मूळ संख्यांचे प्रमेय (Prime Number Theorem)

मूळ संख्यांचे प्रमेय (Prime Number Theorem) सर्वप्रथम १८ व्या शतकात आद्रीअँ मारी लझांद्र आणि कार्ल फ्रीड्रिख गौस (गाउस) यांनी स्वतंत्रपणे मांडले. मूळ संख्याच्या प्रमेयाची सिद्धता १८९६ मध्ये जाक आदामार (Jacques Hadamard) आणि शार्ल झान दी ला वॅली पूसँ (Charles Jean de la Vallée Poussin) यांनी स्वतंत्रपणे दिली.  या सिद्धतेसाठी  त्यांनी  गेओर्ख फ्रीड्रिख बेर्नहार्ट रीमान यांच्या १८५९  च्या प्रसिद्ध शोध निबंधात  मांडलेल्या रीमान झीटा फलनाचा (zeta function) उपयोग केला.

कोणत्याही  x > 0 या  वास्तव संख्येसाठी   \pi(x) ची किंमत खालीलप्रमाणे मांडता येते.      

    \[\pi(x) = |\{ p \mid p ~ \text{मूळ संख्या}, p\leq x \}|.\]

थोडक्यात, \pi(x) ही x पर्यंत असलेल्या मूळ  (prime) संख्यांची संख्या दर्शवते. नोंद घ्या की  \pi: \mathbb R_+ \rightarrow \{0, 1, 2, \ldots \} हे फलन धन वास्तव संख्यापासून  \{0, 1, 2, \ldots \} पर्यंतचे फलन आहे.

प्रमेय

    \[ \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\pi(x)}{x/ \log(x)}=1 \]

येथे  \log(x) हे  x चे नैसर्गिक लॉगरिथम (natural logarithm) आहे.

मूळ संख्यांचे प्रमेय हे खालीलप्रमाणे सुद्धा  मांडता येते.

    \[ \pi(x) \sim \frac{x}{\log(x)} \quad \text{जसे }x\to \infty. \]

येथे \pi(x) \sim \frac{x}{\log(x)} \text{जसे }x\to \infty चा अर्थ असा होतो की जस जसे  x ची किंमत मोठी होत जाते तस तशी  \pi(x) ची किंमत ही \frac{x}{\log(x)} च्या खूप निकट जाते. म्हणजेच  \frac{x}{\log(x)} हे फलन  \pi(x) चे खूप चांगले सन्निकटीकरण (approximation) आहे. विशेषतः मोठ्या संख्यांसाठी म्हणजेच जर x मोठा असेल तेव्हा हे सन्निकटीकरण खूप चांगले काम करते.

गणितातील मूळ संख्यांचा अभ्यास यूक्लिडपासून (Euclid) सुरू झाला. पूर्ण संख्यामधील मूळ संख्यांचे वितरण कसे असते हा एक महत्त्वाचा प्रश्न मानला जातो. मूळ संख्याच्या पूर्ण संख्यामधील वितरणात अनियमितता वाटत असली तरी त्यांच्या एकूण वितरणामध्ये एक विशिष्ट नियम आहे. गाउसने सुचवले की [1 , x] ह्या अंतराळातील मूळ संख्यांची घनता ही साधरणतः  \frac{1}{\log(x)} इतकी असते. लझांद्रनेही अशाच प्रकारचे सूत्र सुचवले होते. गेओर्ख फ्रीड्रिख बेर्नहार्ट रीमान यांनी त्यांच्या १८५९ च्या मूळ संख्याच्या वितरणासंबंधीच्या प्रसिद्ध शोध निबंधात [1 , x] ह्या अंतराळातील मूळ संख्यांच्या घनतेच्या वाढीबद्दल काही गणितीय विधाने मांडली. त्यासाठी रीमानने त्यांनीच मांडलेल्या झीटा फलनाचा उपयोग केला.  पुढे  १९ व्या शतकाच्या शेवटी आदामार आणि पूसँ यांनी रिमान यांनी मांडलेल्या  झीटा फलनाच्या गुणधर्मांचा वापर करून मूळ संख्या प्रमेयाची सिद्धता दिली. या सिद्धतेसाठी त्यांनी सदसत् विश्लेषणाचा (Complex Analysis) वापर केला. पुढे १९४८ मध्ये पॉल इर्डीश व  ए. सेलबर्ग यांनी स्वतंत्रपणे मूळ संख्यांच्या प्रमेयाची सदसत् विश्लेषणाचा वापर न करता प्राथमिक स्वरूपाची सिद्धता दिली. या सिद्धतेसाठी त्यांनी कलनशास्त्रातील (Calculus) काही जुजबी व प्राथमिक स्वरूपाच्या बाबींचा वापर केला.

सिद्धतेचे घटक : या प्रमेयाची सिद्धता खालील प्रमुख घटकांवर आधारित आहे :

  • रिमान झीटा फलन \zeta(s) चे गुणधर्म.
  • हे दर्शवणे की \zeta(s) \neq 0 जेव्हा \text{Re}(s) = 1.
  • सदसत् विश्लेषणातील (complex analysis) पद्धती

उपयोग
मूळ संख्यांचे वितरण समजून घेणे.
क्रिप्टोग्राफीमध्ये (गुप्तलेखन / गुप्त-संप्रेषण) मोठ्या मूळ संख्यांचा वापर होत असल्याने मूळ संख्यांचे प्रमेय महत्त्वाचे ठरते.
संगणकीय संख्या सिद्धांतात उपयोग – उदा. मूळ संख्येची चाचणी (primality testing).
रीमान अनुमाने (Riemann hypothesis) यांवरील अधिक अभ्यासासाठी मूलभूत आधार म्हणून मूळ संख्यांच्या प्रमेयाकडे बघितले जाते.

या प्रमेयावर आधारित काही विस्तारित संकल्पना खालीलप्रमाणे :
\pi(x) आणि \frac{x}{\ln(x)} यांच्यातील त्रुटीसाठी सुधारित सीमा.
अंकगणितीय श्रेणींमध्ये मूळ संख्यांचे वितरण ह्यासाठी सूत्र मांडता येते व  हे मूळ  संख्यांच्या  प्रमेयाचा विस्तार म्हणून बघितल्या जाते. एक चलिय बहुपदींसाठी (single variable polynomial) सुद्धा मूळ संख्यांचे प्रमेय मांडता येते. मूळ संख्यांचे प्रमेय हे दाखवते की मूळ संख्यांच्या वितरणामध्ये अनियमितता असूनही, मोठ्या प्रमाणावर एक सौंदर्यपूर्ण सुसंगती आहे. ही सुसंगती अथवा सुसुत्रबद्धता गणितीय भाषेत स्पष्ट करता येते.

संदर्भ : 

  • Hardy, G. H.; Wright, E. M. An Introduction to the Theory of Number, Great Britain.
  • Apostol, Tom M. Introduction to Analytic Number Theory, 1976.
  • Martus Du Sautou, The Music of the Primes, 2004.
  • https://mathworld.wolfram.com/PrimeNumberTheorem.html

समीक्षण : मराठी विश्वकोश संपादक

Discover more from मराठी विश्वकोश

Subscribe to get the latest posts sent to your email.

Tags: , ,