त्रिकोणी संख्या (Triangular Number)

बहुकोनी संख्या : समान अंतरावरील बिंदूंच्या रचनेद्वारे जर द्विमितीय सुसम बहुभुजाकृती मिळत असेल तर त्या बिंदूच्या संख्येला बहुकोनी संख्या असे म्हणतात. बहुकोनी संख्यांचाच एक प्रकार म्हणजे त्रिकोणी संख्या होय.

त्रिकोणी संख्या : जर एक किंवा त्याहून जास्त समान अंतरावरील बिंदूंच्या रचनेद्वारे समभूज त्रिकोण तयार होईल अशी मांडणी करता आली तर त्या त्रिकोणाच्या मांडणीसाठी लागणाऱ्या बिंदूंची एकूण संख्या म्हणजे त्रिकोणी संख्या होय.

इ. स. पूर्व 550 च्या सुमारास पायथागोरस व त्याने स्थापन केलेल्या पंथातील (पायथॅगोरियन ब्रदरहुड किंवा पायथागोरीयन्स) लोकांना त्रिकोणी संख्यांबाबत माहिती होती असे आढळून येते. $n$ क्रमांकाची त्रिकोणी संख्या म्हणजे अशी संख्या जी पहिल्या $n$ इतक्या नैसर्गिक संख्यांच्या बेरजेएवढी आहे. $n$ क्रमांकाची त्रिकोणी संख्या $T_n$ शोधण्याचे सूत्र :

$T_n = 1 + 2 + ... + n$ किंवा $T_n = \frac{n(n+1)}{2} ; n \in \mathbb {N}$

पहिल्या दहा त्रिकोणी संख्या : $1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55$ .

त्रिकोणी संख्या शोधण्याचे $T_n = \frac{n(n+1)}{2}$ हे सूत्र जर्मन गणितज्ञ कार्ल फ्रीड्रिख गौस (गाउस), या गणितज्ञाने शोधले. ‘कोणतीही नैसर्गिक संख्या जास्तीत जास्त तीन त्रिकोणी संख्यांच्या बेरजेएवढी असते’ हे प्रमेय गाउस यांनी इ.स.1796 साली सिद्ध केले. उदा., $5$ ही संख्या $1, 3$ या त्रिकोणी संख्या वापरून त्यांच्या बेरजेच्या स्वरुपात पुढीलप्रमाणे दाखवता येईल : $5 = 1+1+3$ .

गाउस यांनी लिहिलेल्या डायरीमध्ये EPHYKA (यूरेकाशी साम्य असणारा शब्द) असा शब्द लिहून त्यापुढे Δ+Δ+Δ = Num असे लिखाण आढळून आले त्यावरून या प्रमेयाला गाउस यूरेका प्रमेय असेही संबोधले जाते.

$n$ क्रमांकाची त्रिकोणी संख्या $T_n$ ही ⁿ⁺¹C₂ या द्विपद सहगुणकाएवढी (Binomial coefficient) असते. $n+1$ इतक्या वस्तूंमधून दोन वस्तूंची विभिन्न जोडी निवडण्याच्या एकूण पर्यायांची संख्या म्हणजे त्रिकोणी संख्या असही या सूत्रावरून सांगता येईल. जर $n+1$ एवढ्या व्यक्तींपैकी प्रत्येक व्यक्तीने उरलेल्या प्रत्येक व्यक्तीसोबत प्रत्येकी एकदाच हस्तांदोलन केले तर एकूण हस्तांदोलनांची संख्या $n$ व्या त्रिकोणी संख्येएवढी असेल. पास्काल यांनी शोधलेल्या द्विपद सहगुणकांवर आधारीत त्रिकोणातही त्रिकोणी संख्या शोधता येतात. (आ. २)

ज्या संख्येच्या, ती संख्या वगळता अन्य सर्व विभाजकांची बेरीज त्या संख्येएवढी असते ती संख्या म्हणजे परिपूर्ण संख्या होय. सर्व सम परिपूर्ण संख्या त्रिकोणी संख्या असतात. तसेच सहापेक्षा मोठी कोणतीही सम परिपूर्ण संख्या $1+ 9 \times T_n$ अशाप्रकारे दाखवता येते, इथे $T_n$ ही त्रिकोणी संख्या आहे. उदा., $28 = 1 + 9 \times (3)$ , $28$ ही सम परिपूर्ण संख्या आहे व $3$ ही त्रिकोणी संख्या आहे.

प्रत्येक त्रिकोणी संख्येला एकतर तीनने निःशेष भाग जातो किंवा त्या संख्येला नऊने भागल्यावर बाकी एक उरते. चौरस संख्या म्हणजे पूर्ण वर्ग संख्या होय. दोन क्रमवार त्रिकोणी संख्यांची बेरीज चौरस संख्या मिळते. पहिल्या $n$ त्रिकोणी संख्यांच्या बेरजेबद्दलचं सूत्र भारतीय गणितज्ञ आर्यभट (इ. स.500) यांनी शोधले. ते असे, जर $T_1, T_2, ..., T_n$ या पहिल्या $n$ त्रिकोणी संख्या असतील तर,

$T_1 + T_2 + ... + T_n = \frac{n(n+1)(n+2)}{6} ; n \in \mathbb {N} , n \geq 1$

$666$ या त्रिकोणी संख्येला राक्षसी संख्या (Number of the beast) असं मानलं जातं कारण ही संख्या एकाच अंकाने तयार होणारी सर्वात मोठी त्रिकोणी संख्या आहे. दोन किंवा त्याहून जास्त अंक असणाऱ्या त्रिकोणी संख्यांपैकी काही संख्यामधील अंक उलट्या क्रमाने लिहील्यास येणाऱ्या संख्याही त्रिकोणी संख्या मिळतात. उदा. $10, 120, 153, 190, 820$ इ. $6, 120, 210, 990, 185136, 258474216$ या सहा त्रिकोणी संख्याच तीन क्रमवार नैसर्गिक संख्यांच्या गुणाकाराएवढ्या लिहिता येतात.