स्वयंभू आणि संगम संख्या : स्वयंभू संख्या ही संकल्पना थोर भारतीय गणिती दत्तात्रय रामचंद्र कापरेकर यांनी १९४९ मध्ये मांडली. यासाठी त्यांना १९६२ मध्ये विद्यापीठ अनुदान मंडळाची (UGC) शिष्यवृत्ती प्राप्त झाली होती. यासाठी त्यांनी उपयोगात आणलेल्या काही शब्दयोजना पुढील प्रमाणे.
जनक संख्या : कोणतीही नैसर्गिक संख्या (शून्येतर धन पूर्णांक संख्या) ही जनक संख्या असते.
अंक बेरीज प्रक्रिया : एखाद्या नैसर्गिक संख्येत त्या संख्येतील सर्व अंकांची बेरीज मिळविणे म्हणजे अंक बेरीज प्रक्रिया होय. उदा. 23 या संख्येत 2 आणि 3 यांची बेरीज मिळवणे; म्हणजेच 23+2+3 = 28.
इथे 23 ला जनक संख्या आणि 28 ला उत्पादित संख्या म्हणतात. सारणी क्र. १ चे निरीक्षण केले असता असे लक्षात येते की, उत्पादित संख्या या जनक संख्येपेक्षा मोठ्या असतात. ज्या नैसर्गिक संख्येला जनक संख्या नसते, त्या संख्येला स्वयंभू संख्या असे म्हणतात. उदा., 2 = 1 + 1 = 2 , 6 = 3 + 3 = 6, म्हणजेच दोन आणि तीन ह्या संख्या स्वयंभू नाहीत.
पुढे 19 देखील स्वयंभू नाही. कारण 14 + 1 + 4 =19. तसेच 34 + 3 + 4 = 41.
- 1, 3, 5, 7 आणि 9 या एक अंकी संख्या स्वयंभू संख्या आहेत.
- 20, 31, 42, 53, 64, 75, 86 आणि 97 या दोन अंकी संख्या स्वयंभू आहेत.
- 108, 110, 121, 132, …. या तीन अंकी संख्या स्वयंभू संख्या आहेत.
प्रथम जनक संख्येवर अंक बेरीज प्रक्रिया करून उत्पादित (निर्मित) संख्या मिळते. प्रत्येक निर्मित संख्या ही जनक संख्या मानून पुढील निर्मित संख्या लिहीत गेल्यास एक संख्या श्रेणी मिळते. अशा श्रेणी मालिकेत जर पहिली संख्या स्वयंभू असेल तर तिला स्वयंभू संख्येची मालिका असे म्हणतात. दोन स्वयंभू संख्यांच्या मालिकाचा संगम ज्या संख्येपाशी होतो तिला संगम संख्या असे म्हणतात. पुढील सारणीचे निरीक्षण करा.
या सारणीचे निरीक्षण केले असता दोन संच (पहा) तयार होतात. त्याला A आणि B असे म्हणू.
A = { 48, 60, 66, 78, 93, 105, …}
B = { 87, 102, 105, 111, ……}
संगम संख्या म्हणजे संच A छेद संच B.
A ∩ B = { 105, ….}
105 ही संगम संख्या होय.
खालील संगम संख्या बघू.
S(1) ={ 2, 4, 8, 16, 23, …, 77, 91, 101, 103, 107, 115, …..}
S(86) = { 100, 101, 103, 107, 115, …}
S(53) = {61, 68, 82, 92, 103, 107, 115, ….}
S(7) = { 14, 19, 29, 40, 44, 52, 59, 73, 83, 94, 107, 115, ……}
S(64) = {74, 85, 98, 115, 122, …..}
S(5) = {10, 11, 13, …., 47, …, 95, …., 149, 163, 173, 184, 197, 214, 221, …..}
S(20) = {22, 26, 34, 41, 46, 56, 67,80, 88, 104 ,109, ….}
S(31) = {35, 43, 50, 55, 65, 76, 89, 106, 113, 118, …..}
S(97) = {113, 118, 128, ….}
ज्या दोन जनक संख्यांपासून एकच निर्मित संख्या तयार होते त्या संख्यांना सह जनक संख्या असे म्हणतात.
(91, 100), (92, 101), (94, 103), (98, 107) इ. सहजनक संख्यांच्या जोड्या आहेत.
कापरेकर यांचे स्वयंभू संख्यांच्या संशोधन अहवालाचे पुस्तक १९६९ मध्ये प्रकाशित करण्यात आले. त्यांच्या पुस्तकामध्ये अंक बेरीज प्रक्रियेचे अनेक तक्ते दिलेले आहेत.
दत्तात्रेय संख्या : हिंदू मान्यतेनुसार ‘श्रीदत्त’ या देवाला ब्रह्मा, विष्णु आणि महेश अशी तीन मुखे असतात. ज्या संख्यामध्ये तीन वर्ग राशी सामावलेल्या आहेत, अशा संख्याना ‘दत्तात्रेय संख्या’ असे म्हणतात. हे नाव कापरेकर यांनी दिले आहे. या संख्यांचा शोध १९८० मध्ये लागला.
येथे 49 संख्येचे तीन भाग (72, 22, 32), तसेच इतर संख्याचे तीन भाग आहेत. काही संख्यांमध्ये तीनपेक्षा अधिक वर्गसंख्या समाविष्ट असतात. त्यांना कापरेकरांनी या संख्याना ‘विस्तीर्ण दत्तात्रेय संख्या’ असे संबोधले आहे.
काही दत्तात्रेय संख्यांचे वैशिष्ट्य पुढील प्रमाणे आहे. उदा., 49 = 4 × 9 + (4 + 9); 169 = 16 × 9 + (16 + 9).
द्विमुखी संख्या : एखाद्या संख्येतील अंक उलट क्रमाने लिहिल्याने पुन्हा तीच संख्या मिळत असेल तर त्या संख्येला ‘व्दिमुखी संख्या’ असे म्हणतात.उदा., 676, 2882, 12421 इ.
प्राचीन भारतीय गणितज्ञ महावीराचार्य यांच्या ‘ गणित सार संग्रह‘ या ग्रंथात उलट सुलट प्रकारे लिहिल्या तरी समान असणाऱ्या अशा अनेक संख्या आणि त्याची उदाहरणे आढळून येतात. काही प्राचीन ग्रंथात अशा संख्यांना ‘पुष्पहार संख्या’ असेही म्हणतात.
11, 22, …, 99 या दोन अंकी 9 द्विमुखी संख्या आहेत. तसेच तीन अंकी 90 द्विमुखी संख्या आहेत.11, 121, 1331 ,14641 इ., या 11 च्या पूर्णांक घातांकाने व्यक्त होणाऱ्या संख्या द्विमुखी संख्या होत. उदा.,
113 = 1331, 114 = 14641
112 = 121. याच प्रकारे 1112 = 12321,
11112 = 1234321,
(111,111,111)2 = 12345678987654321
पुढे 222 = 484, 262 = 676,
2642 = 69696 इ. द्विमुखी संख्या आहेत.
काही विषम संख्यांना 55 ने गुणले असता द्विमुखी संख्या मिळतात. जसे
91 × 55 = 5005, 93 × 55 = 5115, 95 × 55 = 5225, 109 × 55 = 5995, या संख्या द्विमुखी संख्या आहेत.
19, 28, 37, 46, 55, 64, 73, 82 आणि 91 या दोन अंकी संख्यांना 99,999,9999,…. या मालिकेतील संख्यांनी गुणले असता द्विमुखी संख्या मिळतात. उदा., 19 × 99 = 1881,
19 × 999 = 18981 इ.
विजय संख्या : जेव्हा एखाद्या नैसर्गिक संख्येचा ‘घात’ करून मिळणाऱ्या संख्येतील सर्व अंकाची बेरीज करून मूळ संख्या प्राप्त होत असेल तर त्या संख्येला ‘विजय संख्या’ असे म्हणतात. उदा., 92 =81 आणि 8 + 1 = 9; 83 = 512 आणि 5 + 1 + 2 = 8;
317 = 27512614111 आणि 2 + 7 + 5 + 1 + 2 + 6 + 1 + 4 + 1 + 1 + 1 = 31.
काही अपूर्णांक घातांक संख्याच्या बाबतीतही असे घडू शकते. उदा., 91.5 = 27 आणि 2 + 7 = 9;
(27)10/3 = 59049 आणि 5 + 9 + 0 + 4 + 9 = 27.
आंदोलन संख्या : कापरेकरांनी गणित मनोरंजनासाठी निरनिराळ्या संख्याचा शोध लावला. त्यामध्ये आंदोलन संख्यांचा समावेश होतो. कोणत्याही दोन अंकी संख्येतील एकक स्थानच्या अंकाची एक ठराविक पट त्याच संख्येच्या दशक स्थानच्या अंकात मिळविल्यास पुढची आंदोलन संख्या मिळते. उदा., 25 ही दोन अंकी संख्या आहे आणि 4 ही गुणक संख्या आहे. आंदोलन संख्या = 2 + 5 × 4 = 22.
पुढील सारणीचे निरीक्षण करू.
येथे दुसरा कोणताही (4 सोडून) गुणक घेतला तरी पुन्हा 25 पर्यंत जाता येते. या मालिकेत संख्या कधी लहान तर कधी मोठी होत असते. या आंदोलन संख्येतील असे दोन भाग (22, 10, 01) आणि (04, 16, 25) केले तर एक गमतीदार अनुभव येतो. म्हणजे (22 + 04) = (10 + 16) = (01 + 25) = 26.
जर 13, 26 आणि 39 यांपैकी आरंभ संख्या निवडली आणि 4 ही गुणक संख्या निवडली तर आंदोलन संख्या मालिकेतील सर्व संख्या समान येतात.
हर्षद संख्या : ज्या संख्यांना स्वतःच्या अंकांच्या बेरजेने नि:शेष भाग जातो,त्या संख्यांना ‘हर्षद’ संख्या असे म्हणतात.
या सारणीमध्ये आपण 5 अनंत संच पाहिले. असे अनेक संच तयार करता येतील. वरील सारणीमध्ये एकाच संचातील कोणत्याही दोन घटकामधील फरक हा 9 ने विभाज्य असतो. रामानुजन संख्या 1729, कापरेकर स्थिरांक 6174 इ. हर्षद संख्या आहेत.
मर्कट संख्या : एखाद्या संख्येचा कोणताही घात केल्यानंतर ती संख्या त्या घातसंख्येतही आढळून येत असेल तर त्या घात संख्येला ‘मर्कट संख्या’ असे म्हणतात. उदा., 47458321 ही एक मर्कट संख्या आहे. कारण 83 × 83 × 83 × 83 = 47458321. येथे त्र्याऐंशी या संख्येचा चौथा घात केला असता मिळणाऱ्या संख्येत 83 ही संख्या आढळून येते. म्हणजेच 47458321 या संख्येत तिचे ‘ मूळ’ समाविष्ट असल्याचे आढळून येते. 1, 5 आणि 6 या अंकांचा कोणताही घात केला तरी त्या संख्यांच्या अखेरीस (एकक स्थानी) अनुक्रमे 1, 5 आणि 6 हे अंक आढळून येतात. 4 आणि 9 या असल्याचे अंकांचे कोणतेही विषम घात केले असता पुन्हा तेच आढळून येते.
काही मर्कट संख्यांची उदाहरणे पुढील प्रमाणे आहेत.
762 = 57[76], 3762 = 1413[76]
563 =15[56]16, 243 = 138[24]
495 = 2824752[49].
जरासंध (कापरेकर) संख्या : हिंदु मान्यतेनुसार महाभारतात ‘जरासंध’ हे एक आपल्या कुकर्मामुळे ओळखले जाणारे व्यक्तिमत्व आहे. असे मानले जाते की, जरासंधाला एक वर प्राप्त झालेला होता. त्याचे शरीर उभे फाडून ते दोन भाग एकमेकापासून दूर फेकले तरी त्याचा प्राण जात नसे. ते दोन उभे चिरलेले भाग पुन्हा एकत्र येऊन परस्परांशी सांधले जात होते. अशी आख्यायिका आहे.
अंकगणितातही अशा काही वैशिष्ट्यपूर्ण संख्या आहेत असे भारतीय गणिती कापरेकर यांच्या लक्षात आले. त्यांनी १९४० मध्ये या संख्यांना ‘जरासंध संख्या’ हे नाव दिले. या संख्यांची विशिष्ट प्रकारे फोड करून मिळणाऱ्या संख्या एकापुढे एक लिहिल्यास मूळ संख्येचा वर्ग मिळतो. सारणी क्र. ०७ चे निरीक्षण करू.
काही जरासंध संख्यांच्या जोड्या सारणी क्र. ८ मध्ये दाखविल्या आहेत.
कापरेकरांच्या साहित्यात न आढळलेल्या काही जरासंध संख्या सारणी क्र. ९ मध्ये दाखविल्या आहेत.
कापरेकरांनी याच पद्धतीने घनांचा वापर करून 297 या संख्येचे वैशिष्ट्य नोंदवले आहे : (26 + 198 + 073)3 = 26198073
=(297)3
बोधायन संख्या किंवा बोधायन त्रिकूटे : सध्या उपलब्ध निष्कर्षांनुसार बोधायन शुल्बसूत्रे इ.स. पूर्व १२०० ते ८०० या कालावधीत लिहिली गेली. यातील पुढील सूत्रात शुल्व प्रमेय दिलेले आहे :
दीर्घचतुरश्रस्याक्ष्णयारज्जुः पार्श्वमानी तिर्यङ्मानी यद् पृथम्भूते कुरुतस्तदुभयं करोति।
हे लिखित स्वरूपातील पायथागोरसच्या (जन्म इ.स. पूर्व ५७०) प्रमेयाचे सर्वात पहिले विधान आहे. अर्थ : आयताच्या लगतच्या दोन बाजूंनी स्वतंत्र रीत्या तयार होणाऱ्या चौरस क्षेत्रांइतके एकूण क्षेत्र कर्णावरील चौरसामुळे मिळते. हेच विधान काटकोन त्रिकोणाच्या संदर्भातही लिहिले जाते. काटकोन त्रिकोणात कर्णाचा वर्ग हा इतर दोन बाजूंच्या वर्गांच्या बेरजेएवढा असतो.
शूल्व प्रमेयाची उदाहरणे बोधायन पुढील सूत्रात सांगतो :
तासां त्रिकचतुष्कयो: द्वादशिकप ञ्चिकयो: पंचदशिकष्टञ्चि:।
सप्तिकचतुर्विंशिकयो: द्वादशिकप ञ्चत्रिंशिकयो:।
पंचदशिकषट्त्रिंशिकयोरित्येतासूपलब्धिः।।
म्हणजेच
32 + 42 = 52,
122 + 52 = 132,
152 + 82 = 172,
72 + 242 = 252,
122 + 352 = 372,
152 + 362 = 392.
यांतील शेवटचे उदाहरण आधीच्या (12, 5, 13) या त्रिकूटाला 3 ने गुणून मिळवता येते. या उदाहरणांतील (3, 4, 5), (12, 5, 13), (15, 8, 17), अशा त्रिकूटांना (triples) प्रचलित भाषेत पायथागोरसची त्रिकूटे असेही म्हटले जाते. ही त्रिकूटे ही नैसर्गिक संख्यांची असून त्या संख्या काटकोन त्रिकोणाच्या बाजू दर्शवितात. प्रत्येक त्रिकूटातील दोन लहान संख्या जर एखाद्या आयताच्या दोन बाजूंची लांबी दर्शवित असेल तर तिसरी महत्तम संख्या त्या आयताच्या कर्णाची लांबी दर्शविते. प्रत्येक त्रिकूटातील दोन लहान संख्यांचा गुणाकार 12 च्या पूर्ण पटीत असतो. त्रिकूटातील दोन लहान संख्यांपैकी एका संख्येला चारने नि:शेष भाग जातो. बोधायन त्रिकूटातील एका संख्येला 5 ने नि:शेष भाग जातो. अशा त्रिकूटाच्या साहाय्याने काढलेल्या त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ दर्शविणारी संख्या 6 ने विभाज्य असते.
विच्छेदनीय संख्या : नऊच्या पटीत असणाऱ्या काही संख्यांना भारतीय गणितज्ञ कापरेकरानी ‘विच्छेदनीय संख्या’ असे नाव दिले आहे. यासाठी पुढील गुणाकाराचे निरीक्षण करू.
12321×108 = 1[33]0[66]8
1234321×162 = 1[999]6[000]2
1234321×126 = 1[555]2[444]6
123454321×324 = 3[9999]2[0000]4
12321,1234321,123454321,…….
या गुण्यसंख्या द्विमुखी आहेत आणि 108, 126, 162, 324,….या गुणक संख्या नऊच्या पूर्ण पटीतील संख्या आहेत.गुणक संख्येतील अंकाच्या दरम्यान गुणाकार संख्येत जे टप्पे आहेत ते परपस्परांचे ‘नवम् पूरक’ आहेत.म्हणजे त्या टप्प्यातील संख्यांची बेरीज 9, 99, 999, ..…. या संख्या मालिकेतील आहे.
जेव्हा ‘द्विमुखी डेम्लो संख्यांना’ काही विच्छेदनीय संख्यांनी गुणल्यानंतर ज्या गुणाकार संख्या मिळतात त्या संख्यांमध्ये ‘समान अंक’ असणाऱ्या ज्या संख्या मिळतात त्या परस्पर नवम् पूरक आहेत, असे आढळून येते.
कापरेकर यांनी असे प्रतिपादन केले आहे की, 09, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 108, 117, 126, 135, 144, 153, 162, 207, 216, 225, 234, 306, 315, 324 आणि 405 अशा एकूण 25 विच्छेदनीय संख्या आहेत.
समीक्षक : शशिकांत कात्रे
