वर्ग आणि वर्गमूळ (Square and Square root)

वर्ग (Square) : गणितात एखाद्या संख्येने त्याच संख्येला गुणण्याच्या क्रियेला वर्ग करणे असे म्हणतात. कोणत्याही संख्येचा वर्ग करताना त्या संख्येचा घातांक दोन लिहितात. संख्येला X हे चलपद मानले तर X  या संख्येचा वर्ग X^2 = X . X किंवा X^2 = X \times X असे समीकरण मांडतात. उदा.,

  • 5 चा वर्ग 5^2 असे लिहितात, 5^2 = 5 \times 5 = 25 ही संख्या मिळते.
  • 6 चा वर्ग 6^2 असे लिहितात, 6^2 = 6 \times 6 = 36 ही संख्या मिळते.
आकृती १.

6^2 = 6 \times 6 = 36 हे आकृती क्र. १ च्या स्वरूपात मांडता येईल. आकृतीत एकूण 36 चौरस आहेत आणि प्रत्येक चौरसाची बाजू 1 एकक आहे.

  • एका कुटूंबातील चार व्यक्तींनी प्रत्येकी 4 पुस्तके विकत घेतली तर सर्वांनी मिळून 4^2 = 4 \times 4 = 16 पुस्तके विकत घेतली.
  • एका 10 \times 10 च्या खोलीस 10^2 = 10 \times 10 = 100 फरश्या लागतात.
  • दैनंदिन जीवनात खेळल्या जाणऱ्या बुद्धिबळ या खेळाच्या चौरस पटावर 8^2 = 8 \times 8 = 64 चौरसाकृती घरे असतात (आकृती २).
आकृती २.

संख्यांचे वर्ग करताना लक्षात घ्यावयाच्या बाबी :

  • नैसर्गिक संख्यांचा वर्ग हा नैसर्गिक संख्याच असतो. उदा., 10^2 = 10 \times 10 = 100
  • शून्येतर पूर्ण संख्येचा वर्ग हा नैसर्गिक संख्या किंवा शून्येतर पूर्ण संख्या असते. उदा., 2^2 = 2 \times 2 = 4
  • शून्याचा वर्ग हा शून्यच असतो, (0)^2 = (0) \times (0) = 0
  • धन पूर्णांक व ऋण पूर्णांक संख्येचा वर्ग नेहमी धन पूर्णांक संख्या असतो. उदा., 3^2 = 3 \times 3 = 9  ; (-7)^2 = (-7) \times (-7) = 49.
  • पूर्णांक संख्येच्या वर्गास वर्गसंख्या किंवा पूर्ण वर्ग असे म्हणतात. शून्येतर पूर्णांक संख्येचा वर्ग हा 1 किंवा 1 पेक्षा मोठी संख्या येतो. परिमेय संख्यांचा वर्ग करताना अंशाचा वर्ग व छेदाचा वर्ग करतात.

उदा., \frac{5^2}{6^2} = \frac{5\times5}{6\times6} = \frac{25}{36}

वर्गमूळ (Square root) : गणितामध्ये संख्येच्या वर्गमूळासाठी \sqrt   हे चिन्ह वापरतात व त्यास वर्गमूळाचे चिन्ह असू म्हणतात. वर्गमूळाच्या \sqrt या चिन्हाची इ. स. १५२५ मध्ये क्रिस्टोप रूडॉल्फ यांनी प्रथम छपाई केली. X या संख्येचे वर्गमूळ \sqrtX असे लिहितात व त्याचे वर्गमूळ a आहे तर X अशी संख्या असते, जिचा वर्ग a असतो.

\sqrt हे धन वर्गमूळ तर  –\sqrt हे ऋण वर्गमूळाचे चिन्ह आहे. उदा., 25 ची वर्गमूळे 5 व -5 आहेत. कारण 5^2 = (-5)\times (-5) = 25

प्रत्येक धन संख्येची दोन वर्गमूळे असतात. \sqrta हे धन वर्गमूळ तर  –\sqrta हे ऋण वर्गमूळ असते. उदा., 49 या संख्येची -7 व 7 अशी दोन वर्गमूळे आहेत.

आकृती ३.

वर्गमूळाचे दैनंदिन जीवनातील उदाहरण म्हणजे एका फुलांच्या टोपलीत मोगऱ्याचे एकूण 225 फूले आहेत, त्यापासून सारख्या फुलांच्या किती माळा होतील?

225 = 15 \times 15

∴\sqrt{225} =\sqrt{15 \times 15} = 15

म्हणून 225 फुलांपासून 15 फुलांच्या 15 माळा तयार करता येतील.

प्राचीन भारतात 2 व 3 या संख्यांचे वर्गमूळ काढण्याची पद्धत बोधायनाच्या शुल्बसूत्रात दिलेली आहे. आर्यभटिया (श्लोक 2.4) मध्ये आर्यभट यांनी मोठ्या संख्यांचे वर्गमूळ कसे काढावे हे मांडले आहे. ऋण संख्यांना वर्गमूळ नसते हे सांगणारे महावीर हे पहिले भारतीय गणितज्ज्ञ होते.

समीक्षक : उल्हास दीक्षित

Tags: , , , ,