अपस्करणाची परिमाणे (Measures of Dispersion)

केंद्रीय मापकाच्या जोडीला अपस्करण परिमाण नोंदविणे आवश्यक असते. विस्तार हे अपस्करणाचे सर्वात सोपे आणि सहज वापरले जाणारे परिमाण असले तरी ते वापरण्यामध्ये काही त्रुटी आहेत.‍ म्हणूनच माहितीचे अधिक अचूक विश्लेषण करण्याकरीता अपस्करणाच्या अधिक प्रगत परिमाणांची आवश्यकता असते. विस्तार या मापकाबद्दलचा प्रमुख आक्षेप असा की ते संचातील सर्व संख्यांवर अवलंबून नसते. हा दोष दूर करण्यासाठी पुढील काही परिमाणे निर्माण केली गेली.

1) मध्य विचलन : संख्यासंचामधील प्रत्येक संख्या त्या संचाच्या सरासरीपासून किती दूर आहे हे पाहून त्यापासून मिळविलेले मापन त्या संख्यासंचातील अंतर्गत तफावत म्हणजेच अपस्करण अधिक चांगल्या प्रकारे दाखवू शकेल. उदा., संचामधील संख्यांना $X_i$ ने संबोधित केले आणि त्या संचाचे मध्यमान $\overline {X}$ आहे. तर प्रत्येक संख्याचे या मध्यमानापासूनचे अंतर $X_i - \overline {X}$ झाले. हे अंतर ऋण अथवा धन असू शकते. परंतु जर त्या संख्यांची सरासरीपासून असलेली तफावत बघायची असेल तर त्याचे चिन्ह विचारात घेतले जात नाही. अर्थात $|X_i - \overline {X}|$ हे त्या संख्येचे मध्यमानापासून असलेले विचलन होईल. अशा सर्व संख्यांच्या विचलनाचे मध्यमान काढले तर ते परिमाण म्हणजे मध्य विचलन होय. मध्य विचलनाचे सूत्र खालीलप्रमाणे :

मध्य विचलन = $\frac{\displaystyle \sum_{1}^{n} |X_i - \overline{X}|}{n}$ ; येथे $n$ = संख्या संचातील एकूण संख्या.

उदा., कंपनी ‘अ’ आणि कंपनी ‘ब’ मधील कामगारांचे दैनिक वेतन (रु.) खालीलप्रमाणे आहे.

वरील उदाहरणात कंपनी ‘अ’ चे मध्यमान $564.29$ रु.तर कंपनी ‘ब’ चे मध्यमान $342.86$ रु. येते. खालील तक्त्यामध्ये दोन्ही कंपन्यांच्या वेतनापासूनचे विचलन दाखवले आहे. कंपनी ‘अ’ व ‘ब’ च्या संख्या अनुक्रमे X व Y ने संबोधिल्या आहेत.

$X_i$	$Y_i$	$\|X_i - \overline {X}\|$	$\|Y_i - \overline {Y}\|$
$350$	$340$	$214.29$	$2.86$
$330$	$320$	$234.29$	$22.86$
$250$	$310$	$314.29$	$32.86$
$400$	$370$	$164.29$	$27.14$
$2000$	$420$	$1435.71$	$77.14$
$340$	$350$	$224.29$	$7.14$
$280$	$290$	$284.29$	$52.86$
एकूण	——–	$2871.45$	$222.86$

कंपनी ‘अ’ साठी मध्य विचलन = $410.21$ रु.आणि कंपनी ‘ब’ साठी मध्य विचलन = $31.84$ रु. यावरून कंपनी ‘अ’ मधील अपस्करण कंपनी ‘ब’ पेक्षा किती जास्त आहे याचा अचूक अंदाज येतो. येथे मध्य विचलन हे मध्यमान या केंद्रीय प्रकृतीच्या परिमाणाला अनुलक्षून काढले आहे. याचप्रमाणे मध्यगा किंवा बहुलक हे केंद्रीय प्रकृतीचे परिमाण घेऊनही मध्य विचलन काढता येते. मध्यगेजवळ काढलेले मध्य विचलन हे सर्वांत कमी असते. अपस्करणाचे हे परिमाण एकक विरहित करण्यासाठी मध्य विचलनाला केंद्रीय मापकाने भागतात. त्यालामध्य विचलनाचा गुणांक असे म्हणतात.

अर्थात, वरील उदाहरणात खालीलप्रमाणे मध्य विचलन गुणांक येतात.

कंपनी ‘अ’ = $0.73$ कंपनी ‘ब’ = $0.09$

मध्य विचलन जरी अचूक अपस्करण मोजत असले तरी या परिमाणाचे काही तोटे आहेत. एक म्हणजे मध्य विचलन काढताना संख्यांच्या केवळ मूल्यांची (absolute value) बेरीज केली जाते. त्यामुळे प्राप्तांकांचे सरासरी पासूनचे अंतर ऋण आहे किंवा धन आहे याचा विचार लक्षात घेतला जात नाही. त्याचप्रमाणे संख्यांचे केवळ मूल्य सूत्रात असल्यामुळे हे परिमाण पुढील बैजिक अथवा कलन पद्धतींमध्ये वापरता येत नाही. या दोन महत्त्वाच्या त्रुटींमुळे मध्य विचलन हे मापक संख्याशास्त्रज्ञ फारसे वापरत नाहीत. त्याऐवजी प्रचलन (variance) आणि प्रमाण विचलन (standard deviation) ही दोन मापके बहुतेक वेळेस वापरली जातात.

2) प्रचलन (variance) : मध्य विचलनाच्या संगणनात प्रत्येक संख्येचे सरासरीपासूनचे विचलन काढतात. ते धन अथवा ऋण असू शकते. या विचलनांची बैजिक बेरीज घेतली तर तिचे उत्तर शून्य येते. कारण ऋण आणि धन विचलने एकमेकांना रद्द करतात. या प्रश्नावर एक उपाय म्हणजे त्या विचलनांचे केवळ मूल्य घेण्याऐवजी त्यांचा वर्ग करणे, त्यामुळे आपोआपच सर्व संख्या धन चिन्हांच्या मिळतात. या वर्ग केलेल्या संख्यांची सरासरी अथवा मध्यमान काढायचे. या मापकाला प्रचलन असे संबोधिले जाते. या चिन्हाने प्रचलन दर्शविले जाते.

प्रचलनाचे सूत्र : $\sigma^2 = \frac{\displaystyle\sum_{1}^{n} {(X_i - \overline{X})}^2}{n}$

$X_i$	$Y_i$	$X_i - \overline {X}$	$Y_i - \overline {Y}$	${(X_i - \overline {X})}^2$	${(Y_i - \overline {Y})}^2$
$350$	$340$	$-214.29$	$-2.86$	$45920.20$	$8.1796$
$330$	$320$	$-234.29$	$-22.86$	$54891.80$	$522.5796$
$250$	$310$	$-314.29$	$-32.86$	$98778.20$	$1079.78$
$400$	$370$	$-164.29$	$27.14$	$26991.20$	$736.58$
$2000$	$420$	$1435.71$	$77.14$	$2061263.20$	$5950.58$
$340$	$350$	$-224.29$	$7.14$	$50306.00$	$50.9796$
$280$	$290$	$-284.29$	$-52.86$	$80820.80$	$2794.18$
एकूण	—	—	—	$2418971.4$	$11142.86$

कंपनी ‘अ’ आणि ‘ब’ साठी प्रचलनाची किंमत अनुक्रमे σ_अ²= $345567.34$ रु. वर्ग; σ_ब² = $1591.84$ रु. वर्ग येते

लक्षात घेतले पाहिजे की आपण प्रत्येक विचलनाचा वर्ग घेतल्यामुळे या परिमाणाचे एकक हे रु. वर्ग असे येते. ही त्रुटी दूर करण्यासाठीच फक्त प्रमाण विचलन काढण्यात येते.

3) प्रमाण विचलन : प्रमाण विचलन म्हणजे प्रचलनाचे धन वर्गमूळ. म्हणूनच प्रमाण विचलन हे $\sigma$ या ग्रीक अक्षराने दर्शविले जाते.

प्रमाण विचलन सूत्र : $\sigma = + \sqrt{{\sigma}^2}$

अर्थात, $\sigma = +\sqrt {\frac{\displaystyle\sum_{1}^{n}{(X_i - \overline{X})}^2}{n}}$

कंपनी ‘अ’ आणि ‘ब’ साठी प्रमाण विचलनाची किंमत येते

σ_अ= $587.85$ रु.; σ_ब= $39.90$ रु.

प्रमाण विचलन हे परिमाण संख्या संचामधील संख्यांमधीलअपस्करणाचे यथार्थ दर्शन करविते. त्याचबरोबर ते बैजिक आणि कलन पद्धतीमध्येही योग्य रीतीने वापरता येते. प्रमाण विचलन हे संख्यांचा मध्यमानापासून वेगळे असण्याची प्रवृत्ती मोजण्याचे काम करते. म्हणून प्रमाण विचलन हे अपस्करणाचे उत्तम परिमाण मानले जाते. फक्त जर का दोन वेगवेगळ्या एककांनी मोजलेल्या संख्यासंचांमधील अपस्करणाची तुलना करावयाची असेल तर ते परिमाण एकक विरहित असावे लागते. त्यासाठी विचलन गुणांक ( coefficient of variation) काढला जातो.

विचलन गुणांकाचा उपयोग दोन वेगवेगळ्या वितरणामधील (distribution) विचलनाची तुलना करण्यासाठी केला जातो. ज्या संचाचा विचलन गुणांक कमी, त्या संचामध्ये जास्त एकविधता (homogeneity) आढळून येते. तर जास्त विचलन गुणांक असलेल्या संख्यांमध्ये अनेकविधता दिसून येते.

एखाद्या औद्योगिक यंत्राचा अचूकपणा किंवा नेमकेपणा जोखण्यात तसेच खेळाडूंच्या खेळण्यातील सुसंगती टिपण्यासाठी विचरण गुणांकाचा उपयोग केला जातो. उदा., समजा ‘अ’ आणि ‘ब’ हे दोन फलंदाज आहेत आणि त्यांचे धावसंख्यांचे मध्यमान अनुक्रमे $56$ आणि $89$ असे आहेत, तर साहजिकच फलंदाज ‘ब’ हा ‘अ’ पेक्षा जास्त चांगला खेळतो असे वाटेल. परंतु त्यांचा विचरण गुणांक काढले आणि ते जर अनुक्रमे $35.7$ % आणि $76.9$ % असे आले, तर याचा अर्थ ‘अ’ हा फलंदाज ‘ब’ पेक्षा जास्त भरवशाचा आहे असा होतो.

संदर्भ :

S. C. Gupta and V.K. Kapoor, Fundamentals of Mathematical Statistics, New Delhi, 2014.
फ्रेडरिक एल. कुलीज, भाषांतरकर्त्या डॉ. माधवी कुलकर्णी आणि डॉ. मधुरा जोशी, संख्याशास्त्राची तोंडओळख, 2017.

समीक्षक : शैलजा देशमुख