कापरेकर स्थिरांक, ४९५ आणि ६१७४ (Kaparekar Constant, 495 and 6174)

थोर भारतीय गणिती कै. दत्तात्रय रामचंद्र कापरेकर यांनी ४९५ आणि ६१७४ हे दोन स्थिरांक शोधले. (यापैकी ६१७४ हा कापरेकर स्थिरांक सर्वात जास्त परिचित आहे.)

‘कापरेकर स्थिरांक’ शोधण्यासाठी कापरेकर सरांनी उपयोजलेली  ‘उलट क्रम वजाबाकी पद्धत’ माहित करून घेणे अत्यंत गरजेचे आहे.

• आपण निवडलेले अंक (डावीकडून उजवीकडे) उतरत्या क्रमाने लिहिले असता तयार होणारी संख्या ही त्या अंकांनी तयार झालेली महत्तम संख्या असते.
• आपण निवडलेले अंक (डावीकडून उजवीकडे) चढत्या क्रमाने लिहून तयार होणारी संख्या ही निवडलेल्या अंकांनी तयार होणारी लघुतम संख्या असते.
• निवडलेल्या (प्राप्त झालेल्या) अंकांनी तयार होणाऱ्या महत्तम संख्येतून लघुतम संख्या वजा करणे या क्रियेला ‘उलट-क्रम-वजाबाकी’ असे म्हटले जाते.
• तीन अंकी कापरेकर स्थिरांक समजा आणि ४, ८ आणि ३ हे अंक निवडले तर ८४३ ही महत्तम संख्या आणि ३४८ ही लघुतम संख्या आहे. [८४३>८३४>४८३>४३८>३८४>३४८]

काही वेळा ४९५ ही तीन अंकी ‘कापरेकर स्थिरांक’ संख्या मिळविण्यासाठी दोन किंवा अधिक उलट-क्रम-वजाबाक्या कराव्या लागतात. याबाबतचे एक उदाहरण पुढील सारणीत दिले आहे.

४, ९  आणि ५ या तीन अंकांपासून तयार होणारी महत्तम संख्या ९५४ आणि लघुतम संख्या ४५९. उलट क्रम वजाबाकीने मिळणारी संख्या ४९५ म्हणून ४९५ ही तीन अंकी ‘कापरेकर स्थिरांक’ संख्या आहे.

९५४, ८४३, ७३२, ६२१ आणि ५१० या संख्यांच्या उलट-क्रम-वजाबाकीने ‘कापरेकर स्थिरांक ४९५ हा एकाच वजाबाकीने प्राप्त होते. (येथे उलट क्रम वजाबाकीने मिळणारी संख्या ९९ ने विभाज्य असते. हे सहज लक्षात येईल.)

चार अंकी कापरेकर स्थिरांक (६१७४) :-

• समजा आपण १, २, ७ व ३ हे चार अंक निवडले तर ‘उलट-क्रम-वजाबाकीने’ चार अंकी संख्येचा कापरेकर स्थिरांक कसा मिळविता येतो ते पुढील सारणीच्या साहाय्याने समजवून घेऊ. सारणीचे काळजीपूर्वक निरीक्षण करा.

६, १, ७ आणि ४ या चार अंकांनी तयार होणारी महत्तम संख्या ७६४१ आहे आणि लघुतम संख्या १४६७ आहे. या दोन संख्यांच्या उलट-क्रम-वजाबाकीने केवळ एकाच पायरीमध्ये ६१७४ ही कापरेकर स्थिरांक संख्या मिळते. तसेच ९५३३, ८४२२, ७३११  आणि  ९८६३ या चार अंकी संख्यांच्या उलट-क्रम-वजाबाकीने केवळ पहिल्याच पायरीमध्ये ‘कापरेकर स्थिरांक ६१७४’ प्राप्त होतो.

‘कापरेकर स्थिरांक ६१७४’ चा शोध कै. दत्तात्रय रामचंद्र कापरेकर यांनी १९४६ मध्ये लावला. त्याबाबतचा पहिला शोध निबंध त्यांनी सन १९४९ मध्ये मद्रास (चेन्नई) येथे झालेल्या इंडियन मॅथेमॅटिकल सोसायटीच्या वार्षिक अधिवेशनात सादर केला. हा शोधनिबंध त्याचवर्षी न्यूयॉर्कहून प्रसिद्ध होणाऱ्या नियतकालिकाच्या व्हॉल्युम ⅩⅤ मध्ये पान क्रमांक २४४ वर प्रकाशित झाला. त्यानंतर सन १९५५ मध्ये ‘मेथॉसिस’ या बेल्जियमहून प्रकाशित होणाऱ्या नियतकालिकात प्रकाशित झाला. कापरेकर सरांनी ‘न्यु कॉन्स्टन्ट ६१७४’ हे पुस्तक प्रथम सन १९५९ मध्ये प्रकाशित केले. याच पुस्तकाची सुधारित आवृत्ती पुणे येथे संपन्न झालेल्या असोसिएशन ऑफ मॅथेमॅटिक्स टिचर्स ऑफ इंडियाच्या १९ व्या आणि महाराष्ट्र गणित अध्यापक महामंडळाच्या ८ व्या संयुक्त अधिवेशनात सन १९८४ मध्ये प्रकाशित करण्यात आली.

समीक्षक – शशिकांत कात्रे