एखाद्या नैसर्गिक संख्येला ज्या नैसर्गिक संख्यांनी निःशेष भाग जातो त्यांना त्या संख्येचे ‘विभाजक’ असे म्हणतात. उदा., 20 या संख्येला 1, 2, 4, 5, 10, 20 या संख्यांनी निःशेष भाग जातो म्हणून 1, 2, 4, 5, 10, 20 या संख्या 20 या संख्येचे विभाजक होय. ज्या नैसर्गिक संख्यांना 1 व स्वतः ती संख्या यांखेरीज अन्य विभाजक असतील तर अशा संख्या संयुक्त संख्या होत. जर एखाद्या संख्येला 1 व ती संख्या यांखेरीज अन्य विभाजक नसतील तर अशा संख्यांना मूळ संख्या म्हणतात.

काही संयुक्त संख्यांच्या जोड्यांना ‘परममित्र’ संख्यांची जोडी असे म्हटले जाते. या जोड्यांचे वैशिष्ट्य म्हणजे प्रत्येक जोडीपैकी प्रत्येक संख्या ही त्या जोडीतील सोबतच्या संख्येच्या स्वतः ती संख्या वगळता अन्य विभाजकांच्या बेरजेएवढी असते. उदा., (220, 284) ही परममित्र संख्यांची जोडी आहे.

यातील 220 या संख्येच्या स्वतः ती संख्या वगळता अन्य विभाजकांची बेरीज = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284

284 या संख्येच्या स्वतः ती संख्या वगळता अन्य विभाजकांची बेरीज = 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

इ.स.पू. 500 च्या सुमारास पायथॅगोरस या ग्रीक गणितज्ञाने संख्यांचा अभ्यास करताना परममित्र संख्यांची (220, 284) ही जोडी शोधली. त्यानंतर झालेल्या संशोधनातून ही जोडी परममित्र संख्यांची पहिली जोडी आहे हे लक्षात आले. इ.स. 9 – 10 व्या शतकात थाबित इब्न कुर्रा या अरबी गणितज्ञाने परममित्र संख्यांच्या जोड्या शोधण्यासाठी एक सूत्र सांगितले ते असे : जर,

p = (3 \times 2^{n-1}) - 1

q = (3 \times 2^{n}) - 1

p = (9 \times 2^{2n-1}) - 1      (n =  नैसर्गिक संख्या आणि n > 1)

p, q, r या संख्या जर मूळ संख्या असतील तर (2^{n}pq, 2^{n}r)  ही संख्यांची जोडी परममित्र संख्यांची जोडी होय.

या सूत्रात n ची किंमत 2 ठेवली की (220, 284) ही परममित्र संख्यांची जोडी मिळते. n = 4, n = 7 या किंमती सूत्रात ठेवल्या की अनुक्रमे (17296, 18416)(9363584, 9437056) या जोड्या मिळतात. या जोड्या देकार्त, फेर्मा, फरिसी, बन्ना व याझिदी या गणितज्ज्ञांनी स्वतंत्रपणे शोधून काढल्या. परंतु n = 3, 5, 6 या किंमतींसाठी परममित्र संख्यांच्या जोड्या मिळाल्या नाहीत. त्यामुळे तीन जोड्या वगळता अन्य कोणतीही जोडी या नियमाचा वापर करून शोधली गेली नाही .

थोर गणितज्ञ ऑयलर यांनी कुर्राने सांगितलेल्या सूत्राचे सामान्यीकरण (generalisation) केले. त्यांनी सांगितलेलं सूत्र :

p = (2^{n_1 - n_2} + 1) \times 2^{n_2} - 1

p = (2^{n_1 - n_2} + 1) \times 2^{n_1} - 1

p = (2^{n_1 - n_2} + 1)^2 \times 2^{n_1+n_2} - 1

(n_1 > n_2 > 0)  या पूर्णांक संख्या आणि p, q, r या मूळ संख्या असतील तर (2^{n_1}pq, 2^{n_1}r) ही परममित्र संख्यांची जोडी होय.

विशेष म्हणजे ऑयलरने 1747 ते 1750 या काळात परममित्र संख्यांच्या 58 नवीन जोड्या शोधून काढल्या. 1866 मध्ये निकल पॅगनिनी (Nicolo Paganini) या 16 वर्षीय इटालियन मुलाने (1184, 1210) ही जोडी शोधली. संगणकांच्या वापरामुळे परममित्र संख्यांच्या जोड्या शोधणे सोपे झाले. जानेवारी 2020 पर्यंत परममित्र संख्यांच्या 1,22,50,63,681 एवढ्या जोड्या शोधण्यात यश मिळाले आहे. पहिल्या दहा परममित्र संख्यांच्या जोड्या अशा : (220, 284), (1184, 1210), (2620, 2924), (5020, 5564), (6232, 6368), (10744, 10856), (12285, 14595), (17296, 18416), (63020, 76084), (66928, 66992).

जुळ्या परममित्र संख्यांची जोडी (Twin amicable number pair) : ज्या परममित्र संख्यांच्या जोडीतील दोन संख्यांमधे अन्य कोणतीही परममित्र संख्यांची जोडी किंवा परममित्र संख्या येत नसेल तर अशा जोडीला ‘जुळ्या परममित्र संख्यांची जोडी’ म्हणतात. उदा., (220, 284), (1184, 1210 ).

परममित्र संख्यांच्या जोड्यांचे वर्गीकरण सम जोड्या व विषम जोड्या असे केले जाते. ज्या परममित्र संख्यांच्या जोडीतील संख्या सम ती जोडी सम परममित्र संख्या जोडी व ज्या जोडीतील संख्या विषम ती जोडी विषम परममित्र संख्या जोडी होय. परममित्र संख्यांच्या जोड्या लक्षात घेऊन त्यावर आधारीत ‘अनंत परममित्र संख्यांच्या जोड्या अस्तित्वात आहेत. यासारखे अनेक कयास / अटकळ  (conjectures) मांडले गेले आहेत .

संदर्भ :

समीक्षक : अनुराधा गर्गे