अंतराल (Interval)

\mathbb{R} या वास्तव संख्या संचाचे अनेक महत्‍त्वाचे उपसंच आहेत. अंतराल (interval)  हा त्यापैकी एक महत्‍त्वाचा संच आहे. कलन या गणितीय शाखेत अनेक महत्‍त्वाच्या संकल्पना व्यक्त करण्यासाठी अंतरालाचा उपयोग होतो.

समजा a, b \in \mathbb{R} आणि a \leq b आहे. a आणि b या दोन संख्यांच्या मध्ये असणाऱ्या सर्व संख्यांच्या संचास अंतराल असे म्हणतात. अंतरालाचे अनेक प्रकार पडतात. अंतरालाचे प्रकार व त्यांच्या व्याख्या पुढीलप्रमाणे :

अनावृत अंतराल (Open Interval) (a, b) : हा अशा वास्तव संख्या x चा संच आहे की ज्या a पेक्षा काटेकोरपणे अधिक (चिन्हामध्ये ``a<'' ) आणि b पेक्षा काटेकोरपणे कमी (चिन्हामध्ये ``b >'' ) आहेत. म्हणजेच,

    \[(a, b) = \{ x \in \mathbb{R} \colon a < x < b\}.\]

वरील अंतराळात  a व  b या दोन्ही संख्या नाहीत. a आणि  b या दोन्ही संख्या वरील  अंतरालात टाकल्या तर आवृत अंतराल मिळतो.

आवृत अंतराल (Closed Interval) [a, b] :हा अशा वास्तव संख्या x चा संच आहे की ज्या a पेक्षा अधिक ( चिन्हामध्ये ``a \leq'' ) आणि b पेक्षा  कमी ( चिन्हामध्ये ``b\geq'' ) आहेत. म्हणजेच,

    \[[a, b] = \{x \in \mathbb{R} \colon a \leq x\leq b\}.\]

उदाहरणार्थ (4, 5) व ( -2, 6) ही अनावृत अंतरालाची उदाहरणे आहेत आणि  [-1, 2] हे आवृत अंतरालाचे उदाहरण आहे. ही सर्व सीमांकित / परिबद्धित अंतरालाची (bounded interval) उदाहरणे आहेत. तसेच \{1, 2 \} ला अंतराल म्हणता येणार नाही कारण  1 व 2 यांच्या मध्ये असणाऱ्या सर्व वास्तव संख्या यात नाहीत. सीमांकित  अंतराल (bounded interval) यांना सांत अंतराल  (finite interval) असे देखील संबोधतात.

असीमांकित अंतराल (Unbounded Interval) : खालील सर्व संचांस अनंत अंतरालाने संबोधतात.

    \[ (a, \infty) = \{ x \in \mathbb R \colon a < x \} \]

    \[ [a, \infty) = \{ x \in \mathbb R \colon a \leq x \} \]

    \[ ( \infty, b) = \{ x \in \mathbb R \colon x < b \} \]

    \[ ( \infty, b] = \{ x \in \mathbb R \colon x \leq b \} \]

वास्तव संख्यांचा संच अंतरालाच्या भाषेत \mathbb R = (-\infty, \infty)  अशाप्रकारे मांडता येतो.

असीमांकित  अंतरालाला अनंत अंतराल (infinite interval) असे देखील संबोधतात.

डावे अनावृत अंतराल (left open Interval) : अंतरालातील डावीकडील टोकाची किंमत धारण न करणाऱ्या अंतरालास डावे अनावृत अंतराल संबोधतात. डावे अनावृत अंतराल खालीलप्रमाणे संच रूपात लिहिता येईल,

    \[(a, b] = \{x \in \mathbb{R} \colon a < x \leq b\}.\]

    \[(a, b) = \{x \in \mathbb{R} \colon a < x < b\}.\]

    \[(\infty, b] = \{x \in \mathbb{R} \colon x \leq b\}.\]

उजवे अनावृत अंतराल (right open Interval) : अंतरालातील उजवीकडील टोकाची किंमत धारण न करणाऱ्या अंतरालास उजवे  अनावृत अंतराल संबोधतात. उजवे अनावृत अंतराल खालीलप्रमाणे संच रुपात लिहिता येईल,

    \[[a, b) = \{x \in \mathbb{R} \colon a \leq x < b \}.\]

    \[(a, b) = \{x \in \mathbb{R} \colon a < x < b \}.\]

    \[(\infty, b) = \{x \in \mathbb{R} \colon x < b\}.\]

वरीलप्रमाणेच  डावे आवृत अंतराल (left closed interval) आणि उजवे  आवृत अंतराल (right closed interval) यांची देखील  व्याख्या करता येईल.

उप-अंतराल (Subinterval) : अंतरालाच्या उपसंचास उप-अंतराल असे म्हणतात. उदाहरणार्थ (1, 2) हा  (0, 3) चा  उप-अंतराल आहे.

अंतरालाचा उपयोग कलन या गणितीय शाखेत अनेक सैद्धांतिक तसेच व्यावहारिक बाबींचे विश्लेषण करण्यासाठी केला जातो. उदाहरणार्थ एखाद्या संतत फलनाने धारण केलेल्या किमतींचा संच हा अंतराल असतो. एखाद्या वस्तूची किंमत फलनाने दर्शविली असता त्या वस्तूच्या शक्य असणाऱ्या सर्व किमतींचा संच हा सीमांकित अंतराल असतो.

समीक्षक : गणेश कडू

Tags: ,