द्विघाती समीकरण (Quadratic Equation)

ब्रह्मगुप्त या थोर भारतीय गणितज्ञाने लिहिलेल्या ब्रह्मस्फुटसिद्धांत या ग्रंथात ‘द्विघाती किंवा वर्गप्रकृती समीकरणाचा’ उल्लेख आहे. हा ग्रंथ इस 628 मध्ये त्यांनी वयाच्या 37 व्या वर्षी लिहिला. त्यामध्ये 1020 श्लोक असून 24 अध्याय आहेत. या समीकरणांना द्वितीय कोटी अनिर्धार्य समीकरण (second order indeterminate equations) असे म्हणतात. ग्रंथात विचारात घेतलेले समीकरण $nx^2 + 1 = y^2$ असे आहे. या समीकरणातील $x$ आणि $y$ च्या किंमती पूर्णांकात असणे अपेक्षित आहे. 18 व्या शतकात ऑयलर (Euler) या गणितज्ञाने चुकीने या समीकरणाला पेलचे समीकरण (Pell’s Equation) असे नाव दिले. वास्तविक पेलचा या समीकरणाशी काहीही संबंध नाही. भास्कराचार्य (द्वितीय) यांनी वयाच्या 36 व्या वर्षी म्हणजे इ.स. 1150 मध्ये लिहिलेल्या सिद्धांतशिरोमणी या ग्रंथातील बीजगणित या विभागात ‘वर्गप्रकृती’ हा एक स्वतंत्र अध्याय आहे. या अध्यायात श्लोक क्रमांक 70 ते 74 असे पाच श्लोक आहेत. याशिवाय ‘चक्रवालाख्यवर्गप्रकृती’ या अध्यायात श्लोक क्रमांक 75 ते 87 असे तेरा श्लोक आहेत. यापैकी 76 व्या श्लोकात असलेले ‘वर्गप्रकृती समीकरण’ गणित जगतात खूपच गाजलेले आहे. हा श्लोक पुढील प्रमाणे आहे.

का सप्तषष्टिगुणिता कृतिरेकयुक्ता का चैकषष्टिनिहता च सखे सरूपा।

स्यान्मूलदा यदि कृतिप्रकृतिर्नितान्तं त्वच्चेतसि प्रवद तात ततालतावत् ।।

या श्लोकात दोन वर्गप्रकृती समीकरणे आहेत.

(1) $67x^2 + 1 = y^2$

(2) $61x^2 + 1 = y^2$ मध्ये

यापैकी $61x^2 +1 = y^2$ या समीकरणाला एक ऐतिहासिक पार्श्वभूमी आहे. हा कूट प्रश्न फेर्मा (1601-1665) यांनी 1657 मध्ये फ्रेंकी यांना दिला होता. फेर्मा यांना बहुधा ब्रह्मगुप्त व भास्कराचार्य यांचे गणित कार्य माहिती असावे. याचा उल्लेख भास्कराचार्यांच्या बीजगणितात आला आहे. याचे कोलब्रुक (Colebrooke) यांनी इंग्रजीत भाषांतर करून 1817 मध्ये प्रकाशित केलेले आहे.

$61×(226153980)^2 + 1 = (1766319094)^2$ ही या वर्गप्रकृती समीकरणाची सर्वात लहान उकल आहे. $61x^2 + 1= y^2$ या समीकरणातील 61 ला प्रकृती आणि 1 ला क्षेपक असे म्हणतात. समीकरणातील दोन चलापैकी $x$ ला गुण, कनिष्ठ अथवा ऱ्हास असे म्हणतात. $y$ ला लब्धि, ज्येष्ठ किंवा दीर्घ असे म्हणतात. अशा प्रकारची उदाहरणे सोडवण्याची पद्धत ब्रह्मगुप्त याने काही प्रमाणात विकसित केली होती. परंतु याचे संपूर्ण विवेचन भास्कराचार्यांनी केले. भास्कराचार्यांच्या आधीचे गणिती जयदेव यानाही हिचे श्रेय दिले जाते. या पद्धतीला चक्रीय पद्धत (cyclic method) असे म्हणतात. भारतीय गणितज्ञांच्या आधी जगातील कोणत्याही भागातील गणितज्ञांना वरील समीकरण सोडविण्याची पद्धत सुचल्याचा पुरावा उपलब्ध नाही. यामुळे पेलच्या समीकरणाला आता ब्रह्मगुप्त-भास्कराचार्य समीकरण (Bhahmagupta-Bhaskara Equation) असे म्हणतात. भास्कराचार्यांच्या नंतर सुमारे 600 वर्षांनी ऑयलर यांच्या संशोधनात भर घालून लाग्रांझ याने निरंतर अपूर्णांक (Continued / Perpetual Fractions) यांचा उपयोग करून हे समीकरण कसे सोडवता येते ते दाखवले.