एकोणिसाव्या शतकाच्या अखेरीस जर्मन गणितज्ञ गेओर्क कँटर यांनी संच सिद्धांत (Set Theory) हा आधुनिक गणितातील महत्त्वाचा सिद्धांत मांडला आणि त्यामुळे गणिताच्या सर्वच शाखांमध्ये आमूलाग्र बदल व प्रगती झाली. संच सिद्धांतामधून गट सिद्धांत (Group Theory), क्षेत्र सिद्धांत (Field Theory) अशा अनेक सिद्धांतांचा उगम झाला. संच सिद्धांताने गणिताचा तर्कशुद्ध पाया तयार केला.
संच : वस्तूंच्या समुच्चयाला संच (Set) असे संबोधिले जाते. संचाचा अभ्यास करताना संचाची संख्यादर्शकता किंवा संचाचे आकारमान (Cardinality of Set) ठरविणे गरजेचे असते. एखाद्या संचात जितके घटक असतील तितकी त्या संचाची संख्यादर्शकता असते. उदा., 
= {तांबडा, नारंगी, पिवळा, हिरवा, निळा, पांढरा, जांभळा}. संच A मध्ये एकूण सात रंगांची नावे आहेत म्हणून संच ची संख्यादर्शकता किंवा आकारमान 07 आहे. संचाची संख्यादर्शकता 
, 
अशी दाखवली जाते.
अनंत संख्या संच : ज्या संचातील घटकांची संख्या अमर्यादित असते, अशा संचास अनंत संख्या संच असे संबोधतात. डाव्हिट हिल्बर्ट ह्या जर्मन गणितज्ञानी अनंत ही संकल्पना पुढील उदाहरणातून समजावून सांगितली आहे. समजा एका काल्पनिक हॉटेलमध्ये अनंत खोल्या असतील तर तिथे कितीही प्रवासी आले तरी त्यांची सोय होऊ शकेल. कारण कधीही नवीन प्रवासी आला की क्रमांक एकची खोली त्याला देऊन एक क्रमांकाच्या खोलीतील प्रवासी क्रमांक दोनमध्ये, दोनमधला तीनमध्ये असे पुढे पुढे बदलत जायचे. थोडक्यात ज्या संचामधील संख्या एका पाठोपाठ वगळत राहिले असता त्या कधीच संपणार नाहीत अशा संचाला ‘अनंत’ असे म्हणू शकतो.
गेओर्क कँटरचे विश्लेषण :
= {2, 4, 6, ….},
= {1, 2, 3, ….},
= {……-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ….},
= { सर्व सत् / वास्तव संख्या}.
वरील चार संच हे अनंत संख्या संच आहेत. या संचाच्या आकारमानांची तुलना करायची झाल्यास ती कशी करायची? कारण हे संच क्रमाक्रमाने मोठे होत जात आहेत. त्यामुळे त्या सर्वांची संख्यादर्शकता वेगवेगळी आहे असे वाटते. परंतु कँटर यांनी असे सिद्ध केले की, जरी हा च्या दुप्पट आणि हा च्या दुप्पट आकाराचा वाटत असला तरी, पहिल्या तीन संचांचे आकारमान एकसारखे आहे आणि चौथा त्यांच्याहून मोठा आहे. संचाच्या संख्यादर्शकतेचा अभ्यास करताना विश्लेषण अधिकाधिक रंजक होत जाते.
जॉर्ज गेमाऊ ( George Gamow) हे त्यांच्या One, Two, Three…..Infinity ह्या प्रसिद्ध पुस्तकात वरील मुद्दा पुढील उदाहरणाद्वारे समजावून सांगतात. समजा एका राजाकडे सोन्याच्या नाण्यांचा ढीग आहे परंतु त्याचे संख्याज्ञान अगदीच अपुरे आहे. तर त्याला त्या नाण्यांची मोजणी कशी करता येईल? एक उपाय असा आहे की, प्रत्येक नाण्यामागे त्याने एकेक वाळूचा कण बाजूला काढून ठेवायचा. शेवटी किती नाणी आणि किती वाळूचे कण आहेत हे दोन्ही माहिती नसताना राजा मूठभर वाळू उचलून म्हणू शकतो की माझ्याकडे इतकी नाणी आहेत. पुराणकाली वाल्या कोळ्यानेदेखील अशाच प्रकारे मारलेली माणसे मोजण्यासाठी सात रांजण खड्यांनी भरले होते. अशाप्रकारच्या एकास एक जोडणीस एकैक फल (Bijective function) ही गणितातली अतिशय उपयुक्त संकल्पना आहे.
आणि या दोन संचांमध्ये नैसर्गिक एकैक फल आहे. त्यातील घटकांच्या जोड्या क्रमाक्रमाने लावणे शक्य आहे. आणि या संचांमध्ये तसा संबंध लावण्यासाठी संच वेगळ्या पद्धतीने लिहावा लागेल.
= { 0,1, -1, 2, -2, 3, -3….} अशाप्रकारे लिहिल्यास अणि या संचांमधील मधील एकैक फल स्पष्ट होते. ह्याच पद्धतीने कोणताही संच ज्यातील घटक एकापुढे एक अशा एका ओळीत लिहिता येतात त्या संचाचे बरोबर नैसर्गिक एकैक फल असते. हे सर्व संच एकाच आकारमानाचे आहेत. त्यांच्या आकारमानाला ‘अलेफ नॉट’( ) अशी संज्ञा आहे. अनंत संख्या असलेले हे सर्वात लहान संच आहेत. संच मधील घटक एकापुढे एक अशा एका ओळीत लिहिता येत नाहीत व त्यामुळे हा संच आकारमानाने जास्त मोठा आहे.
संच हा आकारमानाने जास्त मोठा असला तरीही त्यापेक्षाही अधिक आकारमानाचे संच आहेत. संच च्या सर्व उपसंचांचा संच घेतला तर त्याचे आकारमान हे संच च्या आकारमनापेक्षा अधिक असते (जर या संचाचा प्रत्येक घटक 
या संचाचा घटक असेल तर हा चा उपसंच आहे असे म्हणतात). असेच रेषाखंडाचे उदाहरण देता येईल. कोणत्याही लांबीच्या दोन रेषाखंडांमधील बिंदूंमध्ये एकैक फल असते, त्यातील एका रेषाखंडाची लांबी दुसऱ्या रेषाखंडाच्या लांबीपेक्षा अनेकपटीने जास्त असली तरीही त्या रेषाखंडांमध्ये एकैक फल असते.
कँटर यांचे हे संशोधन फारच अनपेक्षित होते आणि त्यामुळे कँटर यांच्या संशोधनावर भरपूर टीकाही झाली. ‘’माझाच माझ्या संशोधनावर विश्वास बसत नाहीय’’ असे कँटर यांनी म्हटल्याची नोंद आहे. हिल्बर्ट अणि इतर अनेकांनी कँटर यांच्या सिद्धांताचे समर्थन केले.
पहा : संच सिद्धांत
संदर्भ :
- George Gamow, One two three …. infinity!!, 1961.
- Willium Dunnham, Journey through Genius, 1991.
समीक्षक : शरद साने
