचणी (Wald–Wolfowitz runs test) अशा त्यांचे नाव असलेल्या गणिती-सांख्यिकी बाबी त्यांचे उल्लेखनीय योगदान दाखवतात.

ॲनल्स ऑफ मॅथेमॅटिकल स्टॅटिस्टिक्स (Anals of Mathematical Statistics), जर्नल ऑफ अमेरिकन स्टॅटिस्टिकल सोसायटी (Journal of American Statistical Society) यांसारख्या नामांकित जर्नल्समध्ये वॉल्ड यांचे बरेच शोधनिबंध प्रसिद्ध झाले. त्यांनी चार विद्यार्थ्यांना संशोधन करण्यासाठी मार्गदर्शन केले. गणिती संख्याशास्त्रातील त्यांच्या योगदानाची मूलभूत अर्व्हिंग फिशर (Irving Fisher) आणि नेमन (Jerzy Neyman) यांच्या तोडीची मानली जाते. महत्त्वपूर्ण क्षेत्रातील संख्याशास्त्रीय निष्कर्षांचे गणिती पद्धतीने व्यापक आणि अचूक सूत्रीकरण करण्याची प्रज्ञा वॉल्ड यांच्याकडे होती. वोल्फोन्झ यांच्या मते, त्यांनी गणिती अचूकता समस्यांच्या सूत्रीकरणात आणली आणि बारीकसारीक बाबतीतही विलक्षण जागरूकता चर्चेत आणली. त्यांच्या या योगदानामुळे संख्याशास्त्र विषयाला नवीन दिशा मिळाली

भारतात व्याख्याने देण्यासाठी आलेले असताना १९५० मध्ये एका विमान अपघातात वॉल्ड यांचे अकाली निधन झाले.

कळीचे शब्द : #गणिती #संख्याशास्त्र #निर्णयसिद्धांत #DecisionTheory #क्रमिकाविश्लेषण #SequentialAnalysis #इकॉनॉमेट्रिक्स.

संदर्भ :

समीक्षक – विवेक पाटकर