संच (SET)

संच ही आधुनिक गणितातील एक मूलभूत संकल्पना आहे. गेओर्क कॅन्टर (Georg Cantor) या जर्मन गणितज्ञाने या संकल्पनेचा सखोल अभ्यास केला. पुढे रिखार्ट डेडेकिंट, बर्ट्रंड रसेल व इतर गणितज्ञांनी संचातील अनेक महत्त्वपूर्ण बाबींचे विश्लेषण केले. विशिष्ट गुणधर्म असलेल्या घटकांच्या समूहाला संच असे म्हणतात. उदाहरणार्थ, एका गावातील सर्व लोकांचा समूह हा एक संच आहे. त्या गावातील प्रत्येक माणूस हा या संचाचा घटक आहे.
संचाची गणितीय व्याख्या पुढीलप्रमाणे करता येईल.

संच : ज्या समूहातील घटक वेगवेगळे असतात आणि ते अचूक व नेमकेपणाने सांगता येतात अशा समूहाला संच असे म्हणतात.

सर्वसाधाराणपणे, इंग्रजी वर्णमालेतील पहिल्या लिपीतील अक्षरे संच दर्शविण्यासाठी वापरतात तर संचातील घटक दर्शविण्यासाठी दुसऱ्या लिपीतील अक्षरे वापरतात. तसेच, एखादा घटक हा एखाद्या संचाचा घटक आहे हे दर्शविण्यासाठी “”  या चिन्हाचा वापर करतात.  संचाचे घटक या प्रकारच्या कंसाच्या आत लिहितात.

उदा., या संचात चार घटक आहेत. हा चा घटक आहे हे दर्शविण्यासाठी “” असे लिहितात तर हा चा घटक नाही हे दर्शविण्यासाठी   “” असे लिहितात.

संख्यांचे काही महत्त्वाचे संच :
१. नैसर्गिक संख्यांचा संच (set of natural numbers): .

२. पूर्ण संख्यांचा संच (set of integers): .

काही वेळा संचाचे घटक प्रत्यक्ष न देता घटकांचे वर्णन किंवा वैशिष्ट्ये दिली जातात. या पद्धतीला यादी पध्दत असे म्हणतात. उदा., समजा हा पेक्षा मोठ्या व पेक्षा लहान नैसर्गिक संख्यांचा संच आहे. हेच  गणितीय भाषेत आपल्याला असे लिहिता येईल. प्रत्यक्षात,  . आता आपण परिमेय संख्यांचा संच यादी पद्धतीने कसा लिहितात ते पाहू.

१. परिमेय संख्यांचा संच (set of rational numbers):  .

२. अपरिमेय संख्यांचा संच (set of irrational numbers): परिमेय नसणाऱ्या संख्यांना अपरिमेय संख्या  म्हणतात. उदा., , (पाय)  ह्या संख्या परिमेय नाहीत असे दाखविता  येते.  अपरिमेय संख्यांचा संच वरील संख्यांच्या संचांप्रमाणे संक्षिप्त रुपात मांडता येत नाही.

३. वास्तव संख्यांचा संच (set of real numbers) :  परिमेय संख्यांचा संच व अपरिमेय संख्यांचा संच मिळून  वास्तव संख्यांचा संच बनतो आणि तो या अक्षराने दर्शविला जातो.

४. रिक्त संच (empty set) : ज्या संचामध्ये एकही घटक नसतो अशा संचास रिक्त संच असे म्हणतात व तो  “”  ~ (फि / फाय) या चिन्हाने दर्शवितात. तसेच जो संच रिक्त नसतो अशा संचास अरिक्त संच (non-empty set) असे संबोधतात.

५. सांत संच (finite set) : ज्या संचातील घटकांची संख्या मर्यादित असते, अशा संचास सांत संच असे संबोधतात. रिक्त संच हा सांत संच आहे. उदा., हा सांत संच आहे.

६. अनंत संच (infinite set) :  ज्या संचातील घटकांची संख्या अमर्यादित असते, अशा संचास अनंत संच असे संबोधतात.

नैसर्गिक संख्यांचा संच, पूर्ण संख्यांचा संच, परिमेय संख्यांचा संच, अपरिमेय संख्यांचा संच, वास्तव संख्यांचा संच, ही अनंत संचांची काही उदाहरणे आहेत. अनंत संचाचे गणनीय संच (countable set) व अगणनीय संच (uncountable set) असे वर्गीकरण करतात.  उदा., नैसर्गिक संख्यांचा संच हा अनंत व गणनीय  आहे तर वास्तव संख्यांचा संच हा अगणनीय आहे असे दाखवता येते.

७. उपसंच (subset) : जर या संचाचा प्रत्येक घटक या संचाचा घटक असेल तर हा चा उपसंच आहे असे म्हणतात व  “” असे लिहितात.

उदा., एखाद्या वर्गातील मुलांचा संच हा त्या वर्गातील सर्व मुले व मुली या संचाचा उपसंच आहे. तसेच, “”, कारण प्रत्येक नैसर्गिक संख्या ही एक वास्तव संख्या आहे.

कार्तीय गुणाकार (Cartesian product) : दोन समूहातील घटकांच्या सर्व क्रमिक जोड्यांचा संच मिळवण्यासाठी कार्टेशियन गुणाकार या संकल्पनेचा वापर केला जातो. उदाहरणार्थ, राम व श्याम यांना रंगकाम, बागकाम व विणकाम ही तीनही प्रकारची कामे करता येतात. तर माणसे  व कामांच्या पुढीलप्रमाणे सहा क्रमिक जोड्या होतील. क्रमिक जोड्या ह्या “(~,~)” अशा प्रकारच्या कंसात लिहिल्या जातात.

(राम,  रंगकाम), (राम, बागकाम), (राम, विणकाम), (श्याम, रंगकाम), (श्याम, बागकाम), (श्याम, विणकाम).

गणिती भाषेमध्ये ही संकल्पना खालील प्रमाणे मांडता येईल.

दोन अरिक्त संच व   यांचा कार्टेशियन गुणाकार  या चिन्हाने दर्शवितात  व हा  संच खालील प्रमाणे लिहितात.

कार्तीय गुणाकार हि संकल्पना उदाहरणाद्वारे दाखविता येईल.
उदा., जेव्हा  आणि असेल तेव्हा   हा त्यांचा कार्तीय गुणाकार पुढीलप्रमाणे असेल.

समीक्षक – यशवंत बोरसे