मध्य मूल्य प्रमेय (Intermediate Value Theorem)

गणितातील सिद्धांतांची प्रतवारी करणे शक्य नाही; मात्र जे सिद्धांत पुन:पुन्हा उपयोगात येतात अशांना सर्वसामान्यत: अग्रक्रम दिला जातो. मध्य मूल्य प्रमेय हे अशाच अग्रस्थानी असलेल्या सिद्धांतांपैकी एक आहे.

समजा f हे एक संतत फलन (continuous function) आहे. समजा a व b ह्या अशा दोन वास्तव संख्या आहेत की f(a) व f(b) या भिन्न वास्तव संख्या आहेत. अर्थातच ह्या दोघांमध्ये अनंत वास्तव संख्या आहेत. समजा k ही f(a) व f(b) या दोघांमधील कोणतीही एक वास्तव संख्या आहे. तर a व b ह्या दोघांमध्ये कोणतीतरी अशी वास्तव संख्या (समजा h) असली पाहिजे की, f(h) = k. खाली दिलेल्या आलेखावरून हे विधान समजण्यास मदत होईल.

आलेख क्र. मध्ये लाल रंगातील वक्ररेषा कोणत्यातरी संतत फलाचा आलेख आहे. x अक्षावरील a व b हे बिंदू असे आहेत की f(a) व f(b) या भिन्न संख्या आहेत. प्रस्तुत आलेखात f(a) ही f(b) पेक्षा लहान दिसत असली तरी सदर प्रमेयात त्यांच्या किंमती भिन्न असणे इतकंच अपेक्षित आहे. म्हणजे, f(a) जरी f(b) पेक्षा मोठी असली तरी प्रस्तुत प्रमेय सत्यच असते. k हा f(a) व f(b) ह्यांच्यामधील कोणताही बिंदू आहे. आलेखावरून हे दिसतंच आहे की a व b ह्यांच्यामध्ये h हा असा बिंदू आहे की त्या बिंदूपाशी f ह्या फलाची किंमत k आहे. थोडक्यात म्हणजे या आलेखावरून आपण सदर प्रमेयाचा पडताळा घेतला आहे.

या संदर्भात व्यवहारातील काही उदाहरणेही पाहता येतील. १) समजा एखाद्या व्यक्तीने इमारतीच्या तळमजल्यावरून जिन्याने वर जाण्यास अकरा वाजता सुरुवात केली आणि सव्वा अकरा वाजता ती व्यक्ती दहाव्या मजल्यावर पोहोचली. तर अकरा आणि सव्वा अकरा ह्यांच्यामध्ये कोणतीतरी अशी वेळ असलीच पाहिजे की जेव्हा ती व्यक्ती बरोबर तिसऱ्या मजल्यावर असेल. २) समजा मोटारीचा वेग आत्ता ताशी 10 मैल आहे. तासाभराने असे दिसते की तो वेग वाढून ताशी 50 मैल झाला आहे. तर मग ह्या तासाभरात अशी एक वेळ आली असलीच पाहिजे की जेव्हा त्या मोटारीचा वेग बरोबर ताशी 37 मैल इतका होता.

अर्थात आलेखावरून घेतलेला पडताळा काय किंवा ही व्यावहारिक उदाहरणे काय, ह्यातून मध्यमू ल्य प्रमेय सिद्ध होत नाही. “आपण केलेले गणिती विधान सत्य असावे” ह्या विश्वासास त्यातून पुष्टी मिळते, इतकंच!

सिद्धता :

या प्रमेयाच्या सिद्धतेसाठी बीजशोधनाचे प्रमेय लक्षात घेणे आवश्यक आहे. समजा g हे एक संतत फलन आहे आणि a व b या अशा दोन वास्तव संख्या आहेत की g(a) व g(b) ह्यांची चिन्हे भिन्न आहेत. म्हणजे, एक धन आहे तर दुसरी ऋण आहे. तर मग a व b ह्या दोघांमध्ये कोणतीतरी अशी वास्तव संख्या (समजा h) असलीच पाहिजे की, जिच्यापाशी फलाची किंमत शून्य होत असेल, म्हणजेच, g(h) = 0. ह्या प्रमेयास ‘बीजशोधनाचे प्रमेय’ असे म्हणतात. आता आपले मूळ विधान सिद्ध करू.

ह्यासाठी एक नवीन फल ‘j’ विचारात घेऊ : j(x) = f(x) – k.

आपले आधीचे फल ‘f’ हे संतत मानल्यामुळे ‘j’ हे नवीन फलही संतत असल्याचे सिद्ध करता येते. आता j(a) = f(a) – k, तर j(b) = f(b) – k. लक्षात घ्या की k ही संख्या f(a) व f(b) ह्या दोघांच्या मध्ये आहे. त्यामुळे f(a) – k आणि f(b) – k ह्यातील कोणतीतरी एक संख्या धन तर दुसरी ऋण असली पाहिजे. म्हणजेच j(a) आणि j(b) ह्यातील कोणतीतरी एक संख्या धन, तर दुसरी ऋण असली पाहिजे. त्यामुळे ‘बीजशोधनाचे प्रमेय’ सिद्धांतानुसार a आणि b ह्यांच्यात एखादीतरी संख्या (समजा ‘d’) अशी असलीच पाहिजे जिच्यापाशी ‘j’ ह्या फलाची किंमत शून्य असेल. म्हणजेच j(d) = 0.

आता, 0 = j(d) = f(d) – k

ह्यातून मिळते, f(d) – k = 0. अर्थात f(d) = k

म्हणजेच, f(a) व f(b) ह्या दोघांमधील k ह्या कोणत्याही एका संख्येसाठी आपण ‘d’ ही अशी संख्या शोधली, जिच्यापाशी f ह्या फलाची किंमत k येते. अशा प्रकारे आपण ‘मध्य मूल्य प्रमेय’ सिद्ध करता येते.

येथे बीजशोधनाचे प्रमेय मान्य केले व त्याचेच सामान्यरूप किंवा विस्तारित रूप म्हणून मध्य मूल्य प्रमेय’ सिद्ध केले. काही ग्रंथांमध्ये किंवा आंतरजालीय स्रोतांमध्ये ह्याच्या उलट स्थिती पाहावयास मिळते. तिथे मध्य मूल्य प्रमेय दुसऱ्या मार्गाने सिद्ध केलेले असते व त्या प्रमेयाचे वैशिष्ट्यपूर्ण उदाहरण म्हणून बीजशोधनाच्या प्रमेयाकडे निर्देश केलेला असतो.

एका लहानशा उदाहरणाने ह्या प्रमेयाची उपयोगिता पाहता येईल. कोणत्याही परिमेय संख्येचा वर्ग 2 असू शकत नाही, हे सहज सिद्ध करता येते. म्हणजे, $\sqrt2$ ही परिमेय संख्या नाही. पण मुळात ती वास्तव संख्या तरी आहे का? गणकयंत्राच्या साहाय्याने किंवा किचकट आकडेमोड करता असे लक्षात येते की 1.4142136 चा वर्ग केल्यास तो 2 च्या खूपच जवळ जातो. तथापि, ह्यातून $\sqrt2$ ही वास्तव संख्या आहे की नाही ह्यावर प्रकाश पडत नाही. अशा वेळेस f(x) = x² ह्या संतत फलावर मध्य मूल्य प्रमेय वापरून $\sqrt2$ ची वास्तवता सिद्ध करता येते. केवळ हीच संख्या नाही, तर , 3, 5, 6, … या सर्वच संख्यांच्या वर्गमुळांची वास्तवता सिद्ध करता येते. किंबहुना n ही कोणतीही धन संख्या असली व m ही कोणतीही धनपूर्णांक संख्या असली तर ह्याच प्रमेयाच्या आधारे, m√n हिची वास्तवताही सिद्ध करता येते.