त्रिकोणांची एकरूपता व समरूपता (Triangle’s Congruency and Symmetry)

त्रिकोणांची एकरूपता : जे त्रिकोण त्यांच्या शिरोबिंदूच्या एकास-एक संगतीनुसार परस्परांशी तंतोतंत जुळविता येतात ते त्रिकोण एकरूप असतात.

दोन त्रिकोण एकरूप असतील तर (आकृती १) –

त्यांच्या संगत भुजा समान लांबीच्या (एकरूप) असतात.
त्यांचे संगत कोन समान मापाचे (एकरूप) असतात.
त्यांची क्षेत्रफळ समान असतात.
त्यांच्या संगत मध्यगा समान लांबीच्या असतात.
त्यांची संगत उंची समान असते.
त्यांच्या आंतर वर्तुळांच्या त्रिज्या आणि परिवर्तुळांच्या त्रिज्या समान लांबीच्या असतात.
प्रत्येक त्रिकोण स्वत:शी एकरूप असतो.
एक त्रिकोण दुसऱ्या त्रिकोणाशी एकरूप असेल तर दुसरा त्रिकोण पहिल्या त्रिकोणाशी एकरूप असतो.
एक त्रिकोण दुसऱ्या त्रिकोणाशी एकरूप असेल आणि दुसरा त्रिकोण तिसऱ्या त्रिकोणाशी एकरूप असेल तर तिसरा त्रिकोण पहिल्या त्रिकोणाशी एकरूप असतो.

त्रिकोणांची समरूपता : समरूप त्रिकोणांच्या तिन्ही संगत बाजू त्यांच्या संगतीनुसार प्रमाणात असतात.

समरूप त्रिकोणांचे तिन्ही कोन त्यांच्या संगतीनुसार एकरूप असतात (आकृती २).

ΔABC ~ ΔPQR असेल तर

$\frac{l(AB)}{l(PQ)} = \frac{l(BC)}{l(QR)} = \frac{l(AC)}{l(PR)}$

आणि m∠A ≅ m∠P; m∠B ≅ m∠Q; m∠C ≅ m∠R.

सर्व समभुज त्रिकोण परस्परांशी समरूप असतात. सर्व एकरूप त्रिकोण समरूप असतात. एक त्रिकोण दुसऱ्या त्रिकोणाशी समरूप असेल तर दुसरा त्रिकोण पहिल्या त्रिकोणाशी समरूप असतो. एक त्रिकोण दुसऱ्या त्रिकोणाशी समरूप असेल आणि दुसरा त्रिकोण तिसऱ्या त्रिकोणाशी समरूप असेल तर तिसरा त्रिकोणपहिल्या त्रिकोणाशी समरूप असतो. एका त्रिकोणाच्या तीन भुजा (त्यांच्या संगतीनुसार) दुसऱ्या त्रिकोणाच्या तीन भुजांशी प्रमाणात असतील तर ते दोन त्रिकोण परस्परांशी समरूप असतात. एका त्रिकोणाचे दोन कोन दुसऱ्या त्रिकोणाच्या दोन कोनांशी एकरूप असतील तर ते दोन त्रिकोण परस्परांशी समरूप असतात. काटकोन त्रिकोणात कर्णावर काढलेल्या शिरोलंबामुळे होणारे दोन त्रिकोण परस्परांशी समरूप असतात आणि ते मुळच्या त्रिकोणाशीही समरूप असतात. ΔABC मध्ये रेषाखंड AP हा कर्ण BC वर काढलेला लंब आहे (आकृती ३).

m∠BAC = m∠BPA = m∠APC = 90°

m∠BAP = m∠ACP = m∠BCA = θ

आणि m∠ABP = m∠PAC = m∠CBA = 90 – θ

∴ ΔABP, ΔCAP आणि ΔCBA हे समरूप त्रिकोण.

$l(AB) : l(BP) : l(AP) = l(AC) : l(AP) : l(PC) = l(BC) : l(AB) : l(AP)$

समलंब चौकोन ABCD च्या असमांतर भुजांना (बाजू AD व बाजू BC) समाविष्ट करणाऱ्या रेषा परस्परांना P बिंदूत छेदत असतील तर ΔPAB व ΔPDC हे समरूप त्रिकोण आहेत (आकृती ४) .

चक्रीय चौकोन ABCD चे कर्ण AC व कर्ण BD हे एकमेकांना (वर्तुळाच्या आंतर्भागात) P बिंदूत छेदत असतील तर ΔAPB हा ΔDPC शी समरूप आहे आणि ΔAPD हा ΔBPC शी समरूप आहे (आकृती ५).

चक्रीय चौकोन ABCD च्या बाजू AB आणि बाजू CD यांना सामाविणाऱ्या रेषा वर्तुळाच्या बाह्यभागात एकमेकांना बिंदू P मध्ये छेदत असतील तर ΔPBC व ΔPDA हे समरूप त्रिकोण आहेत (आकृती ६).